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http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//mysolutions/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Ist165721 2025-08-18T06:01:16Z Contribuições do utilizador MediaWiki 1.35.2
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http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=P%C3%A1gina_principal&diff=866 2016-01-07T11:38:46Z

<p>Ist165721: De Probabilidade para Probabilidades.</p> <hr /> <div>Esta wiki pretende coletar problemas e exercícios das várias disciplinas (UCs) lecionadas no IST. Cada problema ou exercício obedece a (i) uma hierarquia estabelecida de acordo com o programa oficial da disciplina e (ii) está organizada por tópicos onde (iii) é atríbuido um nome elucidativo do mesmo.<br /> <br /> Os problemas são classificados no campo de Metadata da seguinte forma (vide exemplo):<br /> CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br /> AREA: Física<br /> DISCIPLINA: Mecânica e ondas<br /> ANO: 2<br /> LINGUA: pt<br /> AUTOR: <br /> MATERIA PRINCIPAL: Descrição do movimento no espaço e no tempo (Tópico catalogado no programa do Fenix)<br /> DESCRICAO: Equação do movimento segundo um eixo.<br /> DIFICULDADE: [*,**,***,****]<br /> TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 90 [s]<br /> TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 180 [s]<br /> PALAVRAS CHAVE: equação movimento, partícula pontual<br /> <br /> Em particular a DIFICULDADE deve ser regida pelas seguintes regras: <br /> <br /> (i) Exercicios de utilização em fichas digitais (ie sem dependências de alíneas anteriores) *(Fácil), **(Regular)<br /> <br /> (ii) Problemas com potencial de exame: ***(Fácil), ****(Regular), *****(Avançado)<br /> <br /> O campo MATERIA PRINCIPAL deve replicar exatamente o nome do Tópico (segundo nível na wiki) sob o qual o problema está agrupado. Caso o problema abranja mais do que um tópico deve ficar na hierarquia do Capitulo normalmente designado &quot;Tópicos Transversais de [Nome_Capitulo]&quot; e a MATERIA PRINCIPAL fica com essa designação.<br /> <br /> [https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/288548787850389/FILE0122.JPG Imagem na drive]<br /> <br /> [https://drive.tecnico.ulisboa.pt/#/directory/mooc/wiki Pasta na drive]<br /> <br /> [[MOOC FEX]]<br /> <br /> =Física=<br /> *[[Mecânica e ondas]]<br /> *[[Termodinâmica e estrutura da matéria]]<br /> *[[Eletromagnetismo e ótica]]<br /> *[[Física Experimental]]<br /> <br /> =Matemática=<br /> *[[Álgebra linear]]<br /> *[[Cálculo diferencial e integral I]]<br /> *[[Cálculo diferencial e integral II]]<br /> *[[Análise complexa e equações diferenciais]]<br /> *[[Probabilidade e estatística]]<br /> *[[Probabilidades e estatística]] (em construção)</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Planck&diff=863 2016-01-05T14:38:01Z

<p>Ist165721: /* A experiência em casa */ Siglas não têm plural. Escreve-se &quot;os LED&quot; e não &quot;os LEDs&quot;</p> <hr /> <div>=Introdução=<br /> Esta experiência enquadra-se na designada &quot;Física Moderna&quot; e permite determinar uma das constantes fundamentais da Física, a constante de Planck. Planck postulou a primeira relação entre ondas e cropusculos (a celebre dicotomia onda-partícula) ao afirmar que a energia dum fotão luminoso era proporcional ao seu comprimento de onda.<br /> <br /> A título de curiosidade, o efeito foto-eletrico valeu a Albert Einstein o seu nóbel em 1921 (e não a relatividade, apesar de ser este o tema mais reconhecido pelo público geral).<br /> <br /> Três aplicações comuns no dia-a-dia do efeito foto-eletrico são os painéis solares, os sensores (como por exemplo nos comandos de TV) e os LED (cuja sigla se traduz para díodo emissor de luz).<br /> <br /> <br /> =A experiência em casa=<br /> <br /> (fonte: http://www.scienceinschool.org/2014/issue28/planck)<br /> <br /> Para esta experiência vamos usar díodos emissores de luz (conhecidos por LED) de várias cores. Monta-se na breadboard os LED com o cátodo no barramento negativo e com uma resistencia de 100ohm em serie com uma variável de 10k. Estas são ligadas num dos pólos ao barramento positivo da pilha e o multimetro é ligado alternadamente aos terminais da resistencia de 100 ohm e aos terminais do LED a ser medido. . Escolhendo um dos LED, montamos o circuito descrito neste esquema, onde a tensão aplicada ao LED é medido alternadamente com a tensão aos terminais da resistencia de 100R. Estaultima determinação permite inferir a corrente no circuito pela lei de Ohm.<br /> <br /> (diagrama eléctrico do circuito)<br /> <br /> O fio de ligação permite seleccionar o LED a medir. Variando o potenciómetro estabelece-se o valor mínimo da corrente na resistência para o qual ocorre emissão de luz, procurando que esse valor seja equivalente em todas as determinações. O ideal é fazer a experiência num local semi-obscurecido. Obteremos uma tabela semelhante a esta:<br /> <br /> (plot tensão vs tensão na resistencia e vs corrente)<br /> <br /> No caso do LED infra-vermelho (IR), não visivel a olho nú, infere-se pela corrente equivalente dos outros LED ou então utiliza-se uma câmara de telemovél ou webcam. A tensão do ínicio de condução é muito próxima do “potêncial de travagem”, que não é mais do que a tensão necessária para quebrar a barreira de potencial intrinseca do semi-condutor pelos foto-eletrões.<br /> <br /> (foto / vídeo da montagem caseira) <br /> <br /> Repetindo este processo para os restantes LED, e estimando o seu comprimento de onda pela cor, podemos construír um gráfico de frequência (o inverso do comprimento de onda) vs potêncial de paragem. Obtemos um gráfico semelhante a este, onde podemos ajustar uma recta que terá declive (h/e)<br /> <br /> =A experiência no e-lab=<br /> <br /> Vantagens da experiência no e-lab vs a experiência em casa (simplesmente comprar?) <br /> <br /> (Mesma coisa de experiências anteriores)</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Radiare&diff=854 2015-12-31T23:44:24Z

<p>Ist165721: /* A experiência no e-lab */</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Radiare<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> Nesta experiência vamos debruçar-nos sobre um conceito bastante comum na natureza, os eventos aleatórios, e vamos estudar uma das ferramentas mais comuns para estudar estes fenómenos: o histograma.<br /> <br /> A definição de evento aleatório cai fora do âmbito deste curso, mas no dia a dia temos vários exemplos: os números da lotaria, EXEMPLO, EXEMPLO, EXEMPLO...<br /> <br /> Um dos primeiros eventos aleatórios com que um estudante de física é confrontado é o decaimento radioactivo. Mas antes, uma pequena experiência para fazer em casa. <br /> <br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> Em casa, sugerimos uma experiência simples de lançar X dados múltiplas vezes. O tipo mais comum de dados é o D6 (mostrar foto), mas esta experiência pode ser feita com qualquer tipo (mostrar imagens de outros tipos de dados). Em cada lançamento registamos o valor da soma das faces. Ao lançar 18 vezes, ficamos com esta lista de valores:<br /> <br /> (imagem dos números escritos)<br /> <br /> Ao apresentarmos os dados desta forma não dizem nada. É aqui que entra o histograma. Em vez de simplesmente escre-ver o valor, vamos representa-lo graficamente.<br /> <br /> (Video da construção do histograma.) <br /> <br /> Em vez disso, vamos construir um gráfico. No eixo horizontal temos os valores possíveis. No vertical, o nº de vezes que observamos esse valor. Cada vez que aparece, colorimos uma quadricula.<br /> <br /> Fazemos agora uma 2ª experiência, desta vez com mais lançamentos, 36: (gráfico já feito ou time lapse do lançar os dados / desenhar)<br /> <br /> Uma 3ª, agora com 48:<br /> <br /> Como podemos ver, a distribuição dos resultados aproxima-se cada vez mais de uma curva normal (também conhecida como Gaussiana). Quanto mais lançamentos forem registados, mais próximo o histograma fica da curva. É isto que signi-fica limite da distribuição, mais isso fica fora do âmbito deste curso.<br /> <br /> PERGUNTAS: média da distribuição? Desvio padrão? Porque somamos vários dados em vez de lançar apenas um e registar a face?<br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab==<br /> <br /> Chega agora o momento de estudar o decaimento radioactivo, que já foi aludido. Este fenómeno é aleatório porque não há nenhuma lei que defina quando é que um determinado núcleo irá decair. Apenas conseguimos aproximar quantos nú-cleos decaem num determinado intervalo de tempo, se conhecermos algumas informações sobre a amostra e o elemento em causa.<br /> Para esta experiência usamos a sala de controlo Radiare. Esta é uma das experiências que mostra a força do e-lab: são raras as escolas básicas ou secundárias que têm acesso a amostras radioactivas.<br /> <br /> (vídeo da montagem a mexer-se)<br /> <br /> A montagem é composta por um detector de Geiger-Müller posicionado por cima de uma amostra radioactiva de Amerício 95. Entre o detector e a amostra, temos um tapete com várias amostras. Cada uma dessas posições corresponde um mate-rial diferente.<br /> A distância entre a amostra e o material escolhido é sempre a mesma, mas o utilizador pode escolher posicionar o detector a diferentes alturas, mudando a distância amostra / detector. <br /> <br /> [[File:RadiareControlo.png|thumb|Sala de controlo da experiência &#039;&#039;Radiare&#039;&#039;.]] <br /> <br /> Na sala de controlo temos 3 parâmetros que podemos modificar:<br /> *Altura do detector;<br /> *Número de amostras a registar;<br /> *O material a usar.<br /> <br /> [[File:RadiareOutput.png|thumb|O output do detector.]] <br /> <br /> Assim que corremos a experiência, vemos este número. O que é que significa? Este é o número de eventos que o dector “viu” durante 1 segundo. Este número por sí só não nos diz muito: pode ser tentador usa-lo directamente, mas não o de-vemos fazer. Porque o decaimento é um evento aleatório, pode haver mais núcleos a decair num determinado intervalo do que no seguinte. A lei do decaimento dita que a MÉDIA do número de decaimentos tende para um certo valor. Por esta razão o e-lab regista várias amostras em intervalos definidos.<br /> Tabela de resultados<br /> <br /> No final obtemos uma tabela com X linhas, em que X é o número de amostras pedidas. Podemos gravar a tabela o que nos deixa com um ficheiro CSV. Se tiver dificuldades em extrair a informação deste ficheiro, temos um tutorial na página com as configurações necessárias.<br /> <br /> Vamos usar programa Microsoft Excel, mas qualquer programa de folha de cálculo (LibreOffice, OpenOffice, etc) funcio-na de uma maneira semelhante. Selecionamos a coluna com os resultados pretendidos e copiamos para uma nova folha. Este programa tem um menu próprio para inserir um histograma. Selecionamos os valores, escolhemos a opção adequada e voilà. Temos assim um histograma. <br /> <br /> [[File:RadiareExcel.png|thumb|O histograma criado a partir da tabela de exmplo, no programa Microsoft Excel.]] <br /> <br /> Para obtermos a média e o desvio padrão, fazemos MEAN ou MEDIA e STDEV ou DESV, respectivamente. A média da distribuição dá-nos uma ideia mais correcta da actividade da amostra, e é este valor que devemos usar para comparar os vários materiais<br /> <br /> Os protocolos sugeridos implicam fazer este processo várias vezes (uma para cada configuração).<br /> <br /> <br /> <br /> PERGUNTAS: Qual é a semi-espessura do cobre?</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Ficheiro:RadiareExcel.png&diff=853 2015-12-31T23:40:42Z

<p>Ist165721: </p> <hr /> <div></div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Radiare&diff=852 2015-12-31T23:40:12Z

<p>Ist165721: Imagens.</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Radiare<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> Nesta experiência vamos debruçar-nos sobre um conceito bastante comum na natureza, os eventos aleatórios, e vamos estudar uma das ferramentas mais comuns para estudar estes fenómenos: o histograma.<br /> <br /> A definição de evento aleatório cai fora do âmbito deste curso, mas no dia a dia temos vários exemplos: os números da lotaria, EXEMPLO, EXEMPLO, EXEMPLO...<br /> <br /> Um dos primeiros eventos aleatórios com que um estudante de física é confrontado é o decaimento radioactivo. Mas antes, uma pequena experiência para fazer em casa. <br /> <br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> Em casa, sugerimos uma experiência simples de lançar X dados múltiplas vezes. O tipo mais comum de dados é o D6 (mostrar foto), mas esta experiência pode ser feita com qualquer tipo (mostrar imagens de outros tipos de dados). Em cada lançamento registamos o valor da soma das faces. Ao lançar 18 vezes, ficamos com esta lista de valores:<br /> <br /> (imagem dos números escritos)<br /> <br /> Ao apresentarmos os dados desta forma não dizem nada. É aqui que entra o histograma. Em vez de simplesmente escre-ver o valor, vamos representa-lo graficamente.<br /> <br /> (Video da construção do histograma.) <br /> <br /> Em vez disso, vamos construir um gráfico. No eixo horizontal temos os valores possíveis. No vertical, o nº de vezes que observamos esse valor. Cada vez que aparece, colorimos uma quadricula.<br /> <br /> Fazemos agora uma 2ª experiência, desta vez com mais lançamentos, 36: (gráfico já feito ou time lapse do lançar os dados / desenhar)<br /> <br /> Uma 3ª, agora com 48:<br /> <br /> Como podemos ver, a distribuição dos resultados aproxima-se cada vez mais de uma curva normal (também conhecida como Gaussiana). Quanto mais lançamentos forem registados, mais próximo o histograma fica da curva. É isto que signi-fica limite da distribuição, mais isso fica fora do âmbito deste curso.<br /> <br /> PERGUNTAS: média da distribuição? Desvio padrão? Porque somamos vários dados em vez de lançar apenas um e registar a face?<br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab==<br /> <br /> Chega agora o momento de estudar o decaimento radioactivo, que já foi aludido. Este fenómeno é aleatório porque não há nenhuma lei que defina quando é que um determinado núcleo irá decair. Apenas conseguimos aproximar quantos nú-cleos decaem num determinado intervalo de tempo, se conhecermos algumas informações sobre a amostra e o elemento em causa.<br /> Para esta experiência usamos a sala de controlo Radiare. Esta é uma das experiências que mostra a força do e-lab: são raras as escolas básicas ou secundárias que têm acesso a amostras radioactivas.<br /> <br /> (vídeo da montagem a mexer-se)<br /> <br /> A montagem é composta por um detector de Geiger-Müller posicionado por cima de uma amostra radioactiva de Amerício 95. Entre o detector e a amostra, temos um tapete com várias amostras. Cada uma dessas posições corresponde um mate-rial diferente.<br /> A distância entre a amostra e o material escolhido é sempre a mesma, mas o utilizador pode escolher posicionar o detector a diferentes alturas, mudando a distância amostra / detector. <br /> <br /> [[File:RadiareControlo.png|thumb|]] <br /> <br /> Na sala de controlo temos 3 parâmetros que podemos modificar:<br /> *Altura do detector;<br /> *Número de amostras a registar;<br /> *O material a usar.<br /> <br /> [[File:RadiareOutput.png|thumb|]] <br /> <br /> Assim que corremos a experiência, vemos este número. O que é que significa? Este é o número de eventos que o dector “viu” durante 1 segundo. Este número por sí só não nos diz muito: pode ser tentador usa-lo directamente, mas não o de-vemos fazer. Porque o decaimento é um evento aleatório, pode haver mais núcleos a decair num determinado intervalo do que no seguinte. A lei do decaimento dita que a MÉDIA do número de decaimentos tende para um certo valor. Por esta razão o e-lab regista várias amostras em intervalos definidos.<br /> Tabela de resultados<br /> <br /> No final obtemos uma tabela com X linhas, em que X é o número de amostras pedidas. Podemos gravar a tabela o que nos deixa com um ficheiro CSV. Se tiver dificuldades em extrair a informação deste ficheiro, temos um tutorial na página com as configurações necessárias.<br /> <br /> Vamos usar programa Microsoft Excel, mas qualquer programa de folha de cálculo (LibreOffice, OpenOffice, etc) funcio-na de uma maneira semelhante. Selecionamos a coluna com os resultados pretendidos e copiamos para uma nova folha. Este programa tem um menu próprio para inserir um histograma. Selecionamos os valores, escolhemos a opção adequada e voilà. Temos assim um histograma. <br /> <br /> [[File:RadiareExcel.png|thumb|]] <br /> <br /> Para obtermos a média e o desvio padrão, fazemos MEAN ou MEDIA e STDEV ou DESV, respectivamente. A média da distribuição dá-nos uma ideia mais correcta da actividade da amostra, e é este valor que devemos usar para comparar os vários materiais<br /> <br /> Os protocolos sugeridos implicam fazer este processo várias vezes (uma para cada configuração).<br /> <br /> <br /> <br /> PERGUNTAS: Qual é a semi-espessura do cobre?</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Ficheiro:RadiareOutput.png&diff=851 2015-12-31T23:39:48Z

<p>Ist165721: </p> <hr /> <div></div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Ficheiro:RadiareControlo.png&diff=850 2015-12-31T23:39:30Z

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<p>Ist165721: /* A experiência no e-lab */</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Pêndulo Mundial<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> <br /> O pêndulo simples é uma das experiências básicas em física. <br /> <br /> Quando a massa é afastada da posição de equilíbrio (mantendo o fio direito) e largada, esta descreve um movimento periódico amortecido .<br /> <br /> O esquema normalmente usado para representar este sistema físico é apresentado na figura 1.<br /> <br /> (falta a imagem) <br /> <br /> O equilíbrio de forças a actuar na massa é &lt;math&gt;P \ sen \ \theta = T&lt;/math&gt; onde &lt;math&gt;P = m g&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;T = m a&lt;/math&gt;. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)<br /> <br /> &lt;math&gt; - m g \ sen \ \theta = m l \frac{d^2 \theta}{d t^2}&lt;/math&gt;<br /> <br /> Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (ou seja, &lt;math&gt;sen \theta \approx \theta&lt;/math&gt;) podemos escrever<br /> <br /> &lt;math&gt; \frac{d^2 \theta}{d t^2} + \omega _0 ^2 = 0&lt;/math&gt; onde &lt;math&gt; \omega _0 = \sqrt{ \frac{g}{l} }&lt;/math&gt;<br /> <br /> E o periodo do movimento é <br /> <br /> &lt;math&gt;T = \frac{\omega}{2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }&lt;/math&gt; <br /> <br /> que, como podemos observar, depende apenas do comprimento do fio e da aceleração gravítica.<br /> <br /> No programa de física 12º ano (confirmar isto) usa-se esta equação para, dado o comprimento de um pêndulo e uma ace-leração gravítica aproximada, se obter o período.<br /> <br /> Nesta actividade experimental vamos fazer o inverso: medir o período de um pêndulo para estudar o valor local da acele-ração gravítica. Mas antes disso, uma pequena experiência para fazer em casa:<br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> <br /> A construção de um pêndulo em casa é simples. No entanto, ao pensar na montagem, há sempre que ter em mente a re-produtibilidade das medições, ou seja, construir uma montagem que possa ser feita novamente, se necessário no outro lado do mundo. Uma montagem sugerida é:<br /> <br /> (foto)<br /> <br /> Ingredientes:<br /> *Um yoyo que será o pêndulo;<br /> *Um anteparo para ajudar a ajustar a posição inicial (e, consequentemente, a amplitude do movimento);<br /> *Uma fita métrica na mesa para medir a posição;<br /> *Um cronómetro (ou telemóvel com função de cronómetro);<br /> *Um ponto de fixação.<br /> <br /> Com esta montagem simples podemos estudar a forma como a variação da amplitude inicial ou do comprimento do fio afecta o período. (Amplitudes / comprimentos sugeridos?)<br /> <br /> Ao medir o tempo para n períodos ininterruptamente (fazendo depois a média) reduzimos o erro experimental do período (fica como desafio perceber porquê). A autora M. C. Abreu sugere 5 medições de 10 períodos. (pág 36, fundo)<br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab==<br /> <br /> (consideramos apenas as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)<br /> <br /> O projecto Pêndulo Mundial tem como objectivo evidênciar aos estudantes a variação de g com a latitude. <br /> <br /> Cada sala de controlo corresponde a uma das várias montagens com as mesmas características físicas, cada uma posicio-nada em pontos diferentes do globo, o que significa que cada sala pode ser usada para fazer o mesmo estudo que foi feito do o pêndulo caseiro numa montagem maior (o pêndulo mundial tem cerca de 3 metros de altura).<br /> <br /> [[File:BasePendulo.png|thumb|A montagem na base do pêndulo mundial, mostrando os componentes.]] <br /> <br /> A montagem dos pêndulos consiste num peso (usamos um peso de arremesso), um fio (aço?), um ponto de apoio (este sim difere nas montagens, mas é irrelevante) e um sistema de lançamento.<br /> <br /> (vídeo do pêndulo a começar) <br /> <br /> A sala de controlo permite escolher o ângulo inicial, o número de amostras e a frequência de aquisição.<br /> <br /> [[File:ControloPendulo.png|thumb|A sala de controlo do Pêndulo Mundial.]]<br /> <br /> A tabela de resultados obtida tem esta forma:<br /> <br /> [[File:PenduloResultados.png|thumb|Exemplo de uma tabela de resultados.]]<br /> <br /> Cada uma das amostras corresponde à posição do pêndulo num determinado instante. A interface do e-lab também mostra um gráfico com os resultados:<br /> <br /> [[File:GraficoPendulo.png|thumb|]]<br /> <br /> Vamos escolher as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)<br /> <br /> Fazemos o registo de alguns períodos e determinamos g a partir da equação já deduzida: &lt;math&gt;g = \frac{4 \pi ^2 L}{T^2}&lt;/math&gt;<br /> <br /> Este processo pode ser repetido para vários pontos do globo, e os resultados plotados em função da latitude. Para compa-rar com valores esperados, podemos usar a equação dada pelo World GeodeticSystem Datum Surface:<br /> <br /> &lt;math&gt;g_n (\varphi) = 9,780 326 772 \ \left[ 1 + 0.005 302 33 \ sin^2(\varphi) - 0,000 005 89 \ sin^2 \left( \frac{2}{\varphi} \right) \right] &lt;/math&gt;<br /> <br /> =Últimas considerações=<br /> <br /> *Definir bem o comprimento do pêndulo (fio + raio da esfera).<br /> *Não esquecer a aproximação de pequenos ângulos, para amplitudes grandes a expressão para o período deixa de ser válida.<br /> *Desprezar as oscilações iniciais (para que os transientes desapareçam).<br /> *Não esquecer que os valores têm um offset causado por especificidades da montagem.<br /> *Pode usar-se um bengaleiro para fixar o pêndulo<br /> *Pode fazer-se a experiência encostada a um espelho ou vidro/janela para reduzir os erros de paralaxe</div>

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<p>Ist165721: /* A experiência no e-lab */ Imagens.</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Pêndulo Mundial<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> <br /> O pêndulo simples é uma das experiências básicas em física. <br /> <br /> Quando a massa é afastada da posição de equilíbrio (mantendo o fio direito) e largada, esta descreve um movimento periódico amortecido .<br /> <br /> O esquema normalmente usado para representar este sistema físico é apresentado na figura 1.<br /> <br /> (falta a imagem) <br /> <br /> O equilíbrio de forças a actuar na massa é &lt;math&gt;P \ sen \ \theta = T&lt;/math&gt; onde &lt;math&gt;P = m g&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;T = m a&lt;/math&gt;. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)<br /> <br /> &lt;math&gt; - m g \ sen \ \theta = m l \frac{d^2 \theta}{d t^2}&lt;/math&gt;<br /> <br /> Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (ou seja, &lt;math&gt;sen \theta \approx \theta&lt;/math&gt;) podemos escrever<br /> <br /> &lt;math&gt; \frac{d^2 \theta}{d t^2} + \omega _0 ^2 = 0&lt;/math&gt; onde &lt;math&gt; \omega _0 = \sqrt{ \frac{g}{l} }&lt;/math&gt;<br /> <br /> E o periodo do movimento é <br /> <br /> &lt;math&gt;T = \frac{\omega}{2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }&lt;/math&gt; <br /> <br /> que, como podemos observar, depende apenas do comprimento do fio e da aceleração gravítica.<br /> <br /> No programa de física 12º ano (confirmar isto) usa-se esta equação para, dado o comprimento de um pêndulo e uma ace-leração gravítica aproximada, se obter o período.<br /> <br /> Nesta actividade experimental vamos fazer o inverso: medir o período de um pêndulo para estudar o valor local da acele-ração gravítica. Mas antes disso, uma pequena experiência para fazer em casa:<br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> <br /> A construção de um pêndulo em casa é simples. No entanto, ao pensar na montagem, há sempre que ter em mente a re-produtibilidade das medições, ou seja, construir uma montagem que possa ser feita novamente, se necessário no outro lado do mundo. Uma montagem sugerida é:<br /> <br /> (foto)<br /> <br /> Ingredientes:<br /> *Um yoyo que será o pêndulo;<br /> *Um anteparo para ajudar a ajustar a posição inicial (e, consequentemente, a amplitude do movimento);<br /> *Uma fita métrica na mesa para medir a posição;<br /> *Um cronómetro (ou telemóvel com função de cronómetro);<br /> *Um ponto de fixação.<br /> <br /> Com esta montagem simples podemos estudar a forma como a variação da amplitude inicial ou do comprimento do fio afecta o período. (Amplitudes / comprimentos sugeridos?)<br /> <br /> Ao medir o tempo para n períodos ininterruptamente (fazendo depois a média) reduzimos o erro experimental do período (fica como desafio perceber porquê). A autora M. C. Abreu sugere 5 medições de 10 períodos. (pág 36, fundo)<br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab==<br /> <br /> (consideramos apenas as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)<br /> <br /> O projecto Pêndulo Mundial tem como objectivo evidênciar aos estudantes a variação de g com a latitude. <br /> <br /> Cada sala de controlo corresponde a uma das várias montagens com as mesmas características físicas, cada uma posicio-nada em pontos diferentes do globo, o que significa que cada sala pode ser usada para fazer o mesmo estudo que foi feito do o pêndulo caseiro numa montagem maior (o pêndulo mundial tem cerca de 3 metros de altura).<br /> <br /> [[File:BasePendulo.png|thumb]] <br /> <br /> A montagem dos pêndulos consiste num peso (usamos um peso de arremesso), um fio (aço?), um ponto de apoio (este sim difere nas montagens, mas é irrelevante) e um sistema de lançamento.<br /> <br /> (vídeo do pêndulo a começar) <br /> <br /> A sala de controlo permite escolher o ângulo inicial, o número de amostras e a frequência de aquisição.<br /> <br /> [[File:ControloPendulo.png|thumb]]<br /> <br /> A tabela de resultados obtida tem esta forma:<br /> <br /> <br /> <br /> Cada uma das amostras corresponde à posição do pêndulo num determinado instante. A interface do e-lab também mos-tra um gráfico com os resultados:<br /> <br /> <br /> <br /> Vamos escolher as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)<br /> <br /> Fazemos o registo de alguns períodos e determinamos g a partir da equação já deduzida <br /> <br /> g = (4 pi^2 L)/T^2<br /> <br /> Este processo pode ser repetido para vários pontos do globo, e os resultados plotados em função da latitude. Para compa-rar com valores esperados, podemos usar a equação dada pelo World GeodeticSystem Datum Surface:<br /> <br /> g_{n}(\varphi) = 9.780 326 772\times[1 + 0.005 302 33 \cdot sin^{2}(\varphi) - 0.000 005 89 \cdot sin^{2}(2\varphi)] \label{harmonica-esferica}<br /> <br /> =Últimas considerações=<br /> <br /> *Definir bem o comprimento do pêndulo (fio + raio da esfera).<br /> *Não esquecer a aproximação de pequenos ângulos, para amplitudes grandes a expressão para o período deixa de ser válida.<br /> *Desprezar as oscilações iniciais (para que os transientes desapareçam).<br /> *Não esquecer que os valores têm um offset causado por especificidades da montagem.<br /> *Pode usar-se um bengaleiro para fixar o pêndulo<br /> *Pode fazer-se a experiência encostada a um espelho ou vidro/janela para reduzir os erros de paralaxe</div>

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<p>Ist165721: /* Introdução teórica */ Espaçamento na matemática.</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Pêndulo Mundial<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> <br /> O pêndulo simples é uma das experiências básicas em física. <br /> <br /> Quando a massa é afastada da posição de equilíbrio (mantendo o fio direito) e largada, esta descreve um movimento periódico amortecido .<br /> <br /> O esquema normalmente usado para representar este sistema físico é apresentado na figura 1.<br /> <br /> (falta a imagem) <br /> <br /> O equilíbrio de forças a actuar na massa é &lt;math&gt;P \ sen \ \theta = T&lt;/math&gt; onde &lt;math&gt;P = m g&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;T = m a&lt;/math&gt;. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)<br /> <br /> &lt;math&gt; - m g \ sen \ \theta = m l \frac{d^2 \theta}{d t^2}&lt;/math&gt;<br /> <br /> Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (ou seja, &lt;math&gt;sen \theta \approx \theta&lt;/math&gt;) podemos escrever<br /> <br /> &lt;math&gt; \frac{d^2 \theta}{d t^2} + \omega _0 ^2 = 0&lt;/math&gt; onde &lt;math&gt; \omega _0 = \sqrt{ \frac{g}{l} }&lt;/math&gt;<br /> <br /> E o periodo do movimento é <br /> <br /> &lt;math&gt;T = \frac{\omega}{2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }&lt;/math&gt; <br /> <br /> que, como podemos observar, depende apenas do comprimento do fio e da aceleração gravítica.<br /> <br /> No programa de física 12º ano (confirmar isto) usa-se esta equação para, dado o comprimento de um pêndulo e uma ace-leração gravítica aproximada, se obter o período.<br /> <br /> Nesta actividade experimental vamos fazer o inverso: medir o período de um pêndulo para estudar o valor local da acele-ração gravítica. Mas antes disso, uma pequena experiência para fazer em casa:<br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> <br /> A construção de um pêndulo em casa é simples. No entanto, ao pensar na montagem, há sempre que ter em mente a re-produtibilidade das medições, ou seja, construir uma montagem que possa ser feita novamente, se necessário no outro lado do mundo. Uma montagem sugerida é:<br /> <br /> (foto)<br /> <br /> Ingredientes:<br /> *Um yoyo que será o pêndulo;<br /> *Um anteparo para ajudar a ajustar a posição inicial (e, consequentemente, a amplitude do movimento);<br /> *Uma fita métrica na mesa para medir a posição;<br /> *Um cronómetro (ou telemóvel com função de cronómetro);<br /> *Um ponto de fixação.<br /> <br /> Com esta montagem simples podemos estudar a forma como a variação da amplitude inicial ou do comprimento do fio afecta o período. (Amplitudes / comprimentos sugeridos?)<br /> <br /> Ao medir o tempo para n períodos ininterruptamente (fazendo depois a média) reduzimos o erro experimental do período (fica como desafio perceber porquê). A autora M. C. Abreu sugere 5 medições de 10 períodos. (pág 36, fundo)<br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab==<br /> <br /> (consideramos apenas as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)<br /> <br /> O projecto Pêndulo Mundial tem como objectivo evidênciar aos estudantes a variação de g com a latitude. <br /> <br /> Cada sala de controlo corresponde a uma das várias montagens com as mesmas características físicas, cada uma posicio-nada em pontos diferentes do globo, o que significa que cada sala pode ser usada para fazer o mesmo estudo que foi feito do o pêndulo caseiro numa montagem maior (o pêndulo mundial tem cerca de 3 metros de altura).<br /> <br /> <br /> <br /> A montagem dos pêndulos consiste num peso (usamos um peso de arremesso), um fio (aço?), um ponto de apoio (este sim difere nas montagens, mas é irrelevante) e um sistema de lançamento.<br /> <br /> (vídeo do pêndulo a começar) <br /> <br /> A sala de controlo é a seguinte:<br /> <br /> <br /> <br /> A tabela de resultados obtida tem esta forma:<br /> <br /> <br /> <br /> Cada uma das amostras corresponde à posição do pêndulo num determinado instante. A interface do e-lab também mos-tra um gráfico com os resultados:<br /> <br /> <br /> <br /> Vamos escolher as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)<br /> <br /> Fazemos o registo de alguns períodos e determinamos g a partir da equação já deduzida <br /> <br /> g = (4 pi^2 L)/T^2<br /> <br /> Este processo pode ser repetido para vários pontos do globo, e os resultados plotados em função da latitude. Para compa-rar com valores esperados, podemos usar a equação dada pelo World GeodeticSystem Datum Surface:<br /> <br /> g_{n}(\varphi) = 9.780 326 772\times[1 + 0.005 302 33 \cdot sin^{2}(\varphi) - 0.000 005 89 \cdot sin^{2}(2\varphi)] \label{harmonica-esferica}<br /> <br /> <br /> =Últimas considerações=<br /> <br /> *Definir bem o comprimento do pêndulo (fio + raio da esfera).<br /> *Não esquecer a aproximação de pequenos ângulos, para amplitudes grandes a expressão para o período deixa de ser válida.<br /> *Desprezar as oscilações iniciais (para que os transientes desapareçam).<br /> *Não esquecer que os valores têm um offset causado por especificidades da montagem.<br /> *Pode usar-se um bengaleiro para fixar o pêndulo<br /> *Pode fazer-se a experiência encostada a um espelho ou vidro/janela para reduzir os erros de paralaxe</div>

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<p>Ist165721: /* Introdução teórica */</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Pêndulo Mundial<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> <br /> O pêndulo simples é uma das experiências básicas em física. <br /> <br /> Quando a massa é afastada da posição de equilíbrio (mantendo o fio direito) e largada, esta descreve um movimento periódico amortecido .<br /> <br /> O esquema normalmente usado para representar este sistema físico é apresentado na figura 1.<br /> <br /> (falta a imagem) <br /> <br /> O equilíbrio de forças a actuar na massa é &lt;math&gt;P \cdot sen \theta = T&lt;/math&gt; onde &lt;math&gt;P = m g&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;T = m a&lt;/math&gt;. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)<br /> <br /> &lt;math&gt; - m g \cdot sen (\theta = m l \frac{d^2 \theta}{d t^2}&lt;/math&gt;<br /> <br /> Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (ou seja, &lt;math&gt;sen \theta \approx \theta&lt;/math&gt;) podemos escrever<br /> <br /> &lt;math&gt; \frac{d^2 \theta}{d t^2} + \omega _0 ^2 = 0&lt;/math&gt; onde &lt;math&gt; \omega _0 = \sqrt{ \frac{g}{l} }&lt;/math&gt;<br /> <br /> E o periodo do movimento é <br /> <br /> &lt;math&gt;T = \frac{\omega}{2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }&lt;/math&gt; <br /> <br /> que, como podemos observar, depende apenas do comprimento do fio e da aceleração gravítica.<br /> <br /> No programa de física 12º ano (confirmar isto) usa-se esta equação para, dado o comprimento de um pêndulo e uma ace-leração gravítica aproximada, se obter o período.<br /> <br /> Nesta actividade experimental vamos fazer o inverso: medir o período de um pêndulo para estudar o valor local da acele-ração gravítica. Mas antes disso, uma pequena experiência para fazer em casa:<br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> <br /> A construção de um pêndulo em casa é simples. No entanto, ao pensar na montagem, há sempre que ter em mente a re-produtibilidade das medições, ou seja, construir uma montagem que possa ser feita novamente, se necessário no outro lado do mundo. Uma montagem sugerida é:<br /> <br /> (foto)<br /> <br /> Ingredientes:<br /> *Um yoyo que será o pêndulo;<br /> *Um anteparo para ajudar a ajustar a posição inicial (e, consequentemente, a amplitude do movimento);<br /> *Uma fita métrica na mesa para medir a posição;<br /> *Um cronómetro (ou telemóvel com função de cronómetro);<br /> *Um ponto de fixação.<br /> <br /> Com esta montagem simples podemos estudar a forma como a variação da amplitude inicial ou do comprimento do fio afecta o período. (Amplitudes / comprimentos sugeridos?)<br /> <br /> Ao medir o tempo para n períodos ininterruptamente (fazendo depois a média) reduzimos o erro experimental do período (fica como desafio perceber porquê). A autora M. C. Abreu sugere 5 medições de 10 períodos. (pág 36, fundo)<br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab==<br /> <br /> (consideramos apenas as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)<br /> <br /> O projecto Pêndulo Mundial tem como objectivo evidênciar aos estudantes a variação de g com a latitude. <br /> <br /> Cada sala de controlo corresponde a uma das várias montagens com as mesmas características físicas, cada uma posicio-nada em pontos diferentes do globo, o que significa que cada sala pode ser usada para fazer o mesmo estudo que foi feito do o pêndulo caseiro numa montagem maior (o pêndulo mundial tem cerca de 3 metros de altura).<br /> <br /> <br /> <br /> A montagem dos pêndulos consiste num peso (usamos um peso de arremesso), um fio (aço?), um ponto de apoio (este sim difere nas montagens, mas é irrelevante) e um sistema de lançamento.<br /> <br /> (vídeo do pêndulo a começar) <br /> <br /> A sala de controlo é a seguinte:<br /> <br /> <br /> <br /> A tabela de resultados obtida tem esta forma:<br /> <br /> <br /> <br /> Cada uma das amostras corresponde à posição do pêndulo num determinado instante. A interface do e-lab também mos-tra um gráfico com os resultados:<br /> <br /> <br /> <br /> Vamos escolher as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)<br /> <br /> Fazemos o registo de alguns períodos e determinamos g a partir da equação já deduzida <br /> <br /> g = (4 pi^2 L)/T^2<br /> <br /> Este processo pode ser repetido para vários pontos do globo, e os resultados plotados em função da latitude. Para compa-rar com valores esperados, podemos usar a equação dada pelo World GeodeticSystem Datum Surface:<br /> <br /> g_{n}(\varphi) = 9.780 326 772\times[1 + 0.005 302 33 \cdot sin^{2}(\varphi) - 0.000 005 89 \cdot sin^{2}(2\varphi)] \label{harmonica-esferica}<br /> <br /> <br /> =Últimas considerações=<br /> <br /> *Definir bem o comprimento do pêndulo (fio + raio da esfera).<br /> *Não esquecer a aproximação de pequenos ângulos, para amplitudes grandes a expressão para o período deixa de ser válida.<br /> *Desprezar as oscilações iniciais (para que os transientes desapareçam).<br /> *Não esquecer que os valores têm um offset causado por especificidades da montagem.<br /> *Pode usar-se um bengaleiro para fixar o pêndulo<br /> *Pode fazer-se a experiência encostada a um espelho ou vidro/janela para reduzir os erros de paralaxe</div>

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<p>Ist165721: Markup das equações mateméticas.</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Pêndulo Mundial<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> <br /> O pêndulo simples é uma das experiências básicas em física. <br /> <br /> Quando a massa é afastada da posição de equilíbrio (mantendo o fio direito) e largada, esta descreve um movimento periódico amortecido .<br /> <br /> O esquema normalmente usado para representar este sistema físico é apresentado na figura 1.<br /> <br /> (falta a imagem) <br /> <br /> O equilíbrio de forças a actuar na massa é &lt;math&gt;P sen \theta = T&lt;/math&gt; onde &lt;math&gt;P = m g&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;T = m a&lt;/math&gt;. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)<br /> <br /> &lt;math&gt; - m g sen \theta = m l \frac{d^2 theta}{d t^2}&lt;/math&gt;<br /> <br /> Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (ou seja, &lt;math&gt;sen \theta \approx \theta&lt;/math&gt;) podemos escrever<br /> <br /> &lt;math&gt; \frac{d^2 theta }{ d t^2} + \omega _0 ^2 = 0&lt;/math&gt; onde &lt;math&gt; \omega _0 = \sqrt{ \frac{g}{l} }&lt;/math&gt;<br /> <br /> E o periodo do movimento é <br /> <br /> &lt;math&gt;T = \frac{omega }{ 2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }&lt;/math&gt; <br /> <br /> que, como podemos observar, depende apenas do comprimento do fio e da aceleração gravítica.<br /> <br /> No programa de física 12º ano (confirmar isto) usa-se esta equação para, dado o comprimento de um pêndulo e uma ace-leração gravítica aproximada, se obter o período.<br /> <br /> Nesta actividade experimental vamos fazer o inverso: medir o período de um pêndulo para estudar o valor local da acele-ração gravítica. Mas antes disso, uma pequena experiência para fazer em casa:<br /> <br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> <br /> A construção de um pêndulo em casa é simples. No entanto, ao pensar na montagem, há sempre que ter em mente a re-produtibilidade das medições, ou seja, construir uma montagem que possa ser feita novamente, se necessário no outro lado do mundo. Uma montagem sugerida é:<br /> <br /> (foto)<br /> <br /> Ingredientes:<br /> *Um yoyo que será o pêndulo;<br /> *Um anteparo para ajudar a ajustar a posição inicial (e, consequentemente, a amplitude do movimento);<br /> *Uma fita métrica na mesa para medir a posição;<br /> *Um cronómetro (ou telemóvel com função de cronómetro);<br /> *Um ponto de fixação.<br /> <br /> Com esta montagem simples podemos estudar a forma como a variação da amplitude inicial ou do comprimento do fio afecta o período. (Amplitudes / comprimentos sugeridos?)<br /> <br /> Ao medir o tempo para n períodos ininterruptamente (fazendo depois a média) reduzimos o erro experimental do período (fica como desafio perceber porquê). A autora M. C. Abreu sugere 5 medições de 10 períodos. (pág 36, fundo)<br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab==<br /> <br /> (consideramos apenas as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)<br /> <br /> O projecto Pêndulo Mundial tem como objectivo evidênciar aos estudantes a variação de g com a latitude. <br /> <br /> Cada sala de controlo corresponde a uma das várias montagens com as mesmas características físicas, cada uma posicio-nada em pontos diferentes do globo, o que significa que cada sala pode ser usada para fazer o mesmo estudo que foi feito do o pêndulo caseiro numa montagem maior (o pêndulo mundial tem cerca de 3 metros de altura).<br /> <br /> <br /> <br /> A montagem dos pêndulos consiste num peso (usamos um peso de arremesso), um fio (aço?), um ponto de apoio (este sim difere nas montagens, mas é irrelevante) e um sistema de lançamento.<br /> <br /> (vídeo do pêndulo a começar) <br /> <br /> A sala de controlo é a seguinte:<br /> <br /> <br /> <br /> A tabela de resultados obtida tem esta forma:<br /> <br /> <br /> <br /> Cada uma das amostras corresponde à posição do pêndulo num determinado instante. A interface do e-lab também mos-tra um gráfico com os resultados:<br /> <br /> <br /> <br /> Vamos escolher as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)<br /> <br /> Fazemos o registo de alguns períodos e determinamos g a partir da equação já deduzida <br /> <br /> g = (4 pi^2 L)/T^2<br /> <br /> Este processo pode ser repetido para vários pontos do globo, e os resultados plotados em função da latitude. Para compa-rar com valores esperados, podemos usar a equação dada pelo World GeodeticSystem Datum Surface:<br /> <br /> g_{n}(\varphi) = 9.780 326 772\times[1 + 0.005 302 33 \cdot sin^{2}(\varphi) - 0.000 005 89 \cdot sin^{2}(2\varphi)] \label{harmonica-esferica}<br /> <br /> <br /> =Últimas considerações=<br /> <br /> *Definir bem o comprimento do pêndulo (fio + raio da esfera).<br /> *Não esquecer a aproximação de pequenos ângulos, para amplitudes grandes a expressão para o período deixa de ser válida.<br /> *Desprezar as oscilações iniciais (para que os transientes desapareçam).<br /> *Não esquecer que os valores têm um offset causado por especificidades da montagem.<br /> *Pode usar-se um bengaleiro para fixar o pêndulo<br /> *Pode fazer-se a experiência encostada a um espelho ou vidro/janela para reduzir os erros de paralaxe</div>

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<p>Ist165721: </p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; PV<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> Aqui vamos estudar um dos fenómenos mais familiares para os alunos de secundário: a lei dos gases perfeitos. Mais espe-cíficamente, a Lei de Boyle-Mariotte, que afirma que a pressão e o volume de um gás são inversamente proporcionais.<br /> <br /> PV = constante<br /> <br /> Esta relação matemática diz-nos que num gás perfeiro (explicar o que é um gás rarefeito/perfeito?), quando diminuimos o volume, a pressão a que o gás está sujeito aumenta. Este é o princípio de funcionamento de um manómetro.<br /> <br /> (foto de um manómetro)<br /> <br /> Um manómetro é instrumento que mede a pressão de gases ou líquidos (?) que estejam dentro de um recipiente fechado. Para perceber um pouco melhor o seu funcionamento, vamos fazer uma experiência em casa.<br /> <br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> <br /> Os ingredientes para esta experiência são:<br /> * Uma seringa grande (definir tamanho)<br /> * Um tubo transparente (loja de bricolaje?)<br /> * Água qb <br /> <br /> Une-se a seringa ao tubo, de maneira a que não haja fugas de interface. Enchemos o tubo com àgua de maneira a que o nível esta esteja à boca da seringa, mas não da outra ponta do tubo (o tubo deve ser fixado asimétricamente). Variando a posição do êmbolo da seringa, estamos a variar o volume do ar dentro dela. O aumento de pressão, e não esquecer que a pressão é uma força por unidade de área, vai empurar a água dentro do tudo. Sabendo a massa de água dentro do tubo podemos estimar a força que a empurra e, consequentemente, a pressão. <br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab== <br /> <br /> [[File:MontagemPV.jpg|thumb|A montagem da experiência PV.]]<br /> <br /> A experiência do e-lab é semelhante à que é feita em casa, excepto que em vez de água para medir o deslovamen-to/volume, aqui usamos um sensor para medir a pressão com mais precisão. A montagem consiste num cilindro cheio de ar, cujo êmbolo é movido por um pequeno motor electrico. O par cilindro / êmbolo é implementado com uma seringa de 5cc.<br /> <br /> Na sala de controlo podemos escolher os volumes inicial e final. Há que notar que podemos correr a experiência como compressão ou expansão. O tempo entre aquisições permite-nos controlar o tempo da experiência. É importante prestar atenção a isto, pois o a lei em estudo só é válida para transformações adiabáticas. <br /> <br /> [[File:ControloPV.png|thumb|Sala de controlo da experiência.]]<br /> <br /> No final, obtemos uma tabela de resultados em que cada linha corresponde a uma amostra. As colunas que nos interessam são a pressão e o volume. <br /> <br /> [[File:ResultadosTabelaPV.png|thumb|Exemplo de uma tabela de resultados.]]<br /> <br /> Podemos apresenta-los graficamente:<br /> <br /> (Fazer o plot dos dados no excel ou no fitteia)<br /> <br /> Podemos representar estes dados na forma de gráfico. Imediatamente vemos uma relação 1/x. Podemos fazer directamen-te o ajuste a esta função.<br /> <br /> (fazer o ajuste)<br /> <br /> Para além disso, podemos também estudar a constante dos gases perfeitos. R = P*V / n*T</div>

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<p>Ist165721: Adicionadas as imagens (esta edição e as anteriores).</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; PV<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> Aqui vamos estudar um dos fenómenos mais familiares para os alunos de secundário: a lei dos gases perfeitos. Mais espe-cíficamente, a Lei de Boyle-Mariotte, que afirma que a pressão e o volume de um gás são inversamente proporcionais.<br /> <br /> PV = constante<br /> <br /> Esta relação matemática diz-nos que num gás perfeiro (explicar o que é um gás rarefeito/perfeito?), quando diminuimos o volume, a pressão a que o gás está sujeito aumenta. Este é o princípio de funcionamento de um manómetro.<br /> <br /> (foto de um manómetro)<br /> <br /> Um manómetro é instrumento que mede a pressão de gases ou líquidos (?) que estejam dentro de um recipiente fechado. Para perceber um pouco melhor o seu funcionamento, vamos fazer uma experiência em casa.<br /> <br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> <br /> Os ingredientes para esta experiência são:<br /> * Uma seringa grande (definir tamanho)<br /> * Um tubo transparente (loja de bricolaje?)<br /> * Água qb <br /> <br /> Une-se a seringa ao tubo, de maneira a que não haja fugas de interface. Enchemos o tubo com àgua de maneira a que o nível esta esteja à boca da seringa, mas não da outra ponta do tubo (o tubo deve ser fixado asimétricamente). Variando a posição do êmbolo da seringa, estamos a variar o volume do ar dentro dela. O aumento de pressão, e não esquecer que a pressão é uma força por unidade de área, vai empurar a água dentro do tudo. Sabendo a massa de água dentro do tubo podemos estimar a força que a empurra e, consequentemente, a pressão. <br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab== <br /> <br /> [[File:MontagemPV.jpg|thumb|A montagem da experiência PV.]]<br /> <br /> A experiência do e-lab é semelhante à que é feita em casa, excepto que em vez de água para medir o deslovamen-to/volume, aqui usamos um sensor para medir a pressão com mais precisão. A montagem consiste num cilindro cheio de ar, cujo êmbolo é movido por um pequeno motor electrico. O par cilindro / êmbolo é implementado com uma seringa de 5cc.<br /> <br /> Na sala de controlo podemos escolher os volumes inicial e final. Há que notar que podemos correr a experiência como compressão ou expansão. O tempo entre aquisições permite-nos controlar o tempo da experiência. É importante prestar atenção a isto, pois o a lei em estudo só é válida para transformações adiabáticas. <br /> <br /> [[File:ControloPV.png|thumb]]<br /> <br /> No final, obtemos uma tabela de resultados em que cada linha corresponde a uma amostra. As colunas que nos interessam são a pressão e o volume. <br /> <br /> [[File:ResultadosTabelaPV.png|thumb]]<br /> <br /> Podemos apresenta-los graficamente:<br /> <br /> (Fazer o plot dos dados no excel ou no fitteia)<br /> <br /> Podemos representar estes dados na forma de gráfico. Imediatamente vemos uma relação 1/x. Podemos fazer directamen-te o ajuste a esta função.<br /> <br /> (fazer o ajuste)<br /> <br /> Para além disso, podemos também estudar a constante dos gases perfeitos. R = P*V / n*T</div>

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<p>Ist165721: /* A experiência no e-lab */</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; PV<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> Aqui vamos estudar um dos fenómenos mais familiares para os alunos de secundário: a lei dos gases perfeitos. Mais espe-cíficamente, a Lei de Boyle-Mariotte, que afirma que a pressão e o volume de um gás são inversamente proporcionais.<br /> <br /> PV = constante<br /> <br /> Esta relação matemática diz-nos que num gás perfeiro (explicar o que é um gás rarefeito/perfeito?), quando diminuimos o volume, a pressão a que o gás está sujeito aumenta. Este é o princípio de funcionamento de um manómetro.<br /> <br /> (foto de um manómetro)<br /> <br /> Um manómetro é instrumento que mede a pressão de gases ou líquidos (?) que estejam dentro de um recipiente fechado. Para perceber um pouco melhor o seu funcionamento, vamos fazer uma experiência em casa.<br /> <br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> <br /> Os ingredientes para esta experiência são:<br /> * Uma seringa grande (definir tamanho)<br /> * Um tubo transparente (loja de bricolaje?)<br /> * Água qb <br /> <br /> Une-se a seringa ao tubo, de maneira a que não haja fugas de interface. Enchemos o tubo com àgua de maneira a que o nível esta esteja à boca da seringa, mas não da outra ponta do tubo (o tubo deve ser fixado asimétricamente). Variando a posição do êmbolo da seringa, estamos a variar o volume do ar dentro dela. O aumento de pressão, e não esquecer que a pressão é uma força por unidade de área, vai empurar a água dentro do tudo. Sabendo a massa de água dentro do tubo podemos estimar a força que a empurra e, consequentemente, a pressão. <br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab== <br /> <br /> [[File:MontagemPV.jpg|thumb|A montagem da experiência PV.]]<br /> <br /> A experiência do e-lab é semelhante à que é feita em casa, excepto que em vez de água para medir o deslovamen-to/volume, aqui usamos um sensor para medir a pressão com mais precisão. A montagem consiste num cilindro cheio de ar, cujo êmbolo é movido por um pequeno motor electrico. O par cilindro / êmbolo é implementado com uma seringa de 5cc.<br /> <br /> Na sala de controlo podemos escolher os volumes inicial e final. Há que notar que podemos correr a experiência como compressão ou expansão. O tempo entre aquisições permite-nos controlar o tempo da experiência. É importante prestar atenção a isto, pois o a lei em estudo só é válida para transformações adiabáticas. <br /> <br /> [[File:ControloPV.png|500px]]<br /> <br /> <br /> No final, obtemos uma tabela de resultados em que cada linha corresponde a uma amostra. As colunas que nos interessam são a pressão e o volume. <br /> <br /> [[File:ResultadosTabelaPV.png|500px]]<br /> <br /> Podemos apresenta-los graficamente:<br /> <br /> (Fazer o plot dos dados no excel ou no fitteia)<br /> <br /> Podemos representar estes dados na forma de gráfico. Imediatamente vemos uma relação 1/x. Podemos fazer directamen-te o ajuste a esta função.<br /> <br /> (fazer o ajuste)<br /> <br /> Para além disso, podemos também estudar a constante dos gases perfeitos. R = P*V / n*T</div>

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<p>Ist165721: </p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; PV<br /> <br /> ==Introdução teórica==<br /> Aqui vamos estudar um dos fenómenos mais familiares para os alunos de secundário: a lei dos gases perfeitos. Mais espe-cíficamente, a Lei de Boyle-Mariotte, que afirma que a pressão e o volume de um gás são inversamente proporcionais.<br /> <br /> PV = constante<br /> <br /> Esta relação matemática diz-nos que num gás perfeiro (explicar o que é um gás rarefeito/perfeito?), quando diminuimos o volume, a pressão a que o gás está sujeito aumenta. Este é o princípio de funcionamento de um manómetro.<br /> <br /> (foto de um manómetro)<br /> <br /> Um manómetro é instrumento que mede a pressão de gases ou líquidos (?) que estejam dentro de um recipiente fechado. Para perceber um pouco melhor o seu funcionamento, vamos fazer uma experiência em casa.<br /> <br /> <br /> ==A experiência em casa==<br /> <br /> Os ingredientes para esta experiência são:<br /> * Uma seringa grande (definir tamanho)<br /> * Um tubo transparente (loja de bricolaje?)<br /> * Água qb <br /> <br /> Une-se a seringa ao tubo, de maneira a que não haja fugas de interface. Enchemos o tubo com àgua de maneira a que o nível esta esteja à boca da seringa, mas não da outra ponta do tubo (o tubo deve ser fixado asimétricamente). Variando a posição do êmbolo da seringa, estamos a variar o volume do ar dentro dela. O aumento de pressão, e não esquecer que a pressão é uma força por unidade de área, vai empurar a água dentro do tudo. Sabendo a massa de água dentro do tubo podemos estimar a força que a empurra e, consequentemente, a pressão. <br /> <br /> <br /> ==A experiência no e-lab== <br /> <br /> [[File:montagemPV.jpg]]<br /> <br /> A experiência do e-lab é semelhante à que é feita em casa, excepto que em vez de água para medir o deslovamen-to/volume, aqui usamos um sensor para medir a pressão com mais precisão. A montagem consiste num cilindro cheio de ar, cujo êmbolo é movido por um pequeno motor electrico. O par cilindro / êmbolo é implementado com uma seringa de 5cc.<br /> <br /> [[File:controloPV.png]]<br /> <br /> Na sala de controlo podemos escolher os volumes inicial e final. Há que notar que podemos correr a experiência como compressão ou expansão. O tempo entre aquisições permite-nos controlar o tempo da experiência. É importante prestar atenção a isto, pois o a lei em estudo só é válida para transformações adiabáticas. <br /> <br /> [[File:resultadosTabelaPV.png]]<br /> <br /> No final, obtemos uma tabela de resultados em que cada linha corresponde a uma amostra. As colunas que nos interessam são a pressão e o volume. Podemos apresenta-los graficamente:<br /> <br /> (Fazer o plot dos dados no excel ou no fitteia)<br /> <br /> Podemos representar estes dados na forma de gráfico. Imediatamente vemos uma relação 1/x. Podemos fazer directamen-te o ajuste a esta função.<br /> <br /> (fazer o ajuste)<br /> <br /> Para além disso, podemos também estudar a constante dos gases perfeitos. R = P*V / n*T</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=832 2015-12-31T14:58:56Z

<p>Ist165721: </p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Erros Experimentais<br /> <br /> Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> ==Precisão e Exactidão==<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> ==Fontes de erro==<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> ==Incerteza nas Grandezas Directas==<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> <br /> ==Incerteza nas Grandezas Indirectas==<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. &lt;math&gt; F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c &lt;/math&gt;, com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a &#039;&#039;&#039;soma&#039;&#039;&#039; dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> <br /> &lt;math&gt;\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}&lt;/math&gt; (6)<br /> <br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria &#039;&#039;&#039;zero&#039;&#039;&#039; e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> <br /> <br /> ==Representação de Resultados da Medição de Grandezas== <br /> <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas &#039;&#039;&#039;um ou dois&#039;&#039;&#039; algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita (é relativamente complexo utilizar os programas as folhas de cálculo, como o Microsoft Excel, para apresentar resultados científicos neste formato.). Nunca esquecer também as &#039;&#039;&#039;unidades&#039;&#039;&#039; físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> <br /> Bons Exemplos: &lt;math&gt; R = 0,185 \pm 0,030 m \quad Temp = 297,0 \pm 0,5 K \quad v = 344,3 \pm 0,4 m /s \quad B = (5,92 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad \frac{q}{m} = (1,77 \pm 0,07) 10^{11} C/kg \quad e = 0,050 \pm 0,001 mm \quad e = 50 \pm 1 \mu &lt;/math&gt;<br /> <br /> Maus Exemplos: &lt;math&gt; B = (5,9297887668888668898 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad Temp = 297 \pm 0,0005 \quad \frac{q}{m} = (1,8 \pm 0,07789) 10^{11} C/kg &lt;/math&gt;<br /> <br /> =Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares=<br /> <br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o &#039;&#039;&#039;método dos mínimos quadrados&#039;&#039;&#039; que consiste na determinação analítica de qual a recta &lt;math&gt;y = a + b \cdot x_i&lt;/math&gt; que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples (se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos), sendo &lt;math&gt;(xi, yi)&lt;/math&gt; as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, tal que &lt;math&gt;\chi ^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - y)^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - a - b \cdot x_i)^2&lt;/math&gt; seja mínimo.<br /> <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função &lt;math&gt;\chi ^2 = F (a,b)&lt;/math&gt;, dependente dos dois parâmetros &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, conduzem a duas equações: <br /> <br /> &lt;math&gt; a = \frac{ \left( \sum x_i \right) ^2 \sum y_i - \sum x_i \sum x_i y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} &lt;/math&gt; &lt;math&gt; a = \frac{ N \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} &lt;/math&gt;(7)<br /> <br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g [http://originlab.com/ OriginLab] e [http://fitter.ist.utl.pt Fitteia] ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> (vídeo) MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL<br /> <br /> <br /> ==Bibliografia==<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=831 2015-12-31T14:58:19Z

<p>Ist165721: </p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Erros Experimentais<br /> <br /> Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> ==Precisão e Exactidão==<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> ==Fontes de erro==<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> ==Incerteza nas Grandezas Directas==<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> ==Incerteza nas Grandezas Indirectas==<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. &lt;math&gt; F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c &lt;/math&gt;, com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a &#039;&#039;&#039;soma&#039;&#039;&#039; dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> <br /> &lt;math&gt;\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}&lt;/math&gt; (6)<br /> <br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria &#039;&#039;&#039;zero&#039;&#039;&#039; e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> <br /> <br /> ==Representação de Resultados da Medição de Grandezas== <br /> <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas &#039;&#039;&#039;um ou dois&#039;&#039;&#039; algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita (é relativamente complexo utilizar os programas as folhas de cálculo, como o Microsoft Excel, para apresentar resultados científicos neste formato.). Nunca esquecer também as &#039;&#039;&#039;unidades&#039;&#039;&#039; físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> <br /> Bons Exemplos: &lt;math&gt; R = 0,185 \pm 0,030 m \quad Temp = 297,0 \pm 0,5 K \quad v = 344,3 \pm 0,4 m /s \quad B = (5,92 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad \frac{q}{m} = (1,77 \pm 0,07) 10^{11} C/kg \quad e = 0,050 \pm 0,001 mm \quad e = 50 \pm 1 \mu &lt;/math&gt;<br /> <br /> Maus Exemplos: &lt;math&gt; B = (5,9297887668888668898 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad Temp = 297 \pm 0,0005 \quad \frac{q}{m} = (1,8 \pm 0,07789) 10^{11} C/kg &lt;/math&gt;<br /> <br /> =Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares=<br /> <br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o &#039;&#039;&#039;método dos mínimos quadrados&#039;&#039;&#039; que consiste na determinação analítica de qual a recta &lt;math&gt;y = a + b \cdot x_i&lt;/math&gt; que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples (se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos), sendo &lt;math&gt;(xi, yi)&lt;/math&gt; as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, tal que &lt;math&gt;\chi ^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - y)^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - a - b \cdot x_i)^2&lt;/math&gt; seja mínimo.<br /> <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função &lt;math&gt;\chi ^2 = F (a,b)&lt;/math&gt;, dependente dos dois parâmetros &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, conduzem a duas equações: <br /> <br /> &lt;math&gt; a = \frac{ \left( \sum x_i \right) ^2 \sum y_i - \sum x_i \sum x_i y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} &lt;/math&gt; &lt;math&gt; a = \frac{ N \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} &lt;/math&gt;(7)<br /> <br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g [http://originlab.com/ OriginLab] e [http://fitter.ist.utl.pt Fitteia] ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> (vídeo) MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL<br /> <br /> <br /> ==Bibliografia==<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

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<p>Ist165721: </p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Apresentação<br /> <br /> Este curso de Fisica Experimental aborda os métodos e técnicas modernas na elaboração de experiências de física. Para tal usaremos o recurso a laboratórios remotos e a pequenas experiencias que se podem realizar com material corrente. <br /> O curso terá uma componente importante sobre o tratamento e análise de dados em experimentos de Física bem como a estima correta dos seus erros experimentais.<br /> <br /> Os experimentos abrangem vários conteúdos de Física Básica, tais como mecânica, hidrostática, termodinâmica, eletromagnetismo e ondas e fará uma ponte para alguma física moderna. No entanto os aspetos teóricos serão mantidos num nível apenas indispensável à compreensão do experimento, deixando ao estudante o seu estudo aprofundado noutro contexto. Efetivamente primeiro o Homem observa e só depois tenta explicar, pelo que a nossa abordagem <br /> <br /> Mais especificamente, ao longo do curso são trabalhados vários métodos computacionais usados em Fisica experimental como a regressão linear por mínimos quadrados além de métodos para a avaliação das incertezas das grandezas, incluindo a incerteza padrão combinada para o caso de medições indiretas.<br /> <br /> Algumas das experiências serão realizadas remotamente em laboratórios não só Portugueses mas também na CPLP aportando uma nova dimensão humana de ligação entre povos ao presente curso.<br /> Em nome da equipe da PUC e do IST, esperamos contribuir, como físicos e amantes da física, para uma melhor compreensão do mundo que nos rodeia.<br /> <br /> <br /> ==Organização do curso==<br /> <br /> O nosso curso está estruturado da seguinte forma: <br /> *Após a apresentação da introdução ao tratamento de dados temos uma primeira avaliação para determinar se o estudante está familiarizado com este tópico<br /> *De seguida apresentamos experimentos usados normalmente em cursos de física básica, embora alguns sejam relativos à chamada física moderna.<br /> *Será solicitada a construção de pequenas experiencias exemplificativas do tópico;<br /> <br /> Após a passagem da avaliação respetiva, o aluno acederá a experiências remotas reais onde poderá realizar uma experiência com maior rigor e tratar em detalhe os dados experimentais.<br /> Esperamos conseguir uma boa motivação e votos de sucesso no curso.<br /> <br /> <br /> ==O e-lab==<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O [http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp e-lab launcher]<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *[http://www.videolan.org/ VLC] para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> [[File:E-lab.png]]<br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> [[File:E-labSplash.png]]<br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> [[File:E-labWarning.png]]<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> [[File:E-labLogin.png]]<br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> <br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados. Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> <br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada [http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111 aqui]<br /> <br /> <br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.</div>

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<p>Ist165721: /* O e-lab */</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Apresentação<br /> <br /> Este curso de Fisica Experimental aborda os métodos e técnicas modernas na elaboração de experiências de física. Para tal usaremos o recurso a laboratórios remotos e a pequenas experiencias que se podem realizar com material corrente. <br /> O curso terá uma componente importante sobre o tratamento e análise de dados em experimentos de Física bem como a estima correta dos seus erros experimentais.<br /> <br /> Os experimentos abrangem vários conteúdos de Física Básica, tais como mecânica, hidrostática, termodinâmica, eletromagnetismo e ondas e fará uma ponte para alguma física moderna. No entanto os aspetos teóricos serão mantidos num nível apenas indispensável à compreensão do experimento, deixando ao estudante o seu estudo aprofundado noutro contexto. Efetivamente primeiro o Homem observa e só depois tenta explicar, pelo que a nossa abordagem <br /> <br /> Mais especificamente, ao longo do curso são trabalhados vários métodos computacionais usados em Fisica experimental como a regressão linear por mínimos quadrados além de métodos para a avaliação das incertezas das grandezas, incluindo a incerteza padrão combinada para o caso de medições indiretas.<br /> <br /> Algumas das experiências serão realizadas remotamente em laboratórios não só Portugueses mas também na CPLP aportando uma nova dimensão humana de ligação entre povos ao presente curso.<br /> Em nome da equipe da PUC e do IST, esperamos contribuir, como físicos e amantes da física, para uma melhor compreensão do mundo que nos rodeia.<br /> <br /> <br /> =Organização do curso=<br /> <br /> O nosso curso está estruturado da seguinte forma: <br /> *Após a apresentação da introdução ao tratamento de dados temos uma primeira avaliação para determinar se o estudante está familiarizado com este tópico<br /> *De seguida apresentamos experimentos usados normalmente em cursos de física básica, embora alguns sejam relativos à chamada física moderna.<br /> *Será solicitada a construção de pequenas experiencias exemplificativas do tópico;<br /> <br /> Após a passagem da avaliação respetiva, o aluno acederá a experiências remotas reais onde poderá realizar uma experiência com maior rigor e tratar em detalhe os dados experimentais.<br /> Esperamos conseguir uma boa motivação e votos de sucesso no curso.<br /> <br /> <br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O [http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp e-lab launcher]<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *[http://www.videolan.org/ VLC] para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> [[File:E-lab.png]]<br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> [[File:E-labSplash.png]]<br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> [[File:E-labWarning.png]]<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> [[File:E-labLogin.png]]<br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> <br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados. Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> <br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada [http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111 aqui]<br /> <br /> <br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.</div>

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<p>Ist165721: /* O e-lab */ Adicionadas as imagens</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Apresentação<br /> <br /> Este curso de Fisica Experimental aborda os métodos e técnicas modernas na elaboração de experiências de física. Para tal usaremos o recurso a laboratórios remotos e a pequenas experiencias que se podem realizar com material corrente. <br /> O curso terá uma componente importante sobre o tratamento e análise de dados em experimentos de Física bem como a estima correta dos seus erros experimentais.<br /> <br /> Os experimentos abrangem vários conteúdos de Física Básica, tais como mecânica, hidrostática, termodinâmica, eletromagnetismo e ondas e fará uma ponte para alguma física moderna. No entanto os aspetos teóricos serão mantidos num nível apenas indispensável à compreensão do experimento, deixando ao estudante o seu estudo aprofundado noutro contexto. Efetivamente primeiro o Homem observa e só depois tenta explicar, pelo que a nossa abordagem <br /> <br /> Mais especificamente, ao longo do curso são trabalhados vários métodos computacionais usados em Fisica experimental como a regressão linear por mínimos quadrados além de métodos para a avaliação das incertezas das grandezas, incluindo a incerteza padrão combinada para o caso de medições indiretas.<br /> <br /> Algumas das experiências serão realizadas remotamente em laboratórios não só Portugueses mas também na CPLP aportando uma nova dimensão humana de ligação entre povos ao presente curso.<br /> Em nome da equipe da PUC e do IST, esperamos contribuir, como físicos e amantes da física, para uma melhor compreensão do mundo que nos rodeia.<br /> <br /> <br /> =Organização do curso=<br /> <br /> O nosso curso está estruturado da seguinte forma: <br /> *Após a apresentação da introdução ao tratamento de dados temos uma primeira avaliação para determinar se o estudante está familiarizado com este tópico<br /> *De seguida apresentamos experimentos usados normalmente em cursos de física básica, embora alguns sejam relativos à chamada física moderna.<br /> *Será solicitada a construção de pequenas experiencias exemplificativas do tópico;<br /> <br /> Após a passagem da avaliação respetiva, o aluno acederá a experiências remotas reais onde poderá realizar uma experiência com maior rigor e tratar em detalhe os dados experimentais.<br /> Esperamos conseguir uma boa motivação e votos de sucesso no curso.<br /> <br /> <br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O [http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp e-lab launcher]<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *[http://www.videolan.org/ VLC] para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> [[File:E-lab.png]]<br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> [[File:E-labSplash.png]]<br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> [[File:E-labWarning.png]]<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> [[File:E-labLogin.png]]<br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=827 2015-12-31T14:39:07Z

<p>Ist165721: Adicionada a navegação</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Erros Experimentais<br /> <br /> Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. &lt;math&gt; F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c &lt;/math&gt;, com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a &#039;&#039;&#039;soma&#039;&#039;&#039; dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> <br /> &lt;math&gt;\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}&lt;/math&gt; (6)<br /> <br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria &#039;&#039;&#039;zero&#039;&#039;&#039; e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> <br /> <br /> =Representação de Resultados da Medição de Grandezas= <br /> <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas &#039;&#039;&#039;um ou dois&#039;&#039;&#039; algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita (é relativamente complexo utilizar os programas as folhas de cálculo, como o Microsoft Excel, para apresentar resultados científicos neste formato.). Nunca esquecer também as &#039;&#039;&#039;unidades&#039;&#039;&#039; físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> <br /> Bons Exemplos: &lt;math&gt; R = 0,185 \pm 0,030 m \quad Temp = 297,0 \pm 0,5 K \quad v = 344,3 \pm 0,4 m /s \quad B = (5,92 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad \frac{q}{m} = (1,77 \pm 0,07) 10^{11} C/kg \quad e = 0,050 \pm 0,001 mm \quad e = 50 \pm 1 \mu &lt;/math&gt;<br /> <br /> Maus Exemplos: &lt;math&gt; B = (5,9297887668888668898 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad Temp = 297 \pm 0,0005 \quad \frac{q}{m} = (1,8 \pm 0,07789) 10^{11} C/kg &lt;/math&gt;<br /> <br /> =Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares=<br /> <br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o &#039;&#039;&#039;método dos mínimos quadrados&#039;&#039;&#039; que consiste na determinação analítica de qual a recta &lt;math&gt;y = a + b \cdot x_i&lt;/math&gt; que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples (se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos), sendo &lt;math&gt;(xi, yi)&lt;/math&gt; as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, tal que &lt;math&gt;\chi ^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - y)^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - a - b \cdot x_i)^2&lt;/math&gt; seja mínimo.<br /> <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função &lt;math&gt;\chi ^2 = F (a,b)&lt;/math&gt;, dependente dos dois parâmetros &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, conduzem a duas equações: <br /> <br /> &lt;math&gt; a = \frac{ \left( \sum x_i \right) ^2 \sum y_i - \sum x_i \sum x_i y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} &lt;/math&gt; &lt;math&gt; a = \frac{ N \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} &lt;/math&gt;(7)<br /> <br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g [http://originlab.com/ OriginLab] e [http://fitter.ist.utl.pt Fitteia] ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> (vídeo) MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Apresenta%C3%A7%C3%A3o&diff=826 2015-12-31T14:38:16Z

<p>Ist165721: Transplantada a parte sobre o e-lab</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Apresentação<br /> <br /> Este curso de Fisica Experimental aborda os métodos e técnicas modernas na elaboração de experiências de física. Para tal usaremos o recurso a laboratórios remotos e a pequenas experiencias que se podem realizar com material corrente. <br /> O curso terá uma componente importante sobre o tratamento e análise de dados em experimentos de Física bem como a estima correta dos seus erros experimentais.<br /> <br /> Os experimentos abrangem vários conteúdos de Física Básica, tais como mecânica, hidrostática, termodinâmica, eletromagnetismo e ondas e fará uma ponte para alguma física moderna. No entanto os aspetos teóricos serão mantidos num nível apenas indispensável à compreensão do experimento, deixando ao estudante o seu estudo aprofundado noutro contexto. Efetivamente primeiro o Homem observa e só depois tenta explicar, pelo que a nossa abordagem <br /> <br /> Mais especificamente, ao longo do curso são trabalhados vários métodos computacionais usados em Fisica experimental como a regressão linear por mínimos quadrados além de métodos para a avaliação das incertezas das grandezas, incluindo a incerteza padrão combinada para o caso de medições indiretas.<br /> <br /> Algumas das experiências serão realizadas remotamente em laboratórios não só Portugueses mas também na CPLP aportando uma nova dimensão humana de ligação entre povos ao presente curso.<br /> Em nome da equipe da PUC e do IST, esperamos contribuir, como físicos e amantes da física, para uma melhor compreensão do mundo que nos rodeia.<br /> <br /> <br /> =Organização do curso=<br /> <br /> O nosso curso está estruturado da seguinte forma: <br /> *Após a apresentação da introdução ao tratamento de dados temos uma primeira avaliação para determinar se o estudante está familiarizado com este tópico<br /> *De seguida apresentamos experimentos usados normalmente em cursos de física básica, embora alguns sejam relativos à chamada física moderna.<br /> *Será solicitada a construção de pequenas experiencias exemplificativas do tópico;<br /> <br /> Após a passagem da avaliação respetiva, o aluno acederá a experiências remotas reais onde poderá realizar uma experiência com maior rigor e tratar em detalhe os dados experimentais.<br /> Esperamos conseguir uma boa motivação e votos de sucesso no curso.<br /> <br /> <br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=825 2015-12-31T14:37:20Z

<p>Ist165721: Cortada a parte sobre o e-lab</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. &lt;math&gt; F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c &lt;/math&gt;, com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a &#039;&#039;&#039;soma&#039;&#039;&#039; dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> <br /> &lt;math&gt;\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}&lt;/math&gt; (6)<br /> <br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria &#039;&#039;&#039;zero&#039;&#039;&#039; e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> <br /> <br /> =Representação de Resultados da Medição de Grandezas= <br /> <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas &#039;&#039;&#039;um ou dois&#039;&#039;&#039; algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita (é relativamente complexo utilizar os programas as folhas de cálculo, como o Microsoft Excel, para apresentar resultados científicos neste formato.). Nunca esquecer também as &#039;&#039;&#039;unidades&#039;&#039;&#039; físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> <br /> Bons Exemplos: &lt;math&gt; R = 0,185 \pm 0,030 m \quad Temp = 297,0 \pm 0,5 K \quad v = 344,3 \pm 0,4 m /s \quad B = (5,92 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad \frac{q}{m} = (1,77 \pm 0,07) 10^{11} C/kg \quad e = 0,050 \pm 0,001 mm \quad e = 50 \pm 1 \mu &lt;/math&gt;<br /> <br /> Maus Exemplos: &lt;math&gt; B = (5,9297887668888668898 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad Temp = 297 \pm 0,0005 \quad \frac{q}{m} = (1,8 \pm 0,07789) 10^{11} C/kg &lt;/math&gt;<br /> <br /> =Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares=<br /> <br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o &#039;&#039;&#039;método dos mínimos quadrados&#039;&#039;&#039; que consiste na determinação analítica de qual a recta &lt;math&gt;y = a + b \cdot x_i&lt;/math&gt; que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples (se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos), sendo &lt;math&gt;(xi, yi)&lt;/math&gt; as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, tal que &lt;math&gt;\chi ^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - y)^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - a - b \cdot x_i)^2&lt;/math&gt; seja mínimo.<br /> <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função &lt;math&gt;\chi ^2 = F (a,b)&lt;/math&gt;, dependente dos dois parâmetros &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, conduzem a duas equações: <br /> <br /> &lt;math&gt; a = \frac{ \left( \sum x_i \right) ^2 \sum y_i - \sum x_i \sum x_i y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} &lt;/math&gt; &lt;math&gt; a = \frac{ N \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} &lt;/math&gt;(7)<br /> <br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g [http://originlab.com/ OriginLab] e [http://fitter.ist.utl.pt Fitteia] ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> (vídeo) MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Ficheiro:E-labLogin.png&diff=824 2015-12-31T14:34:49Z

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Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=820 2015-12-31T14:32:12Z

<p>Ist165721: /* Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares */ Markup de matemática</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. &lt;math&gt; F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c &lt;/math&gt;, com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a &#039;&#039;&#039;soma&#039;&#039;&#039; dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> <br /> &lt;math&gt;\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}&lt;/math&gt; (6)<br /> <br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria &#039;&#039;&#039;zero&#039;&#039;&#039; e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> <br /> <br /> =Representação de Resultados da Medição de Grandezas= <br /> <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas &#039;&#039;&#039;um ou dois&#039;&#039;&#039; algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita (é relativamente complexo utilizar os programas as folhas de cálculo, como o Microsoft Excel, para apresentar resultados científicos neste formato.). Nunca esquecer também as &#039;&#039;&#039;unidades&#039;&#039;&#039; físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> <br /> Bons Exemplos: &lt;math&gt; R = 0,185 \pm 0,030 m \quad Temp = 297,0 \pm 0,5 K \quad v = 344,3 \pm 0,4 m /s \quad B = (5,92 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad \frac{q}{m} = (1,77 \pm 0,07) 10^{11} C/kg \quad e = 0,050 \pm 0,001 mm \quad e = 50 \pm 1 \mu &lt;/math&gt;<br /> <br /> Maus Exemplos: &lt;math&gt; B = (5,9297887668888668898 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad Temp = 297 \pm 0,0005 \quad \frac{q}{m} = (1,8 \pm 0,07789) 10^{11} C/kg &lt;/math&gt;<br /> <br /> =Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares=<br /> <br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o &#039;&#039;&#039;método dos mínimos quadrados&#039;&#039;&#039; que consiste na determinação analítica de qual a recta &lt;math&gt;y = a + b \cdot x_i&lt;/math&gt; que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples (se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos), sendo &lt;math&gt;(xi, yi)&lt;/math&gt; as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, tal que &lt;math&gt;\chi ^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - y)^2 = \sum ^N _{i=0} (y_i - a - b \cdot x_i)^2&lt;/math&gt; seja mínimo.<br /> <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função &lt;math&gt;\chi ^2 = F (a,b)&lt;/math&gt;, dependente dos dois parâmetros &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, conduzem a duas equações: <br /> <br /> &lt;math&gt; a = \frac{ \left( \sum x_i \right) ^2 \sum y_i - \sum x_i \sum x_i y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} &lt;/math&gt; &lt;math&gt; a = \frac{ N \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i }{N \sum x_i ^2 - \left( x_i \right) ^2} &lt;/math&gt;(7)<br /> <br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g [http://originlab.com/ OriginLab] e [http://fitter.ist.utl.pt Fitteia] ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> (vídeo) MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL<br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=819 2015-12-30T19:23:22Z

<p>Ist165721: /* Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares */ Markup de matemática</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. &lt;math&gt; F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c &lt;/math&gt;, com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a &#039;&#039;&#039;soma&#039;&#039;&#039; dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> <br /> &lt;math&gt;\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}&lt;/math&gt; (6)<br /> <br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria &#039;&#039;&#039;zero&#039;&#039;&#039; e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> <br /> <br /> =Representação de Resultados da Medição de Grandezas= <br /> <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas &#039;&#039;&#039;um ou dois&#039;&#039;&#039; algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita (é relativamente complexo utilizar os programas as folhas de cálculo, como o Microsoft Excel, para apresentar resultados científicos neste formato.). Nunca esquecer também as &#039;&#039;&#039;unidades&#039;&#039;&#039; físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> <br /> Bons Exemplos: &lt;math&gt; R = 0,185 \pm 0,030 m \quad Temp = 297,0 \pm 0,5 K \quad v = 344,3 \pm 0,4 m /s \quad B = (5,92 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad \frac{q}{m} = (1,77 \pm 0,07) 10^{11} C/kg \quad e = 0,050 \pm 0,001 mm \quad e = 50 \pm 1 \mu &lt;/math&gt;<br /> <br /> Maus Exemplos: &lt;math&gt; B = (5,9297887668888668898 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad Temp = 297 \pm 0,0005 \quad \frac{q}{m} = (1,8 \pm 0,07789) 10^{11} C/kg &lt;/math&gt;<br /> <br /> =Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares=<br /> <br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o &#039;&#039;&#039;método dos mínimos quadrados&#039;&#039;&#039; que consiste na determinação analítica de qual a recta &lt;math&gt;y = a + b \cdot x_i&lt;/math&gt; que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples (se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos), sendo &lt;math&gt;(xi, yi)&lt;/math&gt; as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt;, tal que seja mínimo.<br /> <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

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<p>Ist165721: /* Representação de Resultados da Medição de Grandezas */ Markup da matemática</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. &lt;math&gt; F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c &lt;/math&gt;, com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a &#039;&#039;&#039;soma&#039;&#039;&#039; dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> <br /> &lt;math&gt;\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}&lt;/math&gt; (6)<br /> <br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria &#039;&#039;&#039;zero&#039;&#039;&#039; e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> <br /> <br /> =Representação de Resultados da Medição de Grandezas= <br /> <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas &#039;&#039;&#039;um ou dois&#039;&#039;&#039; algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita (é relativamente complexo utilizar os programas as folhas de cálculo, como o Microsoft Excel, para apresentar resultados científicos neste formato.). Nunca esquecer também as &#039;&#039;&#039;unidades&#039;&#039;&#039; físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> <br /> Bons Exemplos: &lt;math&gt; R = 0,185 \pm 0,030 m \quad Temp = 297,0 \pm 0,5 K \quad v = 344,3 \pm 0,4 m /s \quad B = (5,92 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad \frac{q}{m} = (1,77 \pm 0,07) 10^{11} C/kg \quad e = 0,050 \pm 0,001 mm \quad e = 50 \pm 1 \mu &lt;/math&gt;<br /> <br /> Maus Exemplos: &lt;math&gt; B = (5,9297887668888668898 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad Temp = 297 \pm 0,0005 \quad \frac{q}{m} = (1,8 \pm 0,07789) 10^{11} C/kg &lt;/math&gt;<br /> <br /> =Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares=<br /> <br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples , sendo (xi, yi) as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar (a, b), tal que seja mínimo. <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=817 2015-12-30T19:12:58Z

<p>Ist165721: /* Representação de Resultados da Medição de Grandezas */ Markup da matemática</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. &lt;math&gt; F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c &lt;/math&gt;, com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a &#039;&#039;&#039;soma&#039;&#039;&#039; dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> <br /> &lt;math&gt;\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}&lt;/math&gt; (6)<br /> <br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria &#039;&#039;&#039;zero&#039;&#039;&#039; e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> <br /> <br /> =Representação de Resultados da Medição de Grandezas= <br /> <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas &#039;&#039;&#039;um ou dois&#039;&#039;&#039; algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita (é relativamente complexo utilizar os programas as folhas de cálculo, como o Microsoft Excel, para apresentar resultados científicos neste formato.). Nunca esquecer também as &#039;&#039;&#039;unidades&#039;&#039;&#039; físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> <br /> Bons Exemplos: &lt;math&gt; R = 0,185 \pm 0,030 m \quad Temp = 297,0 \pm 0,5 K \quad v = 344,3 \pm 0,4 ^m / _s \quad B = (5,92 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad \frac{q}{m} = (1,77 \pm 0,07) 10^{11} ^C / _{kg} \quad e = 0,050 \pm 0,001 mm \quad e = 50 \pm 1 \mu &lt;/math&gt;<br /> <br /> Maus Exemplos: &lt;math&gt; B = (5,9297887668888668898 \pm 0,08) 10^{-4} T \quad Temp = 297 \pm 0,0005 \quad \frac{q}{m} = (1,8 \pm 0,07789) 10^{11} ^C / _{kg} &lt;/math&gt;<br /> <br /> =Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares=<br /> <br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples , sendo (xi, yi) as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar (a, b), tal que seja mínimo. <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=816 2015-12-30T19:03:36Z

<p>Ist165721: /* Representação de Resultados da Medição de Grandezas */ Markup de matemática.</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. &lt;math&gt; F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c &lt;/math&gt;, com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a &#039;&#039;&#039;soma&#039;&#039;&#039; dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> <br /> &lt;math&gt;\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}&lt;/math&gt; (6)<br /> <br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria &#039;&#039;&#039;zero&#039;&#039;&#039; e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> <br /> <br /> =Representação de Resultados da Medição de Grandezas= <br /> <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas &#039;&#039;&#039;um ou dois&#039;&#039;&#039; algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita (é relativamente complexo utilizar os programas as folhas de cálculo, como o Microsoft Excel, para apresentar resultados científicos neste formato.). Nunca esquecer também as &#039;&#039;&#039;unidades&#039;&#039;&#039; físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> <br /> Bons Exemplos: R =0.1850.030 m Temp=297.00.5 K v=344.30.4 m s-1 B=(5.920.08) 10-4 T q/m=(1.770.07) 1011 C kg-1 e=0.0500.001 mm ou e=501 m<br /> <br /> Maus Exemplos: B=(5.92978876688886688980.08) 10-4 T, Temp=297  0.0005 q/m=(1.80.07789) 1011 C kg-1<br /> <br /> <br /> =Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares=<br /> <br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples , sendo (xi, yi) as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar (a, b), tal que seja mínimo. <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=815 2015-12-30T19:00:08Z

<p>Ist165721: /* Incerteza nas Grandezas Indirectas */ Markup da mathemática</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. &lt;math&gt; F(X,Y,Z) = cte \times X^a \times Y^b \times Z^c &lt;/math&gt;, com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a &#039;&#039;&#039;soma&#039;&#039;&#039; dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> <br /> &lt;math&gt;\frac{\Delta F}{F} = a \cdot \frac{\Delta X}{X} + b \cdot \frac{\Delta Y}{Y} + c \cdot \frac{\Delta Z}{Z}&lt;/math&gt; (6)<br /> <br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria &#039;&#039;&#039;zero&#039;&#039;&#039; e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> <br /> <br /> =Representação de Resultados da Medição de Grandezas= <br /> <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas um ou dois algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita . Nunca esquecer também as unidades físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> Bons Exemplos: R =0.1850.030 m Temp=297.00.5 K v=344.30.4 m s-1<br /> B=(5.920.08) 10-4 T q/m=(1.770.07) 1011 C kg-1 e=0.0500.001 mm ou e=501 m<br /> Maus Exemplos: B=(5.92978876688886688980.08) 10-4 T, Temp=297  0.0005 <br /> q/m=(1.80.07789) 1011 C kg-1<br /> Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares<br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples , sendo (xi, yi) as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar (a, b), tal que seja mínimo. <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=814 2015-12-30T18:55:33Z

<p>Ist165721: /* Incerteza nas Grandezas Indirectas */ Markup da matemática.</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo &lt;math&gt;u_X&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;u_Y&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;u_Z&lt;/math&gt;, pode estimar-se a Incerteza &lt;math&gt;u_F&lt;/math&gt; da grandeza &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; a partir de<br /> <br /> &lt;math&gt;u_F = \sqrt{ \left( \frac{\partial F}{\partial X} u_X \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Y} u_Y \right) ^2 + \left( \frac{\partial F}{\partial Z} u_Z \right) ^2 }&lt;/math&gt; (4)<br /> <br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1 &lt; N &lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta &lt;math&gt;\Delta F&lt;/math&gt; é calculável a partir de:<br /> <br /> &lt;math&gt; \Delta F = \left| \frac{\partial F}{\partial X} \right| \Delta X + \left| \frac{\partial F}{\partial Y} \right| \Delta Y + \left| \frac{\partial F}{\partial Z} \right| \Delta Z &lt;/math&gt;(5)<br /> <br /> onde &lt;math&gt; \Delta X &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Y &lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \Delta Z &lt;/math&gt;, são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> <br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. , com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> (6)<br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria zero e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> Representação de Resultados da Medição de Grandezas <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas um ou dois algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita . Nunca esquecer também as unidades físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> Bons Exemplos: R =0.1850.030 m Temp=297.00.5 K v=344.30.4 m s-1<br /> B=(5.920.08) 10-4 T q/m=(1.770.07) 1011 C kg-1 e=0.0500.001 mm ou e=501 m<br /> Maus Exemplos: B=(5.92978876688886688980.08) 10-4 T, Temp=297  0.0005 <br /> q/m=(1.80.07789) 1011 C kg-1<br /> Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares<br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples , sendo (xi, yi) as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar (a, b), tal que seja mínimo. <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=813 2015-12-30T18:47:26Z

<p>Ist165721: /* Incerteza nas Grandezas Directas */</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;/math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo uX , uY e uZ ,pode estimar-se a Incerteza uF da grandeza F a partir de<br /> (4)<br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1&lt; N&lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta F é calculável a partir de:<br /> (5)<br /> onde são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. , com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> (6)<br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria zero e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> Representação de Resultados da Medição de Grandezas <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas um ou dois algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita . Nunca esquecer também as unidades físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> Bons Exemplos: R =0.1850.030 m Temp=297.00.5 K v=344.30.4 m s-1<br /> B=(5.920.08) 10-4 T q/m=(1.770.07) 1011 C kg-1 e=0.0500.001 mm ou e=501 m<br /> Maus Exemplos: B=(5.92978876688886688980.08) 10-4 T, Temp=297  0.0005 <br /> q/m=(1.80.07789) 1011 C kg-1<br /> Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares<br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples , sendo (xi, yi) as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar (a, b), tal que seja mínimo. <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

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<p>Ist165721: /* Incerteza nas Grandezas Directas */ Markup da matemática</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um &#039;&#039;&#039;valor médio&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt; \bar{x} &lt;/math&gt; (média aritmética), que pode ser considerado como o &#039;&#039;&#039;melhor valor&#039;&#039;&#039; obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o &#039;&#039;&#039;desvio padrão&#039;&#039;&#039;, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o &#039;&#039;melhor&#039;&#039; valor para a &#039;&#039;&#039;incerteza do valor médio&#039;&#039;&#039;, u (eq. 3) &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt;, , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> <br /> &lt;math&gt; s = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N-1} } &lt;/math&gt; (2)<br /> <br /> &lt;math&gt; u = \sqrt{ \frac{\sum _i (x_i - \bar{x})^2}{N(N-1)} } &lt;/math&gt; (3)<br /> <br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: &lt;math&gt;\bar{x} \pm u&lt;/math&gt;. Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo &lt;math&gt;\bar{x} \pm 1.96u&lt;/math&gt;. <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um &#039;&#039;&#039;majorante&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;\Delta x &lt;/math&gt;, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como &lt;math&gt;\bar{x} \pm \Delta x &lt;math&gt; (Incerteza absoluta) ou na forma &lt;math&gt;\frac{\Delta x}{\bar{x}}&lt;/math&gt;, em percentagem (Incerteza relativa). <br /> <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for &#039;&#039;&#039;menor&#039;&#039;&#039; do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo uX , uY e uZ ,pode estimar-se a Incerteza uF da grandeza F a partir de<br /> (4)<br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1&lt; N&lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta F é calculável a partir de:<br /> (5)<br /> onde são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. , com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> (6)<br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria zero e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> Representação de Resultados da Medição de Grandezas <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas um ou dois algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita . Nunca esquecer também as unidades físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> Bons Exemplos: R =0.1850.030 m Temp=297.00.5 K v=344.30.4 m s-1<br /> B=(5.920.08) 10-4 T q/m=(1.770.07) 1011 C kg-1 e=0.0500.001 mm ou e=501 m<br /> Maus Exemplos: B=(5.92978876688886688980.08) 10-4 T, Temp=297  0.0005 <br /> q/m=(1.80.07789) 1011 C kg-1<br /> Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares<br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples , sendo (xi, yi) as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar (a, b), tal que seja mínimo. <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Apresenta%C3%A7%C3%A3o&diff=784 2015-12-27T15:46:18Z

<p>Ist165721: Sistema breadcrumb</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Navegação:&#039;&#039;&#039; [[Página principal|Mysolutions]] &gt; [[MOOC FEX]] &gt; Apresentação<br /> <br /> Este curso de Fisica Experimental aborda os métodos e técnicas modernas na elaboração de experiências de física. Para tal usaremos o recurso a laboratórios remotos e a pequenas experiencias que se podem realizar com material corrente. <br /> O curso terá uma componente importante sobre o tratamento e análise de dados em experimentos de Física bem como a estima correta dos seus erros experimentais.<br /> <br /> Os experimentos abrangem vários conteúdos de Física Básica, tais como mecânica, hidrostática, termodinâmica, eletromagnetismo e ondas e fará uma ponte para alguma física moderna. No entanto os aspetos teóricos serão mantidos num nível apenas indispensável à compreensão do experimento, deixando ao estudante o seu estudo aprofundado noutro contexto. Efetivamente primeiro o Homem observa e só depois tenta explicar, pelo que a nossa abordagem <br /> <br /> Mais especificamente, ao longo do curso são trabalhados vários métodos computacionais usados em Fisica experimental como a regressão linear por mínimos quadrados além de métodos para a avaliação das incertezas das grandezas, incluindo a incerteza padrão combinada para o caso de medições indiretas.<br /> <br /> Algumas das experiências serão realizadas remotamente em laboratórios não só Portugueses mas também na CPLP aportando uma nova dimensão humana de ligação entre povos ao presente curso.<br /> Em nome da equipe da PUC e do IST, esperamos contribuir, como físicos e amantes da física, para uma melhor compreensão do mundo que nos rodeia.<br /> <br /> <br /> =Organização do curso=<br /> <br /> O nosso curso está estruturado da seguinte forma: <br /> *Após a apresentação da introdução ao tratamento de dados temos uma primeira avaliação para determinar se o estudante está familiarizado com este tópico<br /> *De seguida apresentamos experimentos usados normalmente em cursos de física básica, embora alguns sejam relativos à chamada física moderna.<br /> *Será solicitada a construção de pequenas experiencias exemplificativas do tópico;<br /> <br /> Após a passagem da avaliação respetiva, o aluno acederá a experiências remotas reais onde poderá realizar uma experiência com maior rigor e tratar em detalhe os dados experimentais.<br /> Esperamos conseguir uma boa motivação e votos de sucesso no curso.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=783 2015-12-27T15:42:06Z

<p>Ist165721: Formatação do texto</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou &#039;&#039;&#039;metrologia&#039;&#039;&#039;. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do &#039;&#039;&#039;Sistema Internacional de Unidades (SI)&#039;&#039;&#039; trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as &#039;&#039;&#039;medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; e &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma &#039;&#039;medida exacta&#039;&#039; requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter &#039;&#039;medidas precisas&#039;&#039; sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;precisão&#039;&#039;&#039; de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> <br /> A &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o &#039;&#039;&#039;erro experimental&#039;&#039;&#039;, uma de natureza &#039;&#039;&#039;sistemática&#039;&#039;&#039; e outra &#039;&#039;&#039;aleatória&#039;&#039;&#039;. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais.<br /> <br /> Os &#039;&#039;&#039;erros sistemáticos&#039;&#039;&#039; conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor &#039;&#039;&#039;exatidão&#039;&#039;&#039; desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de &#039;&#039;&#039;referência (calibração)&#039;&#039;&#039;, pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um valor médio (média aritmética), que pode ser considerado como o melhor valor obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o desvio padrão, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o melhor valor para a incerteza do valor médio, &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt; (eq. 3), , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> (2)<br /> <br /> (3)<br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: . Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo . <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um majorante Δx, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como x ± Δx (Incerteza absoluta) ou na forma , em percentagem (Incerteza relativa). <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for menor do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo uX , uY e uZ ,pode estimar-se a Incerteza uF da grandeza F a partir de<br /> (4)<br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1&lt; N&lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta F é calculável a partir de:<br /> (5)<br /> onde são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. , com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> (6)<br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria zero e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> Representação de Resultados da Medição de Grandezas <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas um ou dois algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita . Nunca esquecer também as unidades físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> Bons Exemplos: R =0.1850.030 m Temp=297.00.5 K v=344.30.4 m s-1<br /> B=(5.920.08) 10-4 T q/m=(1.770.07) 1011 C kg-1 e=0.0500.001 mm ou e=501 m<br /> Maus Exemplos: B=(5.92978876688886688980.08) 10-4 T, Temp=297  0.0005 <br /> q/m=(1.80.07789) 1011 C kg-1<br /> Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares<br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples , sendo (xi, yi) as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar (a, b), tal que seja mínimo. <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Apresenta%C3%A7%C3%A3o&diff=782 2015-12-27T15:37:09Z

<p>Ist165721: </p> <hr /> <div>Este curso de Fisica Experimental aborda os métodos e técnicas modernas na elaboração de experiências de física. Para tal usaremos o recurso a laboratórios remotos e a pequenas experiencias que se podem realizar com material corrente. <br /> O curso terá uma componente importante sobre o tratamento e análise de dados em experimentos de Física bem como a estima correta dos seus erros experimentais.<br /> <br /> Os experimentos abrangem vários conteúdos de Física Básica, tais como mecânica, hidrostática, termodinâmica, eletromagnetismo e ondas e fará uma ponte para alguma física moderna. No entanto os aspetos teóricos serão mantidos num nível apenas indispensável à compreensão do experimento, deixando ao estudante o seu estudo aprofundado noutro contexto. Efetivamente primeiro o Homem observa e só depois tenta explicar, pelo que a nossa abordagem <br /> <br /> Mais especificamente, ao longo do curso são trabalhados vários métodos computacionais usados em Fisica experimental como a regressão linear por mínimos quadrados além de métodos para a avaliação das incertezas das grandezas, incluindo a incerteza padrão combinada para o caso de medições indiretas.<br /> <br /> Algumas das experiências serão realizadas remotamente em laboratórios não só Portugueses mas também na CPLP aportando uma nova dimensão humana de ligação entre povos ao presente curso.<br /> Em nome da equipe da PUC e do IST, esperamos contribuir, como físicos e amantes da física, para uma melhor compreensão do mundo que nos rodeia.<br /> <br /> <br /> =Organização do curso=<br /> <br /> O nosso curso está estruturado da seguinte forma: <br /> *Após a apresentação da introdução ao tratamento de dados temos uma primeira avaliação para determinar se o estudante está familiarizado com este tópico<br /> *De seguida apresentamos experimentos usados normalmente em cursos de física básica, embora alguns sejam relativos à chamada física moderna.<br /> *Será solicitada a construção de pequenas experiencias exemplificativas do tópico;<br /> <br /> Após a passagem da avaliação respetiva, o aluno acederá a experiências remotas reais onde poderá realizar uma experiência com maior rigor e tratar em detalhe os dados experimentais.<br /> Esperamos conseguir uma boa motivação e votos de sucesso no curso.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=769 2015-12-25T17:45:27Z

<p>Ist165721: Correcção de um bug</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou metrologia. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do Sistema Internacional de Unidades (SI) trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos precisão e exatidão (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma medida exacta requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter medidas precisas sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> A precisão de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> A exatidão é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de erro experimental. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o erro experimental, uma de natureza sistemática e outra aleatória. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais <br /> Os erros sistemáticos conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor exatidão desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de Referência (calibração), pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um valor médio (média aritmética), que pode ser considerado como o melhor valor obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o desvio padrão, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o melhor valor para a incerteza do valor médio, &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;/math&gt; (eq. 3), , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> (2)<br /> <br /> (3)<br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: . Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo . <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um majorante Δx, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como x ± Δx (Incerteza absoluta) ou na forma , em percentagem (Incerteza relativa). <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for menor do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo uX , uY e uZ ,pode estimar-se a Incerteza uF da grandeza F a partir de<br /> (4)<br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1&lt; N&lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta F é calculável a partir de:<br /> (5)<br /> onde são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. , com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> (6)<br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria zero e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> Representação de Resultados da Medição de Grandezas <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas um ou dois algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita . Nunca esquecer também as unidades físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> Bons Exemplos: R =0.1850.030 m Temp=297.00.5 K v=344.30.4 m s-1<br /> B=(5.920.08) 10-4 T q/m=(1.770.07) 1011 C kg-1 e=0.0500.001 mm ou e=501 m<br /> Maus Exemplos: B=(5.92978876688886688980.08) 10-4 T, Temp=297  0.0005 <br /> q/m=(1.80.07789) 1011 C kg-1<br /> Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares<br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples , sendo (xi, yi) as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar (a, b), tal que seja mínimo. <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721 http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_Experimentais&diff=768 2015-12-25T17:44:19Z

<p>Ist165721: Markup das equações mateméticas.</p> <hr /> <div>Todas as medidas e observações realizadas por humanos têm um erro associado na sua determinação. <br /> O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da ciência da medida ou metrologia. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa o valor da grandeza que está sendo medida. Por exemplo o cientista aceita sempre que o valor determinado por si será invariavelmente melhor determinado no futuro com técnicas mais avançadas.<br /> <br /> Da mesma forma como o uso quase universal do Sistema Internacional de Unidades (SI) trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso mundial sobre a avaliação e expressão da incerteza de medição permitiria que o significado de um vasto espectro de resultados de medições na ciência, engenharia, comércio, indústria e regulamentação, fosse prontamente compreendido e apropriadamente interpretado. Nesta era de mercado global, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme em todo mundo, de forma tal que as medições realizadas em diferentes países possam ser facilmente comparadas.<br /> <br /> Importa definir dois termos cruciais<br /> <br /> <br /> =Precisão e Exactidão=<br /> <br /> Na linguagem comum os termos precisão e exatidão (&#039;&#039;precision&#039;&#039; e &#039;&#039;accuracy&#039;&#039; em inglês) usam-se como sinónimos, mas no método científico e em particular na experimentação, traduzem conceitos diferentes. Pode existir uma medida Exacta e não Precisa ou outra Precisa mas não Exacta, embora normalmente uma medida exacta requeira uma medida com precisão. No entanto poderemos ter medidas precisas sem nenhuma exactidão, por exemplo quando um aparelho está descalibrado. O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor Precisão e Exactidão possíveis.<br /> A precisão de uma série de medições define-se como o grau da concordância entre determinações repetidas do mesmo objeto. <br /> A exatidão é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média determinações repeditas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “universalmente aceite”. A esta distância damos o nome de erro experimental. Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro da grandeza não é conhecido à priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do Erro. <br /> <br /> Nas actividades laboratoriais de física experimental existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro” ou de “referência” é conhecido com grande Precisão e Exatidão (e.g Razão da Carga/Massa do Electrão, Velocidade da Luz, etc) porque é o resultado de muitas medições em condições diferenciadas e conduzidas por muitos cientistas. Outras hão onde não se conhece o valor verdadeiro (e.g. comprimento dum objeto, temperatura da sala, indice de refração dum prisma para um certo comprimento de onda, etc) e só nos aproximamos do valor de referência através de medidas por vários métodos distintos que eliminam entre si as imprecisões da medida e usando uma estatística ampla.<br /> <br /> <br /> =Fontes de erro=<br /> <br /> Existem duas grandes contribuições para o erro experimental, uma de natureza sistemática e outra aleatória. Existe ainda um terceiro tipo de erros, os grosseiros, que são devidos a falhas ou manipulação errada dos equipamentos. Não nos referiremos a eles porque supomos que estarão devidamente ultrapassados pela utilização de boas práticas laboratoriais <br /> Os erros sistemáticos conduzem em geral a valores constantemente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma menor exatidão desta. Resultam de más condições de calibração dos instrumentos de medida, do uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas, de leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe) ou da utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. Estes erros devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. Só a comparação dos resultados obtidos com outros Instrumentos de Referência (calibração), pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos. <br /> <br /> Conhecidos estes erros estes podem ser compensados pela adição dum termo normalmente aditivo aos dados e desta forma eliminados na determinação da medida.<br /> <br /> Os erros aleatórios resultam das flutuações fruto do acaso que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras e pioram a sua precisão. Podem ser originados por falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador, por leituras incorrectas (mas não sistemáticas), por ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas), pelos processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo o declínio radioactivo). A análise estatística destas flutuações mostra que o valor médio dos erros aleatórios é nulo. Isto é importante pois ao repetir-se as mediações e fazendo a média aos N resultados os erros aleatórios compensam-se entre si, reduzindo-se assim a contribuição do erro aleatório para a medida. Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados mas dado o seu caractér estocástico, ou seja dependendo de fontes não determínisticas, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma Incerteza experimental por melhor que seja a medida.<br /> Estes só são minimizados pelo correto tratamento estatístico dos dados experimentais.<br /> <br /> Em resumo:<br /> #Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br /> #Antes da experiência devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a Exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o desvio à exactidão do valor obtido que pode ser calculado em percentagem como:<br /> <br /> &lt;math&gt; <br /> desvio (\%) = \left| \frac{valor _{conhecido} - valor_{medido}}{valor _{conhecido}} \right| \times 100<br /> &lt;\math&gt;<br /> <br /> #Porque existem sempre erros aleatórios toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de Precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de apresentar sempre o valor mais provável da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da Incerteza. Exemplo: Vel_Somar = 343.5 ± 0.6 m/s <br /> #Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas utilizando as equações físicas, as incertezas propagam-se, gerando uma indeterminação no resultado final.<br /> <br /> Veremos de seguida como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indiretas e as respectivas Incertezas.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Directas=<br /> <br /> A repetição de uma medida da variável x nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um valor médio (média aritmética), que pode ser considerado como o melhor valor obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada N vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro valor” da grandeza à medida que N aumenta. Para N grande (e.g. N &gt;&gt;10) pode calcular-se o desvio padrão, s (eq. 2), que exprime a dispersão dos resultados e o melhor valor para a incerteza do valor médio, &lt;math&gt; u = \frac{s}{\sqrt{N}} &lt;\math&gt; (eq. 3), , também chamado por “erro padrão” ou “erro padrão da média”<br /> (2)<br /> <br /> (3)<br /> O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: . Isto significa que, ao efectuar uma nova medição, teremos 95% de probabilidades do novo valor medido se encontrar dentro do intervalo . <br /> Mas se o número de determinações N nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente 1&lt; N&lt; 5) a análise estatística perde significado e a Incerteza deve ser então ser estimada usando um majorante Δx, que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como x ± Δx (Incerteza absoluta) ou na forma , em percentagem (Incerteza relativa). <br /> Importante: em qualquer dos casos se a Incerteza calculada for menor do que a incerteza intrínsica do Instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br /> <br /> <br /> =Incerteza nas Grandezas Indirectas=<br /> <br /> Para uma grandeza indirecta F(X,Y,Z, ...) sendo X, Y , Z.... grandezas medidas directas, com Incertezas que foram estimados pelas equações (1) como sendo uX , uY e uZ ,pode estimar-se a Incerteza uF da grandeza F a partir de<br /> (4)<br /> Quando não é não é possível fazer uma análise estatística (1&lt; N&lt; 4), um majorante do erro da grandeza indirecta F é calculável a partir de:<br /> (5)<br /> onde são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão são calculadas por majoração.<br /> Caso particular: para uma função racional (por ex. , com a,b,c inteiros) o majorante do erro relativo é a soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto.<br /> (6)<br /> No entanto convém realçar que por vezes a medida é tão grosseira que o erro aparenta ser nulo; nesta situação a propagação do erro daria zero e teríamos uma precisão infinita (!) o que não é certamente o caso. Em tais casos a incerteza pode ser estimada como a própria imprecisão de leitura, mas tome cuidado pois esta imprecisão não pode ser confundida com o desvio padrão! Este resultado pode ser útil apenas como uma primeira indicação do valor da grandeza média, não sendo o experimento passível dum tratamento estatístico correto e indiciando uma utilização de escalas grosseiras. No entanto experimentos destes podem ser utilizados como demonstrações das características gerais do fenómeno ou indicar o caminho para medidas mais rigorosas.<br /> Representação de Resultados da Medição de Grandezas <br /> O resultado das medições devem ser apresentados com uma Incerteza que, em regra geral, deve ter apenas um ou dois algarismos significativos. Por sua vez o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita . Nunca esquecer também as unidades físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema SI.<br /> Bons Exemplos: R =0.1850.030 m Temp=297.00.5 K v=344.30.4 m s-1<br /> B=(5.920.08) 10-4 T q/m=(1.770.07) 1011 C kg-1 e=0.0500.001 mm ou e=501 m<br /> Maus Exemplos: B=(5.92978876688886688980.08) 10-4 T, Temp=297  0.0005 <br /> q/m=(1.80.07789) 1011 C kg-1<br /> Incertezas nas representações Gráficas e Ajustes Lineares<br /> A análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas supostas descrever os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br /> De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados que consiste na determinação analítica de qual a recta que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples , sendo (xi, yi) as coordenadas dos N pontos pretende-se determinar (a, b), tal que seja mínimo. <br /> No entanto este método pode ser aplicado a qualquer tipo de funções com igual rigor.<br /> Não iremos demonstrar exaustivamente as equações usadas por estar fora do âmbito deste curso mas demonstra-se facilmente que as condições de estacionariedade desta função , dependente dos dois parâmetros (a, b), conduzem a duas equações: <br /> (7)<br /> A grande maioria dos programas de cálculo tais como folhas de calculo e o Origin e as calculadoras científicas incorpora estas expressões para calcular os pârametros de ajuste a e b. <br /> Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin e Fitteia ) permitem também calcular as estimativas das Incertezas ua e ub.<br /> <br /> MÍNIMOS QUADRADOS COM O SOLVER DO EXCEL (vídeo extra)<br /> <br /> <br /> =O e-lab=<br /> <br /> Uma grande parte deste curso irá envolver o uso do e-lab, os laboratórios remotos do IST. O e-lab é uma plataforma digital construída em Java que permite ao utilizador ligar-se a várias experiencias. Em cada experiência escolhemos configurações experimentais e obtendo resultados reais. Não há simulação ou resultados pré-registados. Todas as experiências do e-lab são corridas ao vivo e podem ser observadas pelo serviço de streaming de vídeo.<br /> <br /> Para correr o e-lab é necessário:<br /> *O e-lab launcher http://e-lab.ist.eu/rec.web/client/elab-client.jnlp<br /> *Java 6, para correr o launcher<br /> *VLC http://www.videolan.org/ para ver as streams de vídeo<br /> <br /> Se tudo foi instalado correctamente, basta fazer duplo-click no ficheiro .jnlp<br /> <br /> <br /> Imediatamente será apresentado o splash screen do e-lab:<br /> <br /> <br /> O Java irá apresentar um aviso de segurança<br /> <br /> (explicar o porquê de aparecer o aviso?)<br /> Basta clicar em Run/Correr para aceder ao e-lab, e será apresentado o ecrã de login<br /> <br /> <br /> Este ecrã é apresentado consoante a língua do sistema, mas podemos escolher se o e-lab será apresentado em português ou inlgês.<br /> O nome de utilizador é meramente identificativo, e a password fará parte de um sistema de reservas a implementar no futuro.<br /> O e-lab está dividido em 3 laboratórios: básico, intermédio e avançado. É importante notar que estas designações não se referem à dificuldade da experiência em si, mas aos conhecimentos teóricos necessários para compreender a experiência, protocolo e resultados.<br /> (listar as experiências?)<br /> Por outro lado, é possível usar o software VLC player para ver as transmissões de vídeo de cada experiência separadamente. Para tal usamos <br /> Media -&gt; Open network stream…<br /> (menus em PT)<br /> A lista completa de transmissões pode ser consultada em<br /> http://www.elab.ist.utl.pt/?page_id=111<br /> Ao entrar numa sala de controlo, podemos configurar os vários parâmetros específicos de cada experiência. Ao clicar em OK, a configuração é guardada. É necessário depois carregar Play. Porque o e-lab é um serviço em tempo real, as experiências só podem ser usadas por um utilizador de cada vez, estando implementado um sistema de fila de espera que assegura a rotatividade do controlador<br /> No entanto, os dados adquiridos em cada aquisição estão sempre disponíveis.<br /> <br /> <br /> =Bibliografia=<br /> <br /> *John R. Taylor, “An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements”, University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br /> *V. Thomsen. “Precision and The Terminology of Measurement”. The Physics Teacher, Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.</div>

Ist165721
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