Diferenças entre edições de "Fórmulas integrais de Cauchy"
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Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo). | Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo). | ||
| − | Se \( \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos | + | Se \( \ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos |
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A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \) | A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \) | ||
| − | B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \) | + | |
| + | B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \) | ||
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C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente | C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente | ||
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D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente | D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente | ||
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E) Nenhuma das anteriores | E) Nenhuma das anteriores | ||
Edição atual desde as 16h28min de 7 de maio de 2020
Metadata
- CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
- AREA: Matemática
- DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
- ANO: 2
- LINGUA: pt
- AUTOR: Rui Miguel Saramago
- MATERIA PRINCIPAL: Fórmulas integrais de Cauchy
- DESCRICAO: Determinar derivadas de funções inteiras e integrais sobre curvas fechadas a partir de uma instância da fórmula integral de Cauchy.
- DIFICULDADE: **
- TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
- TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
- PALAVRAS CHAVE: função holomorfa, fórmulas integrais de Cauchy
Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo).
Se \( \ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos
A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \)
B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \)
C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente
D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente
E) Nenhuma das anteriores