Diferenças entre edições de "Cesto de fruta na plataforma"

Revisão das 18h43min de 2 de novembro de 2015

Metadata

CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
AREA: Física
DISCIPLINA: Mecânica e ondas
ANO: 1
LINGUA: pt
AUTOR: Ana Mourão
MATERIA PRINCIPAL: Conservação de Momento Angular
DESCRICAO: Cesto de fruta na plataforma
DIFICULDADE: **
TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
PALAVRAS CHAVE: Momento, angular, conservação, atrito, rotação

Sobre uma plataforma circular, na horizontal, rodando com velocidade angular de 1 volta em 2 segundos, coloca-se um cesto de $10$ cm de raio e com $2$ Kg de maçãs a $1.5$ m do centro da plataforma e que passa a rodar com a plataforma. Esta tem massa $M=50$ Kg e raio $R=2$ m. O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é $I=\frac{M\,R^2}{2}$ . Considere que há atrito entre a plataforma e o cesto. Calcule a velocidade angular da plataforma depois de se colocar o cesto.

Respostas

$\omega_f \simeq 3.01$ rad/s

@@ Linha 8: / Linha 8: @@
 *LINGUA: pt
 *AUTOR: Ana Mourão
-*MATERIA PRINCIPAL: Conservação de Momento Linear
+*MATERIA PRINCIPAL: Conservação de Momento Angular
-*DESCRICAO: Força de sustentação
+*DESCRICAO: Cesto de fruta na plataforma
-*DIFICULDADE: ***
+*DIFICULDADE: **
 *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
 *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
-*PALAVRAS CHAVE: Momento, linear, colisões, conservação, força, sustentação, impulso
+*PALAVRAS CHAVE: Momento, angular, conservação, atrito, rotação
 </div>
 </div>
+Sobre uma plataforma circular, na horizontal, rodando com velocidade angular de 1 volta em 2 segundos, coloca-se um cesto de  $10$  cm de raio e com  $2$  Kg de maçãs a  $1.5$  m do centro da plataforma e que passa a rodar com a plataforma. Esta tem massa  $M=50$  Kg e raio  $R=2$  m.
+O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é  $I=\frac{M\,R^2}{2}$ .
+Considere que há atrito entre a plataforma e o cesto.
+Calcule a velocidade angular da plataforma depois de se colocar o cesto.
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:320px">
@@ Linha 25: / Linha 26: @@
 <div class="mw-collapsible-content">
-\( \vec{\Delta p_S} \simeq 1 \times 10^{-3} \vec{e_x} + 1.732 \times 10^{-3} \vec{e_y} \) Kg m \(s^{-1}\)
+\( \omega_f \simeq 3.01 \) rad/s
-A direcção do vector é normal à superfície.
 </div>
 </div>
-\item Sobre uma plataforma circular, na horizontal, rodando com velocidade
-  angular de 1 volta em 2 segundos, coloca-se um cesto de \SI{10}{cm} de raio
-  e com \SI{2}{kg} de maçãs a \SI{1,5}{m} do centro da plataforma e que passa
-  a rodar com a plataforma. Esta tem massa $M=\SI{50}{kg}$ e raio $R=\SI{2}{m}$.
-  O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é $I=M\,R^2/2\,$.
-  Considere que há atrito entre a plataforma e o cesto. \\
-  Calcule a velocidade angular da plataforma depois de se colocar o cesto.
-  \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
-  }{
-  \minisec{Resolução:}
-  Podemos considerar o sistema plataforma+cesto isolado e, portanto, o momento
-  angular total do sistema conserva-se. Este, antes do cesto ser colocado
-  na plataforma, é
-  \[ \vec{L}_0 = I\vec{\omega}\,.\]
-  Ao colocarmos o cesto sobre a plataforma o momento de inércia do sistema aumenta
-  para um valor $I'$. Uma vez que o momento angular se conserva, a velocidade
-  angular terá de diminuir para um valor $\omega'$, tal que
-  \[ \vec{\omega}' = \frac{I}{I'}\vec{\omega}\]
-  O problema reduz-se assim ao cálculo do momento de inércia do sistema plataforma+cesto.
-  Esse momento de inércia é a soma do momento de inércia da plataforma
-  em relação ao eixo central, que conhecemos, com o momento de inércia do cesto
-  em relação ao eixo central, $I_c$: $I' = I + I_c$. \\
-  Uma vez que o cesto e a sua massa são pequenas em comparação com a da plataforma,
-  podemos considerar o cesto pontual, com massa $m$ e um momento angular $mr^2\omega'$.
-  Isto é, $I_c = m r^2$. Usando este valor em $I'$ e o valor indicado para $I$, obtemos
-%   Por sua vez, sabe-se que os momentos de inércia em relação a um eixo passando
-%   no centro de massa e em relação a um eixo paralelo, A, ao primeiro e afastado
-%   deste de uma distância $r$ estão relacionados por $I_A = I_{CM} + mr^2$. Aplicando
-%   ao nosso caso, uma vez que o cesto é colocado a uma distância $r=\SI{1,5}{m}$
-%   do centro, vem $I_c = I_{CM}+mr^2$, onde $I_{CM}$ é o momento de inércia do
-%   cesto de massa $m$. Admitamos que o cesto se pode representar como um pequeno
-%   cilindro, de momento de inércia $I_{CM} = m r_c^2/2$.
-%   Substituindo valores, obtemos
-%   \[ \omega' = \frac{\omega}{1+2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2
-%     \left(1+\frac{r_c^2}{2r^2}\right)} \]
-%   No entanto uma vez que $r_c \ll r$, podemos desprezar esta razão e escrever
-  \[ \omega' = \left[1+2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^{-1}\omega \]
-  por sua vez, como $m\ll M$ e $r<R$, usando a aproximação $(1+x)^a = 1+ax,\; x\ll 1$,
-  temos
-  \[ \omega' \approx \left[1-2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] \omega\]
-  Substituindo valores, obtemos
-  \[ \omega' \approx 0,955\omega\,.\]
-  Podemos ainda calcular a energia que é dissipada pelas forças de atrito quando
-  o cesto é colocado na plataforma. A conservação da energia permite-nos escrever
-  \[ E_{R_0} = E_{R} + E_{\mathrm{atrito}} \]
-  onde $E_{R_0}$ e $E_R$ são a energia cinética de rotação antes e depois da
-  colocação do cesto. Substituindo valores temos
-  \begin{eqnarray*}
-   E_{\mathrm{atrito}} &=& E_{R0} - E_{R} \\
-   &=& \frac{1}{2}I\omega^2\left[1 - \left(1+\frac{I'}{I} \right)\left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^2 \right] \\
-   &=& \frac{1}{2}I\omega^2\left[1-\frac{1}{1+\frac{mr^2}{I}}\right] \\
-   &\approx& \frac{1}{2}I\omega^2\left[\frac{mr^2}{I}\right] \\
-   &\approx& \frac{1}{2}m r^2\omega^2
-  \end{eqnarray*}
-  Note que este valor é equivalente à energia cinética de rotação de um anel
-  ($I_{\mathrm{anel}}=mr^2$) de raio $r$ e massa $m$. \\
-  \rule{\linewidth}{1pt}
-  }

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