Probabilidades

Conceitos básicos

Considere dois acontecimentos arbitrários, \( A \) e \( B \), associados à mesma experiência aleatória. Será que a dupla desigualdade \( P(A)+P(B)-1\leq P(A\cup B)\leq P(A)+P(B) \) é necessariamente verdadeira?

Numa dada experiência aleatória, sejam \( A \) e \( B\) dois acontecimentos independentes, tais que \( P(A)=P(B) = 1/2 \). Calcule \( P \left[A| (A\cup B) \right] \).

Considere dois acontecimentos \( B \) e \( C\), com probabilidades não nulas, associados à mesma experiência aleatória, tais que: \( P(C)=0.3, \; P(B|C)=0.4, \; P(\bar B | \bar C)=0.8 \) Calcule \( P(C|B) \).

Uma fábrica produz \( \textit{chips} \) em 5 linhas de produção que são enviados para o mercado em lotes. Todas as linhas produzem a mesma quantidade de lotes e cada lote contém apenas unidades produzidas por uma única linha. Em condições normais, cada lote produzido contém 2 \( \% \) de \( \textit{chips} \) defeituosos. Todavia, num dado mês a ocorrência de problemas mecânicos na linha \( L_1 \) fez com que esta passasse a produzir lotes com 5\( \% \) de \( \textit{chips} \) defeituosos durante esse período.

1. Um \( \textit{chip} \) retirado ao acaso de um lote produzido nesse mês revelou-se defeituoso. Qual a probabilidade de esse \( \textit{chip} \) ter sido produzido pela linha \( L_1\)?
2. Um cliente, que recebeu um lote produzido naquele mês, decide testar 3 \( \textit{chips} \) retirados ao acaso e com reposição do lote. Qual a probabilidade de encontrar apenas um \( \textit{chip} \) defeituoso?

Um parque de estacionamento frente a um edifício de habitação tem alguns lugares reservados para a largada de crianças, deficientes e idosos ou para efectuar descargas rápidas. Os utilizadores do parque de estacionamento foram classificados em 3 categorias: moradores-proprietários, moradores-inquilinos e visitantes. De acordo com um estudo sobre a ocupação dos lugares reservados, as probabilidades de um ocupante dos mesmos ser de cada uma das três categorias são 0.4, 0.5 e 0.1, respectivamente. Considere que o uso indevido dos lugares reservados por utilizadores das categorias moradores-proprietários, moradores-inquilinos e visitantes ocorre com probabilidades iguais a 0.2, 0.3 e 0.8, respectivamente.

1. Qual é a probabilidade de um utilizador do parque de estacionamento fazer uso indevido dos lugares reservados?
2. Ao encontrar um automóvel estacionado indevidamente num dos lugares reservados, qual é a probabilidade de ele ser de um visitante?

Uma fábrica possui 3 linhas de produção de lâmpadas \( (A \), \( B \) e \( C ) \) que são responsáveis por \(15\%\), \(35\%\) e \(50\%\) da produção global. Suponha que a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa sabendo que foi produzida por cada uma dessas linhas de produção é 0.01, 0.05 e 0.02, respectivamente, para \(A\), \(B\) e \(C\).

1. Se for escolhida ao acaso uma lâmpada da produção global, qual é a probabilidade dessa lâmpada ser defeituosa?
2. Se uma lâmpada é considerada não defeituosa, qual é a probabilidade de ser proveniente da linha de produção \(A\)?

Um cadeia de lojas de equipamento de áudio e vídeo comercializa somente 3 marcas diferentes de gravadores de DVD. \( 50\%\) das vendas de gravadores de DVD dizem respeito à marca A, (a menos cara das três), \(30\%\) à marca B e \(20\%\) à marca C.

Os fabricantes de qualquer das três marcas oferecem garantia de dois anos. Mais, é sabido que \( 25\%\) dos gravadores da marca A requer reparação dentro da garantia, ao passo que as correspondentes percentagens são de \(20\%\) e \(10\%\) para as marcas B e C, respectivamente.

1. Obtenha a probabilidade de um cliente requerer reparação dentro do prazo de garantia do gravador que adquiriu.
2. Caso um cliente requeira uma reparação dentro do prazo de garantia, qual a probabilidade de ele não ter adquirido um gravador da marca A?

Numa fábrica existem três máquinas distintas ( \( A \), \(B \) e \( C \)) que produzem \(\textit{chips}\). Estas máquinas são responsáveis pela produção de \( 25\% \), \(35\% \) e \( 40\% \) dos \( \textit{chips} \), respectivamente. Assuma que \( 5\% \) dos \( \textit{chips} \) produzidos pela máquina \( A \) são defeituosos e que as correspondentes percentagens para as máquinas \( B \) e \( C \) são de \( 4\% \) e \( 2\% \), respectivamente.

1. Sabendo que um \( \textit{chip} \) não é defeituoso, qual é a probabilidade de ter sido produzido pela máquina \( A \) ?
2. Para um \( \textit{chip} \) seleccionado ao acaso, considere os seguintes eventos: ``\( \textit{chip} \) foi produzido pela máquina \( A \) e ``\( \textit{chip} \) é defeituoso.

Serão estes dois eventos independentes? Justifique.

Uma empresa de segurança classifica as habitações de uma zona residencial, relativamente ao risco de assalto, em três grupos distintos: elevado, médio ou baixo. O primeiro grupo engloba \( 20\% \) das habitações e o segundo \( 40\% \). De acordo com registos efectuados, sabe-se que: \( 30\% \) das habitações do primeiro grupo já foram assaltadas; \( 90\% \) das habitações do segundo grupo nunca foram assaltadas; e apenas \( 1\% \) das habitações do último grupo foram assaltadas.

1. Qual a percentagem de habitações já assaltadas nessa zona residencial?
2. Sabendo que uma habitação dessa zona residencial nunca foi assaltada, qual a probabilidade de pertencer ao segundo ou ao terceiro grupo?

As chamadas de telemóveis de determinada rede sem fios podem ser longas com probabilidade 0.4 ou curtas com probabilidade 0.6. O \( \textit{handoff} \) (ou \( \textit{handover} \) ) é o procedimento empregue em redes sem fio para tratar a transição de uma unidade móvel de uma célula para outra de forma transparente ao utilizador. Durante uma chamada longa, feita nessa rede, podem ocorrer zero \( \textit{handoffs} \), um \( \textit{handoff} \) ou pelo menos dois \( \textit{handoffs} \), com probabilidades 0.25, 0.25 e 0.5, respectivamente; mas se uma chamada é curta, as ocorrências de zero, um ou pelo menos dois \( \textit{handoffs} \) possuem probabilidades \( \frac{2}{3} \), \( \frac{1}{6} \) e \( \frac{1}{6} \), respectivamente.

1. Qual a probabilidade de não ocorrer \( \textit{handoff} \) durante uma chamada nessa rede?
2. Calcule a probabilidade de uma chamada ser longa, sabendo que durante essa chamada ocorreram pelo menos dois \( \textit{handoffs}\).

Variáveis aleatórias

Distribuições conjuntas e complementos

Estatística

Amostragem e estimação pontual

Estimação por intervalos

Testes de hipóteses

Regressão linear simples