My Solutions - Contribuições do utilizador [pt]

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Deprecated: MapCacheLRU implements the Serializable interface, which is deprecated. Implement __serialize() and __unserialize() instead (or in addition, if support for old PHP versions is necessary) in /afs/ist.utl.pt/groups/mysolutions/web/wiki/includes/libs/MapCacheLRU.php on line 38

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http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//mysolutions/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Ist13124 My Solutions - Contribuições do utilizador [pt] 2025-08-18T19:42:14Z Contribuições do utilizador MediaWiki 1.35.2
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http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Sistemas_de_equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_lineares&diff=4710 Sistemas de equações diferenciais lineares 2020-05-12T15:33:53Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Sistemas equações diferenciais lineares de primeira ordem *DESCRICAO: Dadas duas soluções para um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem, identificar os seus valores próprios, vectores próprios, e vectores próprios generalizados. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: sistemas lineares, valor próprio, vector próprio </div> </div> Seja $ \ \displaystyle \dfrac{d\overrightarrow{x}}{dt} = A \, \overrightarrow{x} \ $ um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, onde $ \ A $ é uma matriz $4 \times 4$, tal que $ \ \ \ $ $ \ \pmatrix{e^{-3t} \\ 2e^{-3t} \\ 2e^{-3t} \\ -e^{-3t}} \ $ é solução do sistema $ \ \ \ $ e que $ \ \pmatrix{e^{2t}(t-2) \\ e^{2t}(1-t) \\ e^{2t}(2t+2) \\ e^{2t}(-2t-1)} \ $ é solução do sistema Então podemos concluir que: A) $ \ -3 $ é valor próprio de $ \ A $. B) $ \ \pmatrix{0 \\ -1 \\ 1 \\ -1} \ $ é vector próprio de $ \ A $. C) $ \ (A-2I) \, \pmatrix{-1 \\ 1 \\ -2 \\ 2} = \overrightarrow 0 \ $. D) $ \ (A-2I) \, \pmatrix{-6 \\ 4 \\ 0 \\ 2} = \pmatrix{2 \\ -2 \\ 4 \\ -4} \ $. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Sistemas_de_equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_lineares&diff=4708 Sistemas de equações diferenciais lineares 2020-05-12T15:32:00Z

Ist13124: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..." <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Sistemas equações diferenciais lineares de primeira ordem *DESCRICAO: Determinação das propriedades de uma matriz dada. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: sistemas lineares, matriz invertível, matriz diagonalizável </div> </div> Seja $ \ \displaystyle \dfrac{d\overrightarrow{x}}{dt} = A \, \overrightarrow{x} \ $ um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, onde $ \ A $ é uma matriz $4 \times 4$, tal que $ \ \ \ $ $ \ \pmatrix{e^{-3t} \\ 2e^{-3t} \\ 2e^{-3t} \\ -e^{-3t}} \ $ é solução do sistema $ \ \ \ $ e que $ \ \pmatrix{e^{2t}(t-2) \\ e^{2t}(1-t) \\ e^{2t}(2t+2) \\ e^{2t}(-2t-1)} \ $ é solução do sistema Então podemos concluir que: A) $ \ -3 $ é valor próprio de $ \ A $. B) $ \ \pmatrix{0 \\ -1 \\ 1 \\ -1} \ $ é vector próprio de $ \ A $. C) $ \ (A-2I) \, \pmatrix{-1 \\ 1 \\ -2 \\ 2} = \overrightarrow 0 \ $. D) $ \ (A-2I) \, \pmatrix{-6 \\ 4 \\ 0 \\ 2} = \pmatrix{2 \\ -2 \\ 4 \\ -4} \ $. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_n%C3%A3o_homog%C3%A9neas_de_segunda_ordem&diff=4706 Equações diferenciais não homogéneas de segunda ordem 2020-05-12T15:14:28Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais lineares de segunda ordem *DESCRICAO: Dada uma equação diferencial linear não homogénea de segunda ordem e duas soluções genéricas para a equação ou para a sua equação homogénea correspondente, identificar outras soluções da equação e da sua homogénea correspondente. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: Equações de segunda ordem, Equações homogéneas, Equações não homogéneas </div> </div> Considere a equação diferencial $ \, y' ' + p(t) \, y' + q(t) \, y = g(t) \ $, onde $ \ p, q \ $ e $ \ g \ $, com $ \ g \neq 0 \ $, são funções contínuas em $ \ \mathbb{R} $. Supondo que $ \ \ \ \ \ y_1 $ é uma solução da equação homogénea correspondente $ \ \ \ \ $ e que $ \ c \, y_2 \ $, com $ \ c \in \mathbb{R} $, é uma solução da equação homogénea correspondente, podemos garantir que: A) $ \ y_1 + y_2 $ é uma solução da equação homogénea correspondente. B) $ \ c_1 y_1 + c_2 y_2 $ (com $ \ c_1, c_2 \in \mathbb{R}$) é uma solução da equação homogénea correspondente. C) $ \ 0 $ é uma solução da equação homogénea correspondente. D) $ \ y_1 $ é uma solução da equação. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_n%C3%A3o_homog%C3%A9neas_de_segunda_ordem&diff=4704 Equações diferenciais não homogéneas de segunda ordem 2020-05-12T15:13:56Z

Ist13124: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..." <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais lineares de segunda ordem *DESCRICAO: Dada uma equação diferencial linear não homogénea de segunda ordem e duas soluções genéricas para a equação ou para a sua equação homogénea correspondente, identificar soluções da equação e da sua homogénea correspondente. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: Equações de segunda ordem, Equações homogéneas, Equações não homogéneas </div> </div> Considere a equação diferencial $ \, y' ' + p(t) \, y' + q(t) \, y = g(t) \ $, onde $ \ p, q \ $ e $ \ g \ $, com $ \ g \neq 0 \ $, são funções contínuas em $ \ \mathbb{R} $. Supondo que $ \ \ \ \ \ y_1 $ é uma solução da equação homogénea correspondente $ \ \ \ \ $ e que $ \ c \, y_2 \ $, com $ \ c \in \mathbb{R} $, é uma solução da equação homogénea correspondente, podemos garantir que: A) $ \ y_1 + y_2 $ é uma solução da equação homogénea correspondente. B) $ \ c_1 y_1 + c_2 y_2 $ (com $ \ c_1, c_2 \in \mathbb{R}$) é uma solução da equação homogénea correspondente. C) $ \ 0 $ é uma solução da equação homogénea correspondente. D) $ \ y_1 $ é uma solução da equação. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Wronskiano_de_solu%C3%A7%C3%B5es_de_equa%C3%A7%C3%B5es_de_segunda_ordem&diff=4702 Wronskiano de soluções de equações de segunda ordem 2020-05-10T16:08:11Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais lineares de segunda ordem *DESCRICAO: Dada uma equação diferencial linear homogénea de segunda ordem e duas soluções genéricas para a equação, determinar o wronskiano de pares de soluções construídas a partir das soluções dadas. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: Equações de segunda ordem, Equações homogéneas, Wronskiano </div> </div> Considere a equação $ \, y' ' + e^t \, y' + t^2 \, y = 0 \ $ e suponha que $ \ y_1 \ $ e $ \ y_2 \ $ são soluções da equação. Então podemos garantir que: A) Se $ \ y_1 \ $ e $ \ y_2 \ $ são linearmente independentes, o wronskiano $ \ w(y_1, c_2y_2) \neq e^{e^t} \ $, com $ \ c_2 \neq 0 $. B) Se $ \ y_1 \ $ e $ \ y_2 \ $ são linearmente independentes, o wronskiano $ \ w(c_1y_1, y_2) = 0 \ $, com $ \ c_1 \neq 0 $. C) O wronskiano $ \ w(y_1, y_1) \neq 0 \ $. D) O wronskiano $ \ w(y_2, c_2y_2) \neq e^{e^t} \ $, com $ \ c_2 \neq 0 $. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Wronskiano_de_solu%C3%A7%C3%B5es_de_equa%C3%A7%C3%B5es_de_segunda_ordem&diff=4700 Wronskiano de soluções de equações de segunda ordem 2020-05-10T16:05:33Z

Ist13124: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..." <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de segunda ordem homogéneas com coeficientes constantes *DESCRICAO: Dada uma solução de uma equação diferencial genérica, determinar se outras funções são ou não soluções. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: Equações com coeficientes constantes, Equações homogéneas </div> </div> Considere a equação $ \, y' ' + e^t \, y' + t^2 \, y = 0 \ $ e suponha que $ \ y_1 \ $ e $ \ y_2 \ $ são soluções da equação. Então podemos garantir que: A) Se $ \ y_1 \ $ e $ \ y_2 \ $ são linearmente independentes, o wronskiano $ \ w(y_1, c_2y_2) \neq e^{e^t} \ $, com $ \ c_2 \neq 0 $. B) Se $ \ y_1 \ $ e $ \ y_2 \ $ são linearmente independentes, o wronskiano $ \ w(c_1y_1, y_2) = 0 \ $, com $ \ c_1 \neq 0 $. C) O wronskiano $ \ w(y_1, y_1) \neq 0 \ $. D) O wronskiano $ \ w(y_2, c_2y_2) \neq e^{e^t} \ $, com $ \ c_2 \neq 0 $. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_exactas_e_redut%C3%ADveis_a_exactas&diff=4698 Equações exactas e redutíveis a exactas 2020-05-10T15:58:16Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais exactas e redutíveis a exactas *DESCRICAO: Detectar se certas equações dadas são ou não exactas, e se podem ser reduzidas a exactas por multiplicação de factores integrantes de formas definidas. *DIFICULDADE: * *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn *PALAVRAS CHAVE: equação exacta </div> </div> Indique as afirmações verdadeiras. A) A equação $\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ $não é redutível a exacta com factor integrante que não depende de $ \ t $. B) A equação $\ \displaystyle -\Big(\dfrac{y}{(t+y)^2+1} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{y}{(t+y)^2+1} \ $não é exacta. C) A equação $\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ $é redutível a exacta com factor integrante que não depende de $ \ y $. D) A equação $\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ $é exacta. E) Nenhuma</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_exactas_e_redut%C3%ADveis_a_exactas&diff=4696 Equações exactas e redutíveis a exactas 2020-05-10T15:56:55Z

Ist13124: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..." <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Logaritmos complexos *DESCRICAO: Utilização das propriedades básicas dos vários ramos do logaritmo complexo *DIFICULDADE: * *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: logaritmos, ramo </div> </div> Indique as afirmações verdadeiras. A) A equação $\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ $não é redutível a exacta com factor integrante que não depende de $ \ t $. B) A equação $\ \displaystyle -\Big(\dfrac{y}{(t+y)^2+1} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{y}{(t+y)^2+1} \ $não é exacta. C) A equação $\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ $é redutível a exacta com factor integrante que não depende de $ \ y $. D) A equação $\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ $é exacta. E) Nenhuma</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Propriedades_da_transforma%C3%A7%C3%A3o_de_Laplace&diff=4694 Propriedades da transformação de Laplace 2020-05-09T16:22:46Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Transformação de Laplace *DESCRICAO: Identificação de propriedades algébricas da transformação de Laplace.. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: transformação de Laplace </div> </div> Sejam $ \ f:[0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R} \ $ e $ \ g:[0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R} \ $ funções reais com transformadas de Laplace $ \ F \ $ e $ \ G \ $. Então podemos garantir que: A) $ \ f \, g $ tem transformada de Laplace $ \ F \, G \ $. B) $ \ (\cos t) \, f $ tem transformada de Laplace $ \ \dfrac{F \, s}{s^2 + 1} \ $. C) $ \ c \, g $ tem transformada de Laplace $ \ c \, G \ $, para $ \ c \in \mathbb{R} $. D) $ \ f-g $ tem transformada de Laplace $ \ F-G \ $. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Propriedades_da_transforma%C3%A7%C3%A3o_de_Laplace&diff=4692 Propriedades da transformação de Laplace 2020-05-09T16:22:28Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Transformação de Laplace *DESCRICAO: Identificação de propriedades algébricas da transformação de Laplace.. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: transformação de Laplace </div> </div> Sejam $ \ f:[0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R} \ $ e $ \ g:[0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R} \ $ funções reais com transformadas de Laplace $ \ F \ $ e $ \ G \ $. Então podemos garantir que: A) $ \ f \, g $ tem transformada de Laplace $ \ F \, G \ $. B) $ \ (\cos (t)) \, f $ tem transformada de Laplace $ \ \dfrac{F \, s}{s^2 + 1} \ $. C) $ \ c \, g $ tem transformada de Laplace $ \ c \, G \ $, para $ \ c \in \mathbb{R} $. D) $ \ f-g $ tem transformada de Laplace $ \ F-G \ $. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Propriedades_da_transforma%C3%A7%C3%A3o_de_Laplace&diff=4690 Propriedades da transformação de Laplace 2020-05-09T16:21:03Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de primeira ordem separáveis *DESCRICAO: Determinação de valores de função, derivadas e limites de soluções de problemas de valores iniciais dados. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: equação diferencial de primeira ordem, equação separável </div> </div> Sejam $ \ f:[0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R} \ $ e $ \ g:[0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R} \ $ funções reais com transformadas de Laplace $ \ F \ $ e $ \ G \ $. Então podemos garantir que: A) $ \ f \, g $ tem transformada de Laplace $ \ F \, G \ $. B) $ \ (\cos (t) \, f $ tem transformada de Laplace $ \ \dfrac{F \, s}{s^2 + 1} \ $. C) $ \ c \, g $ tem transformada de Laplace $ \ c \, G \ $, para $ \ c \in \mathbb{R} $. D) $ \ f-g $ tem transformada de Laplace $ \ F-G \ $. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Propriedades_da_transforma%C3%A7%C3%A3o_de_Laplace&diff=4688 Propriedades da transformação de Laplace 2020-05-09T16:16:49Z

Ist13124: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..." <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de primeira ordem separáveis *DESCRICAO: Determinação de valores de função, derivadas e limites de soluções de problemas de valores iniciais dados. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: equação diferencial de primeira ordem, equação separável </div> </div> Sejam $ f:[0, +\infty[ \rightarrow $ uma solução da equação$ \ \displaystyle \big(\sqrt{t^2+1}\big) \, \frac{dy}{dt} = t \, y \ $ tal que $ \ y(2) = \dfrac{1}{e^2} $. Então: A) $ \ y(1) = e^{-2+\sqrt{2}-\sqrt{5}} $ B) $ \ y'(0) = 0 $ C) $ \ \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} \, y(t) = +\infty $ D) $ \ \displaystyle \lim_{t \rightarrow -\infty} \, y(t) = +\infty $ E) nenhuma</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Matrizes_diagonaliz%C3%A1veis_e_invert%C3%ADveis&diff=4686 Matrizes diagonalizáveis e invertíveis 2020-05-09T16:14:43Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Sistemas equações diferenciais lineares de primeira ordem *DESCRICAO: Determinação das propriedades de uma matriz dada. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: sistemas lineares, matriz invertível, matriz diagonalizável </div> </div> Seja $ \ A = \pmatrix{1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0} \ $ uma matriz $ \ 3 \times 3 $. Então: A) $ \ A $ é uma matriz diagonalizável. B) $ \ A $ é uma matriz invertível. C) Existe uma matriz de mudança de base que transforma $ \ A \ $ em $ \ B = \pmatrix{1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2} $. D) Existe uma matriz de mudança de base que transforma $ \ A \ $ em $ \ B = \pmatrix{0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0} $. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Matrizes_diagonaliz%C3%A1veis_e_invert%C3%ADveis&diff=4684 Matrizes diagonalizáveis e invertíveis 2020-05-09T16:13:27Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de primeira ordem separáveis *DESCRICAO: Determinação de valores de função, derivadas e limites de soluções de problemas de valores iniciais dados. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: equação diferencial de primeira ordem, equação separável </div> </div> Seja $ \ A = \pmatrix{1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0} \ $ uma matriz $ \ 3 \times 3 $. Então: A) $ \ A $ é uma matriz diagonalizável. B) $ \ A $ é uma matriz invertível. C) Existe uma matriz de mudança de base que transforma $ \ A \ $ em $ \ B = \pmatrix{1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2} $. D) Existe uma matriz de mudança de base que transforma $ \ A \ $ em $ \ B = \pmatrix{0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0} $. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Matrizes_diagonaliz%C3%A1veis_e_invert%C3%ADveis&diff=4682 Matrizes diagonalizáveis e invertíveis 2020-05-09T16:12:40Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de primeira ordem separáveis *DESCRICAO: Determinação de valores de função, derivadas e limites de soluções de problemas de valores iniciais dados. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: equação diferencial de primeira ordem, equação separável </div> </div> Seja $ \ A = \pmatrix{1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0} \ $ uma matriz $ \ 3 \times 3 $. Então: A) $ \ A $ é uma matriz diagonalizável. B) $ \ A $ é uma matriz invertível. C) Existe uma matriz de mudança de base que transforma $ \ A \ $ em $ \ B = \pmatrix{1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2} \ $. D) Existe uma matriz de mudança de base que transforma $ \ A \ $ em $ \ B = \pmatrix{0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0} \ $. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Matrizes_diagonaliz%C3%A1veis_e_invert%C3%ADveis&diff=4680 Matrizes diagonalizáveis e invertíveis 2020-05-09T16:09:57Z

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_ordem_superior_a_2_com_coeficientes_constantes&diff=4678 Equações de ordem superior a 2 com coeficientes constantes 2020-05-09T16:05:05Z

Ist13124: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..." <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de ordem superior a 2 homogéneas com coeficientes constantes *DESCRICAO: Dada uma condição acerca das soluções de uma equação diferencial genérica, determinar se outras funções são ou não soluções. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: Equações com coeficientes constantes, Equações homogéneas </div> </div> Considere uma equação diferencial linear homogénea com coeficientes constantes de ordem $ \ n>8 \ $ tal que $ \ e^{2t} \, t \, \cos (t) \ $ não é solução da equação. Então podemos garantir que: A) $ \ e^{2t} \, t^2 \, \cos (t) \ $ é solução da equação. B) $ \ e^{2t} \, t^2 \ $ não é solução da equação. C) $ \ e^{2t} \, t^2 \, sen (t) \ $ não é solução da equação. D) $ \ e^{2t} \, t \, sen (t) \ $ não é solução da equação. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_de_segunda_ordem_homog%C3%A9neas_com_coeficientes_constantes&diff=4676 Equações de segunda ordem homogéneas com coeficientes constantes 2020-05-08T13:56:41Z

Ist13124: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..." <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de segunda ordem homogéneas com coeficientes constantes *DESCRICAO: Dada uma solução de uma equação diferencial genérica, determinar se outras funções são ou não soluções. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: Equações com coeficientes constantes, Equações homogéneas </div> </div> Seja $ \, ax' ' + bx' + cx = 0 \ $ uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes tal que $ \ e^{-2t} \, sen (t) \ $ é solução da equação. Então podemos garantir que: A) $ \ -2e^t \, t -e^t \ $ é solução da equação. B) $ \ e^t \, t -2e^t \ $ é solução da equação. C) $ \ e^t-e^t \, t \ $ é solução da equação. D) $ \ 2e^t \, t \ $ não é solução da equação. E) nenhuma.</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_de_primeira_ordem&diff=4674 Equações diferenciais de primeira ordem 2020-05-08T13:49:20Z

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_de_primeira_ordem&diff=4672 Equações diferenciais de primeira ordem 2020-05-08T13:48:49Z

Ist13124: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..." <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de primeira ordem separáveis *DESCRICAO: Determinação de valores de função, derivadas e limites de soluções de problemas de valores iniciais dados. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: equação diferencial de primeira ordem, equação exacta </div> </div> Seja $ y(t) $ uma solução da equação$ \ \displaystyle \big(\sqrt{t^2+1}\big) \, \frac{dy}{dt} = t \, y \ $ tal que $ \ y(2) = \dfrac{1}{e^2} $. Então: A) $ \ y(1) = e^{-2+\sqrt{2}-\sqrt{5}} $ B) $ \ y'(0) = 0 $ C) $ \ \displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} \, y(t) = +\infty $ D) $ \ \displaystyle \lim_{t \rightarrow -\infty} \, y(t) = +\infty $ E) nenhuma</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=F%C3%B3rmulas_integrais_de_Cauchy&diff=4670 Fórmulas integrais de Cauchy 2020-05-07T16:28:28Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Fórmulas integrais de Cauchy *DESCRICAO: Determinar derivadas de funções inteiras e integrais sobre curvas fechadas a partir de uma instância da fórmula integral de Cauchy. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn *PALAVRAS CHAVE: função holomorfa, fórmulas integrais de Cauchy </div> </div> Seja $ f(z) $ uma função inteira tal que $ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ $ para qualquer $ z $ tal que $ |z| \leq 1 $ (onde $ c $ é a circunferência de parametrização $ 2e^{i \theta} $, com $ \theta \in [0, 2\pi]$, percorrida uma vez no sentido directo). Se $ \ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}$, temos A) $ \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} $ B) $ \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} $ C) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente D) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente E) Nenhuma das anteriores</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Classifica%C3%A7%C3%A3o_de_singularidades&diff=4668 Classificação de singularidades 2020-05-07T16:27:48Z

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Classifica%C3%A7%C3%A3o_de_singularidades&diff=4666 Classificação de singularidades 2020-05-07T16:26:28Z

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Classifica%C3%A7%C3%A3o_de_singularidades&diff=4664 Classificação de singularidades 2020-05-07T16:25:44Z

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=F%C3%B3rmulas_integrais_de_Cauchy&diff=4662 Fórmulas integrais de Cauchy 2020-05-07T16:20:17Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Fórmulas integrais de Cauchy *DESCRICAO: Determinar derivadas de funções inteiras e integrais sobre curvas fechadas a partir de uma instância da fórmula integral de Cauchy. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn *PALAVRAS CHAVE: função holomorfa </div> </div> Seja $ f(z) $ uma função inteira tal que $ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ $ para qualquer $ z $ tal que $ |z| \leq 1 $ (onde $ c $ é a circunferência de parametrização $ 2e^{i \theta} $, com $ \theta \in [0, 2\pi]$, percorrida uma vez no sentido directo). Se $ \ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}$, temos A) $ \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} $ B) $ \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} $ C) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente D) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente E) Nenhuma das anteriores</div>

Ist13124 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=F%C3%B3rmulas_integrais_de_Cauchy&diff=4660 Fórmulas integrais de Cauchy 2020-05-07T16:19:09Z

Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas *DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: função holomorfa </div> </div> Seja $ f(z) $ uma função inteira tal que $ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ $ para qualquer $ z $ tal que $ |z| \leq 1 $ (onde $ c $ é a circunferência de parametrização $ 2e^{i \theta} $, com $ \theta \in [0, 2\pi]$, percorrida uma vez no sentido directo). Se $ \ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}$, temos A) $ \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} $ B) $ \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} $ C) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente D) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente E) Nenhuma das anteriores</div>

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Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas *DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: função holomorfa </div> </div> Seja $ f(z) $ uma função inteira tal que $ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ $ para qualquer $ z $ tal que $ |z| \leq 1 $ (onde $ c $ é a circunferência de parametrização $ 2e^{i \theta} $, com $ \theta \in [0, 2\pi]$, percorrida uma vez no sentido directo). Se $ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}$, temos A) $ \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} $ B) $ \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} $ C) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente D) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente E) Nenhuma das anteriores</div>

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Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas *DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: função holomorfa </div> </div> Seja $ f(z) $ uma função inteira tal que $ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ $ para qualquer $ z $ tal que $ |z| \leq 1 $ (onde $ c $ é a circunferência de parametrização $ 2e^{i \theta} $, com $ \theta \in [0, 2\pi]$, percorrida uma vez no sentido directo). Se $ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}$, temos A) $ \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} $ B) $ \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} $ C) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente D) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente E) Nenhuma das anteriores</div>

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Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas *DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: função holomorfa </div> </div> Seja $ f(z) $ uma função inteira tal que $ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ $ para qualquer $ z $ tal que $ |z| \leq 1 $ (onde $ c $ é a circunferência de parametrização $ 2e^{i \theta} $, com $ \theta \in [0, 2\pi]$, percorrida uma vez no sentido directo). Se $ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}$, temos A) $ \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} $ B) $ \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} $ C) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente D) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente E) Nenhuma das anteriores</div>

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Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas *DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: função holomorfa </div> </div> Seja $ f(z) $ uma função inteira tal que $ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ $ para qualquer $ z $ tal que $ |z| \leq 1 $ (onde $ c $ é a circunferência de parametrização $ 2e^{i \theta} $, com $ \theta \in [0, 2\pi]$, percorrida uma vez no sentido directo). Se $ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}$, temos A) $ \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} $ B) $ \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} $ C) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente D) $ \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ $, para $ c $ tal como anteriormente E) Nenhuma das anteriores</div>

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Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Séries de potências complexas *DESCRICAO: Determinar raios de convergência e propriedades de algumas séries de potências complexas a partir da convergência de uma dada série. *DIFICULDADE: ** *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn *PALAVRAS CHAVE: séries de potências, funções ançíticas, funções holomorfas </div> </div> Sabendo que a série de potências complexas $ \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^{2n} $ tem raio de convergência $ r $, com $ r \neq 0 $, podemos garantir que A) $ f(z) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n^2} (z-z_0)^{n} $ tem derivada na origem. B) A função $ f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{2n} (z-z_0)^{n} $ é analítica na origem. C) $ \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_{n^2} (z-z_0)^{n} $ tem raio de convergência $ 0 $. D) $ \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{2n} (z-z_0)^{n} $ tem raio de convergência $ 2r $. E) Nenhuma das anteriores.</div>

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Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Logaritmos complexos *DESCRICAO: Utilização das propriedades básicas dos vários ramos do logaritmo complexo *DIFICULDADE: * *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: logaritmos, ramo </div> </div> Indique as afirmações verdadeiras. A) $\log_k(z_1 z_2) = \log_k(z_1) + \log_k(z_2) $, para qualquer $k \in \mathbb{Z}$ e quaisquer $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ B) $\log_{2k}(i z) = \log_k(i) + \log_k(z) $, para qualquer $k \in \mathbb{Z}$ e qualquer $z \in \mathbb{C}$ C) $\log_k(i+z) = \log_k(i) + \log_k(z) $, para qualquer $k \in \mathbb{Z}$ e qualquer $z \in \mathbb{C}$ D) $\log_k(z_1 z_2) = \log_k(z_1) + \log_k(z_2) $, para qualquer $k \in \mathbb{Z}$ e qualquer $z \in \mathbb{C}$ E) Nenhuma</div>

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Ist13124: <hr /> <div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA: Matemática *DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais *ANO: 2 *LINGUA: pt *AUTOR: Rui Miguel Saramago *MATERIA PRINCIPAL: Logaritmos complexos *DESCRICAO: Utilização das propriedades básicas dos vários ramos do logaritmo complexo *DIFICULDADE: * *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn *PALAVRAS CHAVE: logaritmos, ramo </div> </div> Indique as afirmações verdadeiras. A) $\log_k(z_1 z_2) = \log_k(z_1) + \log_k(z_2) $, para qualquer $k \in \mathbb{Z}$ e quaisquer $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ B) $\log_{2k}(i z) = \log_k(i) + \log_k(z) $, para qualquer $k \in \mathbb{Z}$ e qualquer $z \in \mathbb{C}$ C) $\log_k(I+z) = \log_k(i) + \log_k(z) $, para qualquer $k \in \mathbb{Z}$ e qualquer $z \in \mathbb{C}$ D) $\log_k(z_1 z_2) = \log_k(z_1) + \log_k(z_2) $, para qualquer $k \in \mathbb{Z}$ e qualquer $z \in \mathbb{C}$ E) Nenhuma</div>

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