Diferenças entre edições de "Erros e incertezas experimentais"
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Um dos principais objectivos da Física Experimental consiste na medição quantitativa de grandezas físicas. A palavra ''medição'' designa o acto de medir, do qual resulta uma ''medida'' (ou mais do que uma, no caso de se repetir o processo). É fundamental classificar os principais tipos de grandezas encontradas: | Um dos principais objectivos da Física Experimental consiste na medição quantitativa de grandezas físicas. A palavra ''medição'' designa o acto de medir, do qual resulta uma ''medida'' (ou mais do que uma, no caso de se repetir o processo). É fundamental classificar os principais tipos de grandezas encontradas: | ||
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Grandezas físicas
Um dos principais objectivos da Física Experimental consiste na medição quantitativa de grandezas físicas. A palavra medição designa o acto de medir, do qual resulta uma medida (ou mais do que uma, no caso de se repetir o processo). É fundamental classificar os principais tipos de grandezas encontradas:
Erros sistemáticos | Erros aleatórios | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Precisão e exactidãoNa linguagem coloquial os termos precisão e exactidão [1] usam-se como sinónimos, mas no método científico experimental traduzem conceitos muito diferentes. Pode existir uma medida exacta e não precisa, ou outra precisa mas não exacta (ver ilustração). O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor precisão e a melhor exactidão possíveis.
Note-se que, numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro das grandezas físicas não é conhecido a priori, pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do erro. Nas actividades laboratoriais de LIFE existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro/referência” é conhecido com grande precisão/exactidão (e.g Exp. Thomson, Exp. Millikan, Velocidade da Luz, etc). Outras há em que não se conhece o valor verdadeiro (e.g. carga de uma gota de óleo electrizada, temperatura da sala, índice de refração de um material transparente, etc). Erros sistemáticos e aleatóriosExistem duas grandes contribuições para o erro experimental, uma de natureza sistemática e outra aleatória:
Em conclusão, podemos resumir todos estes conceitos nestes pontos:
Veremos nas próximas secções como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indirectas e as respectivas Incertezas. Incerteza nas grandezas directasA repetição de uma medição da variável \(x\) nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um valor médio \(\bar{x}\) (média aritmética), que pode ser considerado como o melhor valor obtido nesta medida. Num grande número de situações, esta repetição realizada \(N\) vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro” valor da grandeza à medida que \(N\) aumenta. Para \(N\) grande (e.g. \(N\gg 10\)) pode calcular-se o desvio padrão \(s\), que exprime a dispersão dos resultados: [math] s=\sqrt{\frac{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N-1}} [/math] O melhor valor para a incerteza do valor médio \(u\), é dado pelo desvio padrão da média, \(u=s\sqrt{N}\), também chamado erro padrão ou erro padrão da média: O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: \(\bar{x}\pm u\). Mas se o número de determinações \(N\) nas mesmas condições experimentais é pequeno (tipicamente \(1<N<5\)), a análise estatística perde significado e a incerteza deve ser então ser estimada usando um majorante \(\Delta x\), que será o maior desvio em relação à média. O resultado final neste caso pode apresentar-se como \(x\pm\Delta x\) (incerteza absoluta) ou na forma \(\Delta x/\bar{x}\), em percentagem (incerteza relativa). Importante: em qualquer caso, se a incerteza calculada for menor do que a incerteza intrínseca do instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última. Incerteza nas grandezas indirectasPara uma grandeza indirecta \(F(X,Y,Z,…)\) sendo \(X,Y,Z,…\) grandezas medidas directas, com incertezas que foram estimadas pelas equações acima como sendo \(u_X , u_Y, u_Z\) pode estimar-se a incerteza \(u_F\) da grandeza \(F\) a partir das respectivas derivadas parciais: [math] u_F=\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial X} u_X\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial Y} u_Y\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial Z} u_X\right)^2 \cdots} [/math] Quando não é possível fazer uma análise estatística \((1<N<4)\), um majorante do erro da grandeza indirecta \(\Delta F\) é calculável a partir de [math] \Delta F=\left|\frac{\partial F}{\partial X}\right| \Delta X+\left|\frac{\partial F}{\partial Y}\right| \Delta Y+\left|\frac{\partial F}{\partial Z}\right| \Delta Z [/math] onde \(\Delta X,\Delta Y,\Delta Z\), são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. As derivadas deverão ser calculadas por majoração. Caso particular: para uma função racional (por ex. \(F(X,Y,Z)=cte∙X^a Y^b Z^c\), com \(a,b,c\) inteiros) o majorante do erro relativo é a soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto: [math] \Delta F/F=a\cdot\frac{\Delta X}{X}+b\cdot\frac{\Delta Y}{Y}+c\cdot\frac{\Delta Z}{Z} [/math] Representação de resultados da medição de grandezasOs resultados das medições devem ser apresentados com uma incerteza que, em regra geral, deve ter apenas um ou dois algarismos significativos. Por sua vez, o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita . Nunca esquecer também as unidades físicas da grandeza medida, de preferência no Sistema Internacional (SI).
Algarismos significativosCom excepção do caso em que todos os números envolvidos são inteiros, não é possível representar o valor de uma grandeza com exactidão ilimitada. Diz-se que uma representação de um número tem \(n\) algarismos significativos quando se admite um erro na casa decimal seguinte. Por exemplo: 1/7 = 0,14 tem dois algarismos significativos 1/30 = 0,0333 tem três algarismos significativos Note-se que a posição da vírgula não afecta o número de a.s. Regras
Soma e subtracçãoO resultado deve manter o número de casas decimais do operando com o menor número de casas decimais Exemplo: 105,4+0,2869+34,27 = 139,9569 = 140,0 i.e. 1,400 × 102 Multiplicação e divisãoO resultado deve manter o número de casas decimais do operando com o menor número de algarismos significativos Exemplo: 7,3\(\times\)8,4 = 61,32 = 61,3 Raízes quadradasO número de a.s. é igual ao de partida. Exemplo: √92 = 9,59166 = 9,6 Incertezas nas Representações Gráficas. Ajuste LinearA análise de resultados é frequentemente facilitada se se usarem representações gráficas das leis matemáticas que supostamente descrevem os fenómenos físicos em observação. O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. De uma forma mais sistemática deve usar-se o método dos mínimos quadrados, que consiste na determinação analítica de qual a recta \(y=a+b\cdot x_i\) que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples, sendo \((x_i,y_i)\) as coordenadas dos \(N\) pontos pretende-se determinar \((a,b)\) tal que seja mínimo. As condições de estacionariedade desta função \(χ^2=F(a,b)\), dependente dos dois parâmetros \((a,b)\), podem ser descritas como \(\partial(χ^2)/\partial a=0,\partial(χ^2)/\partial b=0\) e \(\partial(χ^2)/\partial b^2=0\). As duas primeiras equações resultam em \begin{equation} \begin{aligned} & \sum_{i=0}^N\left(y_i-a-b x_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum y_i-N a-b \sum x_i=0 \\ & \sum_{i=0}^N x_i\left(y_i-a-b x_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum x_i y_i-a \sum x_i-b \sum x_i^2=0 \end{aligned} \end{equation} A resolução deste sistema de duas equações permite obter os valores de \(a\) e \(b\): \begin{equation} a=\frac{\left(\sum x_i\right)^2 \sum y_i-\sum x_i \sum x_i y_i}{N \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2} \quad b=\frac{N \sum x_i y_i-\sum x_i \sum y_i}{N \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2} \end{equation} A grande maioria dos programas de cálculo e as calculadoras científicas incorporam estas expressões para calcular os parâmetros de ajuste \(a\) e \(b\). Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g Origin , Fitteia ou Qtiplot ) permitem também calcular as estimativas das incertezas \(u_a\) e \(u_b\). Ajuste linear manualÉ possível também obter um ajuste linear aproximado fazendo um traçado manual, com o rigor possível. Podemos usar como ponto de partida o ponto médio por onde passa a recta. Consideremos o sistema de duas equações acima; tomando a primeira e dividindo por \(N\), [math] \frac{\sum y_i}{N}-a-b \frac{\sum x_i}{N}=0 \Leftrightarrow \bar{y}=a+b \bar{x} [/math] em que \(\bar{y}\) e \(\bar{x}\) são respectivamente as médias de cada um dos conjuntos de valores. Daqui conclui-se que a recta que corresponde ao melhor ajuste passa pelo ponto médio \((\bar{x},\bar{y})\). O passo seguinte consiste em traçar as rectas de maior \((y=a_1+b_1 x)\) e menor \((y=a_2+b_2 x)\) inclinação que, passando por este ponto, melhor se ajustam aos pontos medidos e suas incertezas. Por fim, a recta do melhor ajuste e o respectivo erro é obtida pela média desta duas rectas, de acordo com [math] a=\frac{a_1+a_2}{2} \quad \varepsilon_a=\frac{\left|a_1-a_2\right|}{2} \quad b=\frac{b_1+b_2}{2} \quad \varepsilon_b=\frac{\left|b_1-b_2\right|}{2} [/math] Exemplo: Considere-se o conjunto de pontos da tabela abaixo e a sua representação no gráfico.
Traçamos duas rectas que passem pelo ponto médio (3,5; 7,0) e que correspondam visualmente (e com bom senso) ao maior e menor declive que contenham os pontos da medição.
Recta 2 (a vermelho): y=2,0x-0,05 Por fim, calculam-se os coeficientes da recta que bissecta estas duas, dados pelas expressões acima. Melhor ajuste: a=(2,05+(-0,05))/2=1,0 ϵ_a=|2,05—0,05)/2 2=1,05 b=(1,4+2)/2=1,7 ϵ_b=|1,4-2|/2=0,35 Recta final (a verde): y=1,7x+1,0 Como comparação, os valores calculados pelo método dos mínimos quadrados dão para a recta o resultado y=1,67x+1,16. Bibliografia
Notas |
- ↑ em inglês, precision e accuracy