Gamma

Introdução teórica

Nesta experiência vamos determinar a constante adiabática do ar. Esta constante é um conceito básico em termodinâmica e permite relacionar a variação da pressão com o volume dum gás onde só existe troca de trabalho com o exterior, ou seja não existem trocas de calor. Para tal vamos usar um método conhecido como Método de Ruchhardt o que, do ponto de vista experimental, irá implicar o estudo de uma grandeza com evolução oscilatória amortecida.

A experiência em casa

Esta experiência irá ser efetuada apenas com o recurso a um compudador com placa de som e uma seringa de vidro. É importante a seringa ser de vidro de modo a não ter atrito de escorregamento e poder oscilar quando percutido o seu êmbolo.

Material:

• Microfone
• Seringa de vidro (20 ml)
• Balança de precisão
• Paquimetro
• Balão de borracha ou película plástica

Software sugerido: Audacity

Pesa-se com rigôr o êmbolo da seringa e o seu diâmetro. De modo a obter melhores resultados lubrifica-se o embolo com a mina dum lápis H.

Para um determinado volume, veda-se a seringa na sua ponta recorrendo à película plástica ou a um vulgar balão. De seguida coloca-se a ponta da seringa junto ao microfone e grava-se o som produzido após a percursão do êmbolo com um breve toque duma borracha ou outro objeto análogo. Aquire-se com o software da placa de som (no nosso exemplo usamos o audacity) e determina-se a frequência própria de oscilação do sistema. Para esse efeito selecionamos a zona de interesse do audio e exportamos o canal esquerdo, normalmente o utilizado nas gravações mono, num formato de texto (.txt) (menu Analyze-> Sample data export).

(grafico audacity)

O ficheiro escrito contém os valores adquiridos pela placa de som, adquiridos a uma taxa de 44kHz, ou seja com um intervalo de 0,0227 ms entre amostras. Com base neste valor podemos reconstituir a base temporal da nossa amostra.

O grafico obtido no excel, após importarmos os dados, dará algo como a figura seguinte:

(oscilação do embolo)

Esta oscilação é amortecida no tempo pelo que o melhor ajuste é uma função função sinusoidal amortecida:

$$S(t)_{ajuste}=b_{offset} + a \cdot sen(2\pi \cdot (t-t_0)/T))\cdot exp(-t/\tau)$$

onde o ajuste dos parametros

$$b_{offset}, a, t_0, \tau$$ é efetuado recorrendo ao solver pela minimização da função de custo definida como

$$Custo = \sum \lvert {S(t)_{experimental} - S(t)_{ajuste} } \rvert$$

Esta função mede a soma das distâncias dos valores experimentais ao modelo teórico calculado para cada ponto do eixo das ordenadas, neste caso o tempo. Ao minimizar a função Custo estamos a ir ao encontro da melhor solução de valores que ajustam a função de ajuste teórico e permitenos extrair com grande exatidão o período de oscilação, necessário para o cálculo da constante adiabática pelo método de Ruchhardt.

A experiência no e-lab

(foto da montagem)

A montagem consiste numa seringa de vidro com 20ml de volume e electrónica de controlo.

(video em slow-mo)

Na sala de controlo podemos escolher o volume a usar. Quando a experiencia é iniciada é dado um pequeno impulso que inicia movimento oscilatório. Para este exemplo vamos usar a configuração por defeito. Quando a experiência corre, ob-temos uma tabela de resultados como esta.

Com as colunas relativas ao tempo desde que se iniciou a experiência e a pressão medida nesse instante (e respectivas incertezas experimentais). Ao fazer o gráfico X vs Y, obtemos esta imagem.

(gráfico dos dados raw)

Um físico é confrontado frequentemente com isto: um movimento oscilatório amortecido. A equação que caracteriza este tipo de movimento é

X = e ^(- gamma * t) a cos(omega * t - alpha) (justificar a equação aqui ou no texto?)

Vamos usar o software Fitteia para fazer o ajuste gráfico e obter o período.

(gráfico do ajuste)

Daqui obtemos o período do movimento, e usamos esse valor para obter \gamma.

A demonstração matemática do Método de Ruchhardt está disponível no texto da aula. Este é um método extremamente suscetível a erros no período e no raio (ou seja, um pequeno erro na determinação destas grandezas irá criar grandes desvi-os no valor de \gamma obtido). Isto significa que teremos que ser extra cuidadosos a determinar o período (por isso faze-mos o ajuste) e o raio deve ser medido com um paquímetro.

Últimas considerações

O êmbolo é “lubrificado” com grafite. Á medida que esta camada se vai gastando, o amortecimento torna-se mais pronunciado, e a fricção irá aquecer o ar dentro do embolo.

Para determinar o período, podíamos simplesmente medir a distância entre 2 picos no plot dos dados experimentais. No entanto isto criaria uma incerteza bastante grande. Por isso é que fazemos o ajuste do mov. osc. amortecido: para que seja este ajuste a dar-nos o valor do período. \gamma \prop 1/(r^4 T^2), é daqui que vem a sensibilidade na determinação destas grandezas