Cesto de fruta na plataforma

\item Sobre uma plataforma circular, na horizontal, rodando com velocidade

 angular de 1 volta em 2 segundos, coloca-se um cesto de \SI{10}{cm} de raio
 e com \SI{2}{kg} de maçãs a \SI{1,5}{m} do centro da plataforma e que passa 
 a rodar com a plataforma. Esta tem massa $M=\SI{50}{kg}$ e raio $R=\SI{2}{m}$. 
 O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é $I=M\,R^2/2\,$. 
 Considere que há atrito entre a plataforma e o cesto. \\
 Calcule a velocidade angular da plataforma depois de se colocar o cesto.
 \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
 }{
 \minisec{Resolução:}
 Podemos considerar o sistema plataforma+cesto isolado e, portanto, o momento
 angular total do sistema conserva-se. Este, antes do cesto ser colocado 
 na plataforma, é
 \[ \vec{L}_0 = I\vec{\omega}\,.\]
 Ao colocarmos o cesto sobre a plataforma o momento de inércia do sistema aumenta
 para um valor $I'$. Uma vez que o momento angular se conserva, a velocidade
 angular terá de diminuir para um valor $\omega'$, tal que
 \[ \vec{\omega}' = \frac{I}{I'}\vec{\omega}\]
 O problema reduz-se assim ao cálculo do momento de inércia do sistema plataforma+cesto.
 Esse momento de inércia é a soma do momento de inércia da plataforma
 em relação ao eixo central, que conhecemos, com o momento de inércia do cesto 
 em relação ao eixo central, $I_c$: $I' = I + I_c$. \\
 Uma vez que o cesto e a sua massa são pequenas em comparação com a da plataforma,
 podemos considerar o cesto pontual, com massa $m$ e um momento angular $mr^2\omega'$.
 Isto é, $I_c = m r^2$. Usando este valor em $I'$ e o valor indicado para $I$, obtemos

% Por sua vez, sabe-se que os momentos de inércia em relação a um eixo passando % no centro de massa e em relação a um eixo paralelo, A, ao primeiro e afastado % deste de uma distância $r$ estão relacionados por $I_A = I_{CM} + mr^2$. Aplicando % ao nosso caso, uma vez que o cesto é colocado a uma distância $r=\SI{1,5}{m}$ % do centro, vem $I_c = I_{CM}+mr^2$, onde $I_{CM}$ é o momento de inércia do % cesto de massa $m$. Admitamos que o cesto se pode representar como um pequeno % cilindro, de momento de inércia $I_{CM} = m r_c^2/2$. % Substituindo valores, obtemos % \[ \omega' = \frac{\omega}{1+2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2 % \left(1+\frac{r_c^2}{2r^2}\right)} \] % No entanto uma vez que $r_c \ll r$, podemos desprezar esta razão e escrever

 \[ \omega' = \left[1+2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^{-1}\omega \]
 por sua vez, como $m\ll M$ e $r<R$, usando a aproximação $(1+x)^a = 1+ax,\; x\ll 1$, 
 temos
 \[ \omega' \approx \left[1-2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] \omega\]
 Substituindo valores, obtemos
 \[ \omega' \approx 0,955\omega\,.\]
 Podemos ainda calcular a energia que é dissipada pelas forças de atrito quando 
 o cesto é colocado na plataforma. A conservação da energia permite-nos escrever
 \[ E_{R_0} = E_{R} + E_{\mathrm{atrito}} \]
 onde $E_{R_0}$ e $E_R$ são a energia cinética de rotação antes e depois da 
 colocação do cesto. Substituindo valores temos
 \begin{eqnarray*}
  E_{\mathrm{atrito}} &=& E_{R0} - E_{R} \\
  &=& \frac{1}{2}I\omega^2\left[1 - \left(1+\frac{I'}{I} \right)\left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^2 \right] \\
  &=& \frac{1}{2}I\omega^2\left[1-\frac{1}{1+\frac{mr^2}{I}}\right] \\
  &\approx& \frac{1}{2}I\omega^2\left[\frac{mr^2}{I}\right] \\
  &\approx& \frac{1}{2}m r^2\omega^2
 \end{eqnarray*}
 Note que este valor é equivalente à energia cinética de rotação de um anel 
 ($I_{\mathrm{anel}}=mr^2$) de raio $r$ e massa $m$. \\
 \rule{\linewidth}{1pt}
 }