Diferenças entre edições de "Cesto de fruta na plataforma"

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Linha 8: Linha 8:
 
*LINGUA: pt
 
*LINGUA: pt
 
*AUTOR: Ana Mourão
 
*AUTOR: Ana Mourão
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*MATERIA PRINCIPAL: Conservação de Momento Linear
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*MATERIA PRINCIPAL: Conservação de Momento Angular
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*DESCRICAO: Força de sustentação
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*DESCRICAO: Cesto de fruta na plataforma
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*DIFICULDADE: ***
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*DIFICULDADE: **
 
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
 
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
 
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
 
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
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*PALAVRAS CHAVE: Momento, linear, colisões, conservação, força, sustentação, impulso
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*PALAVRAS CHAVE: Momento, angular, conservação, atrito, rotação
 
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Sobre uma plataforma circular, na horizontal, rodando com velocidade angular de 1 volta em 2 segundos, coloca-se um cesto de \(10\) cm de raio e com \(2\) Kg de maçãs a \(1.5\) m do centro da plataforma e que passa a rodar com a plataforma. Esta tem massa \(M=50\) Kg e raio \(R=2\) m.
−
 
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O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é \(I=\frac{M\,R^2}{2}\).
−
 
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Considere que há atrito entre a plataforma e o cesto.
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Calcule a velocidade angular da plataforma depois de se colocar o cesto.
  
 
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\( \vec{\Delta p_S} \simeq 1 \times 10^{-3} \vec{e_x} + 1.732 \times 10^{-3} \vec{e_y} \) Kg m \(s^{-1}\)
+
\( \omega_f \simeq 3.01 \) rad/s
−
 
 
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A direcção do vector é normal à superfície.
 
  
 
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\item Sobre uma plataforma circular, na horizontal, rodando com velocidade
 
−
  angular de 1 volta em 2 segundos, coloca-se um cesto de \SI{10}{cm} de raio
 
−
  e com \SI{2}{kg} de maçãs a \SI{1,5}{m} do centro da plataforma e que passa
 
−
  a rodar com a plataforma. Esta tem massa $M=\SI{50}{kg}$ e raio $R=\SI{2}{m}$.
 
−
  O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é $I=M\,R^2/2\,$.
 
−
  Considere que há atrito entre a plataforma e o cesto. \\
 
−
  Calcule a velocidade angular da plataforma depois de se colocar o cesto.
 
−
  \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
 
−
  }{
 
−
  \minisec{Resolução:}
 
−
  Podemos considerar o sistema plataforma+cesto isolado e, portanto, o momento
 
−
  angular total do sistema conserva-se. Este, antes do cesto ser colocado
 
−
  na plataforma, é
 
−
  \[ \vec{L}_0 = I\vec{\omega}\,.\]
 
−
  Ao colocarmos o cesto sobre a plataforma o momento de inércia do sistema aumenta
 
−
  para um valor $I'$. Uma vez que o momento angular se conserva, a velocidade
 
−
  angular terá de diminuir para um valor $\omega'$, tal que
 
−
  \[ \vec{\omega}' = \frac{I}{I'}\vec{\omega}\]
 
−
  O problema reduz-se assim ao cálculo do momento de inércia do sistema plataforma+cesto.
 
−
  Esse momento de inércia é a soma do momento de inércia da plataforma
 
−
  em relação ao eixo central, que conhecemos, com o momento de inércia do cesto
 
−
  em relação ao eixo central, $I_c$: $I' = I + I_c$. \\
 
−
  Uma vez que o cesto e a sua massa são pequenas em comparação com a da plataforma,
 
−
  podemos considerar o cesto pontual, com massa $m$ e um momento angular $mr^2\omega'$.
 
−
  Isto é, $I_c = m r^2$. Usando este valor em $I'$ e o valor indicado para $I$, obtemos
 
−
%  Por sua vez, sabe-se que os momentos de inércia em relação a um eixo passando
 
−
%  no centro de massa e em relação a um eixo paralelo, A, ao primeiro e afastado
 
−
%  deste de uma distância $r$ estão relacionados por $I_A = I_{CM} + mr^2$. Aplicando
 
−
%  ao nosso caso, uma vez que o cesto é colocado a uma distância $r=\SI{1,5}{m}$
 
−
%  do centro, vem $I_c = I_{CM}+mr^2$, onde $I_{CM}$ é o momento de inércia do
 
−
%  cesto de massa $m$. Admitamos que o cesto se pode representar como um pequeno
 
−
%  cilindro, de momento de inércia $I_{CM} = m r_c^2/2$.
 
−
%  Substituindo valores, obtemos
 
−
%  \[ \omega' = \frac{\omega}{1+2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2
 
−
%    \left(1+\frac{r_c^2}{2r^2}\right)} \]
 
−
%  No entanto uma vez que $r_c \ll r$, podemos desprezar esta razão e escrever
 
−
  \[ \omega' = \left[1+2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^{-1}\omega \]
 
−
  por sua vez, como $m\ll M$ e $r<R$, usando a aproximação $(1+x)^a = 1+ax,\; x\ll 1$,
 
−
  temos
 
−
  \[ \omega' \approx \left[1-2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] \omega\]
 
−
  Substituindo valores, obtemos
 
−
  \[ \omega' \approx 0,955\omega\,.\]
 
−
  Podemos ainda calcular a energia que é dissipada pelas forças de atrito quando
 
−
  o cesto é colocado na plataforma. A conservação da energia permite-nos escrever
 
−
  \[ E_{R_0} = E_{R} + E_{\mathrm{atrito}} \]
 
−
  onde $E_{R_0}$ e $E_R$ são a energia cinética de rotação antes e depois da
 
−
  colocação do cesto. Substituindo valores temos
 
−
  \begin{eqnarray*}
 
−
  E_{\mathrm{atrito}} &=& E_{R0} - E_{R} \\
 
−
  &=& \frac{1}{2}I\omega^2\left[1 - \left(1+\frac{I'}{I} \right)\left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^2 \right] \\
 
−
  &=& \frac{1}{2}I\omega^2\left[1-\frac{1}{1+\frac{mr^2}{I}}\right] \\
 
−
  &\approx& \frac{1}{2}I\omega^2\left[\frac{mr^2}{I}\right] \\
 
−
  &\approx& \frac{1}{2}m r^2\omega^2
 
−
  \end{eqnarray*}
 
−
  Note que este valor é equivalente à energia cinética de rotação de um anel
 
−
  ($I_{\mathrm{anel}}=mr^2$) de raio $r$ e massa $m$. \\
 
−
  \rule{\linewidth}{1pt}
 
−
  }
 

Revisão das 17h43min de 2 de novembro de 2015

Metadata

  • CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
  • AREA: Física
  • DISCIPLINA: Mecânica e ondas
  • ANO: 1
  • LINGUA: pt
  • AUTOR: Ana Mourão
  • MATERIA PRINCIPAL: Conservação de Momento Angular
  • DESCRICAO: Cesto de fruta na plataforma
  • DIFICULDADE: **
  • TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
  • TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
  • PALAVRAS CHAVE: Momento, angular, conservação, atrito, rotação

Sobre uma plataforma circular, na horizontal, rodando com velocidade angular de 1 volta em 2 segundos, coloca-se um cesto de \(10\) cm de raio e com \(2\) Kg de maçãs a \(1.5\) m do centro da plataforma e que passa a rodar com a plataforma. Esta tem massa \(M=50\) Kg e raio \(R=2\) m. O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é \(I=\frac{M\,R^2}{2}\). Considere que há atrito entre a plataforma e o cesto. Calcule a velocidade angular da plataforma depois de se colocar o cesto.

Respostas

\( \omega_f \simeq 3.01 \) rad/s

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