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<hr />
<div><big>Riscas espectrais e medição da constante de Planck</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivos do trabalho=<br />
Em física, a óptica ondulatória é o ramo da óptica que estuda fenómenos como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Interfer%C3%AAncia interferência], a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Difra%C3%A7%C3%A3o difracção], a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Polariza%C3%A7%C3%A3o_eletromagn%C3%A9tica polarização], a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dispers%C3%A3o_(f%C3%ADsica) dispersão] e outros fenómenos para os quais a aproximação de raios da [https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica_geom%C3%A9trica óptica geométrica] não é válida. <br />
<br />
Pretende-se com este trabalho investigar e fazer uso de várias propriedades da óptica ondulatória, nomeadamente da separação angular das riscas de emissão de lâmpadas espectrais. Utilizando um goniómetro, iremos proceder à medição dos ângulos de refracção de um prisma e de difracção de uma rede, em função do comprimento de onda. A separação das riscas espectrais será também usada para verificar o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico] e obter uma medição da [https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck constante de Planck].<br />
<br />
Como objetivo associado, pretende-se tomar conhecimento e aprender a manusear e a realizar medidas correctamente com um instrumento óptico de precisão, o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Goni%C3%B4metro ''goniómetro'']. Este instrumento permite medir ângulos de desvio, por reflexão ou refracção de feixes de raios paralelos, com uma resolução inferior a um minuto de grau.<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Desvio da luz por um prisma==<br />
[[file:ES-prisma-vidro.png|thumb|upright=1 |Prisma de vidro.]]<br />
Em óptica designa-se por [https://pt.wikipedia.org/wiki/Prisma ''prisma''] um sólido transparente em forma de prisma triangular, homogéneo e isotrópico, caracterizado pelo ângulo do vértice \(\alpha\) e pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Refra%C3%A7%C3%A3o índice de refração] \(n\). Quando colocado no percurso de um feixe luminoso incidente, o prisma produz um desvio angular no feixe emergente que depende do ângulo de incidência e do comprimento de onda \(\lambda\) (Fig. 1). Na região da luz visível, verifica-se que os comprimentos de onda mais curtos são mais desviados, ou seja, a luz violeta é mais desviada que a luz vermelha.<br />
<br />
A Fig. 2 mostra este processo em maior detalhe. Um raio luminoso (traço vermelho contínuo) incide na face esquerda do prisma segundo um ângulo \(i_1\) (em relação à normal à superfície) e é refractado internamente segundo um ângulo \(t_1\). Após se propagar dentro do prisma, o raio incide na face direita segundo um ângulo \(i_2\) e é refractado para o exterior segundo um ângulo \(t_2\). <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |À diferença entre a direcção original e a desviada chamamos ''desvio angular'' \(\delta(\lambda)\).<br />
|}<br />
<br />
Pode provar-se que a função \(\delta(\lambda)\) apresenta um ponto estacionário (i.e., derivada nula) que é um mínimo se \(n > 1\). Mostra-se também que, nessa situação, as direções dos dois feixes são igualmente inclinadas em relação às faces do prisma, i.e. o ângulo de incidência \(i_1\) é igual ao ângulo de transmissão emergente \(t_2\). Nesse caso, o índice de refração, \(n\), pode ser calculado simplesmente através da expressão seguinte: <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>n= \frac{\sin \left( \frac{\alpha+ \delta_{min}}{2} \right) } {\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right)}</math><br />
|}<br />
<br />
em que \(\alpha\) e \(\delta_{min}\) são o ângulo do vértice do prisma e o ''ângulo de desvio mínimo'' referido, respectivamente. Uma vez que o índice de refracção depende do comprimento de onda \(\lambda\), podemos concluir que também o valor de \(\delta_{min}\) vai depender deste parâmetro: diferentes cores vão apresentar diferentes desvios mínimos. Este princípio permite, através da medição do desvio mínimo \(\delta_{min}(\lambda)\) para vários comprimentos de onda, determinar por ajuste a variação do índice de refracção \(n(\lambda)\) do material do prisma.<br />
<br />
{|<br />
| [[file:ES-prisma1.png|thumb|upright=1.35 |Fig. 1 - Desvio da luz por um prisma: um feixe de luz branca é desviado da sua direcção original de um ângulo que depende do ângulo de incidência e do comprimento de onda.]] || [[file:ES-prisma2.png|thumb|upright=1 |Fig. 2 - Definição de ângulo de desvio \(\delta(\lambda)\). A luz viaja da esquerda para a direita através de um prisma de índice de refracção \(n(\lambda)\) e ângulo de vértice \(\alpha\).]] <br />
|}<br />
<br />
==Rede de difracção==<br />
[[file:ES-rede-difraccao.png|thumb|upright=0.5 |Rede de difracção.]]<br />
Uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Difra%C3%A7%C3%A3o#Redes_de_difra%C3%A7%C3%A3o rede de difracção] é um componente óptico com uma estrutura microscópica periódica – por exemplo, pode ser composto por fendas paralelas (linhas) com espaçamentos da ordem do micrómetro. Caracteriza-se a rede pelo número \(N\) de linhas por mm, que é assim da ordem de várias centenas, ou mesmo superior. <br />
<br />
Tal como o prisma, a rede tem a propriedade de desviar a luz incidente em função do ângulo de incidência e do comprimento de onda \(\lambda\), só que duma forma muito mais apreciável. Um raio de luz de c.d.o. \(\lambda\) que incida com um ângulo \(\theta_i\) (relativamente à normal) numa rede de difracção com \(N\) linhas/mm é difractado segundo um ângulo \(\theta_d\), de acordo com<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\sin \theta_i+\sin\theta_d=m \lambda N</math><br />
|}<br />
<br />
em que \(m\) é a ''ordem de difracção''. A Fig. 3 ilustra a difracção para o caso em que o ângulo de incidência é nulo, isto é, o feixe incide segundo a normal à superfície. O feixe central, não desviado, é considerado como \(m=0\), enquanto que à esquerda e direita surgem simetricamente as ordens \(m=\pm 1, \pm 2\), etc., cada vez menos intensas.<br />
<br />
<br />
{|<br />
| [[file:ES-rede1.png|thumb|upright=1 |Fig. 3 - Desvio da luz por uma rede de difracção, com o surgimento de ordens de difracção.]]<br />
|}<br />
<br />
=Goniómetro de Babinet=<br />
[[file:ES-goniometer.png|thumb|upright=1 |Fig. 4 - Goniómetro de Babinet.]]<br />
O goniómetro é um instrumento que permite medir ângulos com grande precisão, e muito utilizado em óptica. O goniómetro de Babinet tem uma base central quase cilíndrica com uma plataforma que roda em torno do eixo vertical daquela, na qual é colocado o elemento dispersor da luz (prisma ou a rede de difracção) (Fig. 4). <br />
<br />
[[file:ES-Babinet.png|thumb|upright=0.75 |Fig. 5 - Esquema do goniómetro. FL -- fonte luminosa, F -- fenda, Lc -- lente convergente, Pt -- plataforma, Esc -- escala fixa na base, NL -- nónio acoplado ao suporte da luneta, NP -- nónio acoplado ao suporte do prisma, Obj -- objetiva, Oc -- ocular, Ret -- retículo.]]<br />
O goniómetro vem equipado com dois elementos ópticos: um ''colimador'' e uma ''luneta''. Ambos estão montados radialmente, o colimador fixo e a luneta podendo rodar em torno do eixo da base (Fig. 5). As posições angulares da plataforma (e, portanto, do prisma ou da rede) e da luneta podem ser lidas num limbo graduado por intermédio de nónios solidários, respetivamente com a plataforma e a luneta. Existem dois parafusos micrométricos, cada um associado a cada um dos nónios, que permitem regular e fazer leituras das posições angulares, com resolução de \(30^{\prime\prime}\) (meio minuto de grau).<br />
<br />
O ‘’colimador’’ é constituído por dois tubos cilíndricos concêntricos que se podem deslocar axialmente. Um deles possui uma fenda rectilínea, de largura variável por um parafuso, e que deve ser colocada na vertical (pode utilizar a mira da ocular depois de regulada) e encostada à fonte luminosa. O outro tubo tem no extremo oposto (virado para a plataforma) uma lente convergente, \(L_C\). O objectivo deste conjunto é produzir um feixe de raios paralelos na região da plataforma onde se coloca o prisma, rede, ou espelho. A fenda, se for relativamente estreita, vai funcionar como objecto linear e dar origem às riscas observadas.<br />
<br />
A luneta é constituída por dois elementos ópticos, uma lente convergente e uma ocular munida de retículo (dois fios cruzados perpendicularmente). A primeira lente produz no seu plano focal a imagem intermédia da fenda, que é projectada no plano do retículo e ampliada pela ocular. A ocular é regulada pelo observador, de modo a ver uma imagem focada da fenda.<br />
<br />
==Leitura de valores no goniómetro==<br />
O goniómetro tem uma escala central, fixa e solidária com a base, com valores entre 0\(^\circ\) e 360\(^\circ\). Entre cada grau há três divisões, ou seja, a escala está dividida em intervalos de 1/3 grau = 20 minutos de arco (20') (Fig. 6). Existem duas escalas rotativas, ambas com um nónio: <br />
* A '''escala de baixo''' está acoplada à '''luneta''' e permite ler o '''ângulo de desvio'''<br />
* A '''escala de cima''' está acoplada ao '''suporte''' e permite ler o '''ângulo de incidência'''<br />
Ambas as escalas móveis estão equipadas com nónios de 40 divisões, aumentando assim a precisão da leitura para 20'/40=0.5', ou seja, 30 segundos de arco. O uso desta precisão é facultativo nas medições feitas com a rede (dada a amplitude dos ângulos de desvio) mas é obrigatório para medições com o prisma.<br />
<br />
É importante perceber que, num goniómetro, os ângulos lidos são relativos e não absolutos: <br />
* o valor lido na escala de cima (ângulo de incidência) é arbitrário, uma vez que o suporte pode estar numa posição angular qualquer quando se posiciona o prisma / a rede. A única situação em que é relevante medir este ângulo é na determinação de ângulos de desvio em torno da configuração de desvio mínimo (ver abaixo)<br />
* o valor lido na escala de baixo (ângulo de desvio) é medido relativamente à direcção do feixe de quando não sofre desvio, isto é, quando não está nenhum elemento na plataforma.<br />
<br />
O procedimento para ler um dado valor usando o(s) nónio(s) é semelhante ao usado na craveira (Fig. 7). Começa-se por ler na escala fixa, com a maior precisão possível, o valor imediatamente à esquerda da linha do zero do nónio. A esse valor acrescenta-se o valor indicado pela divisão cuja linha coincide em ambas as escalas. Por exemplo, no caso desta figura temos:<br />
*Leitura da escala fixa: \(123^\circ+40'\)<br />
*Leitura da escala do nónio: \(6,5^{\prime}\) (ou \(6^{\prime}30^{\prime\prime}\))<br />
*Valor da leitura: \(123^\circ 46,5'\) (\(123^\circ 46^{\prime}30^{\prime\prime}\))<br />
Dado o tamanho diminuto destas divisões, é aconselhável fazer a leitura com o auxílio de uma lupa, ou registar a leitura através de fotografia digital (Fig. 8).<br />
<br />
{|<br />
| [[file:ES-gonio-nonio1.png|thumb|upright=0.9 |Fig. 6 - Escala fixa (menor divisão: 20') e escala rotativa, com nónio, do goniómetro.]] || [[file:ES-gonio-nonio2.png|thumb|upright=0.75 |Fig. 7 - Exemplo de leitura no goniómetro. ]] || [[file:ES-gonio-lente.png|thumb|upright=0.5 |Fig. 8 - Registo em fotografia digital auxiliado por lente da leitura do goniómetro.]]<br />
|}<br />
<br />
[[file:ES-Babinet3.png|thumb|upright=0.75 |Fig. 9 - Identificação dos diversos ângulos na refracção da luz por um prisma.]]<br />
<br />
Por outro lado, o valor que é lido nas duas escalas do goniómetro – escala da plataforma e escala da luneta – não coincide necessariamente com o ângulo de incidência ou o ângulo de desvio, respectivamente, o que pode levar a confusão no registo dos valores. A Fig. 9 ilustra esta situação para o caso da refracção no prisma. Por uma questão de consistência, iremos utilizar a seguinte convenção:<br />
<br />
* Os ângulos de incidência e transmissão nos componentes ópticos, relativamente às suas superfícies, são designados \(\theta_i\) e \(\theta_t\) respectivamente<br />
* Os ângulos lidos na escala da plataforma e na escala da luneta são designados \(\phi_i\) e \(\phi_t\) respectivamente; <br />
* O ângulo lido na escala da luneta na ausência de componente óptico é \(\phi_{i0}\); nessa configuração a luneta encontra-se perfeitamente alinhada com o colimador<br />
<br />
De novo considerando a Fig. 9, para o caso do prisma pode deduzir-se a seguinte relação entre \(\phi_{i0}\), \(\phi_t\) e o ângulo de desvio:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\delta=|\phi_{i0}-\phi_t|</math><br />
|}<br />
<br />
=Efeito fotoeléctrico=<br />
[[file:ES-pe-effect.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 10 - Ilustração do efeito fotoeléctrico.]]<br />
O efeito fotoeléctrico era já conhecido no final do séc. XIX, com a emissão de partículas carregadas da superfície de um metal quando iluminadas por luz intensa. Verificou-se também que a energia destas partículas, que mais tarde foram identificadas como electrões, não dependia da intensidade da luz incidente mas sim do seu comprimento de onda \(\lambda\). A explicação correcta do efeito fotoeléctrico foi proposta em 1905 por [https://pt.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein Albert Einstein]<ref>Pela qual recebeu o Prémio Nobel da Física em 1921.</ref> baseada na teoria de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Max_Planck Max Planck]<ref>Teoria Quântica da luz, pela qual recebeu o prémio Nobel em 1918.</ref> da emissão-absorção da luz. Para ambos, a luz seria formada pela emissão de corpúsculos (''quanta''), que se designaram ''fotões'', cada um com energia \(E\) dada por <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = h \nu</math><br />
|}<br />
em que \(h=6,626\,070\,15\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}\) é apropriadamente a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck ''constante de Planck''] e \(\nu\) a frequência da luz (\(\nu=c/\lambda\)). De acordo com esta [https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_corpuscular_da_luz teoria corpuscular da luz], quando um fotão incide sobre a superfície de um metal é absorvido por um átomo, e a sua energia é depositada num dos electrões de valência.<br />
Se o fotão incidente tiver mais energia que um dado limiar (\(W_0\) – ''Work function'', ou seja, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trabalho função trabalho]}, característica de cada metal), o electrão é libertado da rede metálica e emitido do sólido com uma energia cinética <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>K_e = h\nu - W_0.</math><br />
|}<br />
A intensidade da luz determina assim o ''número de fotolectrões'' emitidos, mas não a sua energia!<br />
<br />
A Fig. 10 representa esquematicamente o efeito. Os fotões incidentes, de energia \(h\nu\), libertam electrões próximos da superfície do sólido. Note-se que se a energia do fotão incidente não for suficiente (i.e. se \(E_f < W_0\)) não há emissão de fotoelectrões.<br />
<br />
A constante de Planck pode ser determinada expondo a superfície de um metal a luz monocromática, caracterizada por um comprimento de onda \(\lambda=c /\nu\) fixo e medindo a energia cinética máxima dos fotoelectrões emitidos. A Fig. 11 representa esquematicamente uma montagem experimental para a realização desta experiência. O método de medição é o seguinte:<br />
<br />
[[file:ES-planck_exp.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 11 - Diagrama esquemático da experiência do efeito fotoeléctrico. V - fonte de tensão (potencial retardador); C - condensador; K - cátodo; A - ânodo; F - filtro óptico.]]<br />
[[file:ES-pe-graph.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 12 - Exemplo da determinação de \(h\) pelo efeito fotoeléctrico.]]<br />
<br />
* Um feixe de luz cuja frequência \(f\) é conhecida incide na superfície de um sólido metálico, designado ''cátodo'' (K), através de um ''ânodo'' (A) anelar ou transparente. Como cátodo, é normalmente utilizado um metal alcalino (potássio, sódio ou cádmio) pois neste caso os electrões de valência estão fracamente ligados ao núcleo (i.e. têm uma baixa função trabalho \(W_0\)). Como ânodo, utiliza-se por exemplo a platina (Pt). <br />
* O ânodo recebe parte dos fotoelectrões emitidos, dando origem a uma corrente \(I_f\) no circuito exterior. <br />
* Se aplicarmos um potencial eléctrico retardador \(V\) entre o ânodo e o cátodo a fotocorrente decresce, pois os fotoelectrões terão de vencer uma barreira de potencial electrostática \(U=e V\), onde \(e\) é a carga do electrão.<br />
* Para uma dada tensão crítica \(V_s\) (''potencial de paragem''), deixa de existir fotocorrente. <br />
<br />
Experimentalmente, pode usar-se uma fonte de tensão externa para aplicar o potencial de paragem. Mais simplesmente, pode usar-se um condensador para acumular a carga (\(q=C V\)) transportada pela própria corrente dos fotoelectrões (Fig. 11), aumentando gradualmente a diferença de potencial \(V\), até se atingir o valor \(V_s\), para o qual a corrente é auto-eliminada. Mas neste caso, é necessário utilizar um voltímetro de impedância de entrada muito elevada (\(> 10\textrm{ M}\Omega\)) ou um amplificador electrónico de instrumentação, que é o caso da nossa montagem experimental. Após medir o potencial de paragem, podemos assim escrever:<ref>Na realidade a função de trabalho tem de ser corrigida pelo potencial de contacto entre os dois metais, \(W=W_0 - \phi\), o que naturalmente não é importante para a determinação da constante de proporcionalidade.</ref><br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>e\,V_s= K_e^{max}= h \nu - W_O</math><br />
|}<br />
<br />
Medindo o potencial de paragem sucessivamente para luz incidente de várias frequências, podemos então fazer o gráfico de \(V_s\) vs. \(\nu\). Este gráfico deverá aproximar-se de uma recta de declive \(h/e\) e ordenada na origem \(-W_0/e\) (ver exemplo na Fig. 12).<br />
<br />
<br />
<br />
Desde a redefinição do [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades Sistema Internacional de Unidades] de 2019, a constante \(h\) é definida como tendo um valor exacto: \(h=6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \textrm{J}\cdot \textrm{s}\) ou, em unidades de [https://pt.wikipedia.org/wiki/El%C3%A9tron-volt electrão-volt], \(h=4.135\,667\,696\times 10^{-15}\,\textrm{eV}\cdot\textrm{s}\). No âmbito do SI, a constante de Planck é usada na definição do quilograma.<br />
<br />
==Figuras dos aparelhos da montagem experimental==<br />
<br />
{| <br />
| [[file:ES-planckPasco.png|thumb|upright=0.55|Fig. 13 - Montagem experimental do efeito fotoeléctrico – esquema]] || [[file:ES-Planck_setup.png|thumb|upright=1.0|Fig. 14 - Montagem experimental do efeito fotoeléctrico – fotografia.]]<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas. <br />
<br />
==Goniómetro==<br />
<br />
===Material utilizado===<br />
<br />
* goniómetro<br />
* fonte de luz incandescente (candeeiro)<br />
* luz espectral de Hg, He ou NA (ver [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/$IP/images/b/b9/ES-lampadas-espectrais.pdf documento com principais linhas de emissão])<br />
* prisma<br />
* rede de difração<br />
* nível graduado<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:UV-Hazard.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de lâmpadas espectrais. Estas lâmpadas são uma fonte de radiação ultravioleta, que tem efeitos nocivos nos olhos e na pele. Apesar das lâmpadas existentes no laboratório terem uma potência de emissão relativamente baixa, deve-se evitar a exposição desnecessária ou a observação directa e prolongada da sua luz. Em caso de dúvida, chame o docente.<br />
|}<br />
<br />
===Alinhamento do goniómetro===<br />
O alinhamento inicial do goniómetro é essencial para conseguir visualizar riscas correctamente, pelo que deve assegurar-se de que não omite nenhum dos passos abaixo. Se mesmo assim não consiga observar riscas, chame o docente.<br />
# Disponha o goniómetro em frente a uma fonte luminosa de luz incandescente. Entretanto, ligue também a fonte de luz espectral, de modo a permitir que se estabilize termicamente (10 a 15 minutos).<br />
# Comece por regular a ocular da luneta. Para isso, deve ver nitidamente com um olho os fios do retículo e simultaneamente com o outro olho ver um objecto no exterior da luneta, afastado a cerca de 30 cm. <br />
# Para regular a objectiva, observe agora um objecto no “infinito” (no laboratório, escolha um objecto o mais afastado possível) actuando sobre o parafuso da luneta. Regule de modo a observar o objecto e o retículo, bem focado e sem paralaxe. <br />
# Coloque a luneta alinhada de frente para o colimador e regule o parafuso deste, de modo a observar a fenda focada quando iluminada pela lâmpada espectral. <br />
# Com o nível de bolha, verifique a horizontalidade do goniómetro e da plataforma.<br />
# '''Muito importante''' – antes de começar as medições:<br />
#* Identifique as escalas dos ângulos usados para medir a orientação da plataforma e da luneta. Note que a escala de graus varia de 0\(^\circ\) a 360\(^\circ\) e depois recomeça, pelo que poderá ser necessário fazer a conversão adequada caso a gama de valores medidos contenha esta transição. <br />
#* Assegure-se de que compreende como estão relacionadas as duas escalas opostas e como funcionam os nónios. A leitura dos valores dos nónios é facilitada com o auxílio de uma lupa – use uma das lentes convergentes.<br />
<br />
===Rede de difracção===<br />
A variação do desvio angular com o c.d.o. é significativa no caso da rede de difracção, pelo que para esta medição basta usar a escala principal (em graus) do goniómetro.<br />
<br />
# <li value="7"> Antes de colocar a rede, comece por alinhar a luneta com o colimador e registe o valor do ângulo \(\phi_{t0}\) lido na escala da luneta.<br />
# Monte no centro da plataforma do goniómetro uma rede de difração de 600 linhas por milímetro, orientada com uma das faces de frente para o colimador, isto é, de modo a que o feixe incida o mais possível na perpendicular à superfície da rede.<br />
# Substitua a lâmpada incandescente pela fonte de luz espectral. Observe os raios difractados de várias cores, em 1.ª e 2.ª ordem. Meça e registe o ângulo de transmissão \(\phi_t\) de todas as riscas espectrais que conseguir observar, com a melhor precisão possível, à esquerda e à direita da ordem central \(m=0\).<br />
# Identifique os diversos comprimentos de onda e compare com os valores tabelados para a lâmpada espectral que está a utilizar. No final, retire a rede de difracção.<br />
<br />
===Prisma===<br />
A variação do desvio angular com o c.d.o. é muito ténue no caso do prisma, pelo que para esta medição é essencial recorrer à escala principal e ao nónio do goniómetro. <br />
<br />
# <li value="11"> Antes de colocar o prisma, volte a alinhar a luneta com o colimador e registe o valor do ângulo \(\phi_0\) lido na escala da luneta.<br />
# Rode a plataforma de modo a obter na respectiva escala a leitura \(\phi_i=0^\circ\).<br />
# Cuidadosamente, monte no centro da plataforma um prisma (de ângulo de vértice conhecido), orientado com uma das faces de frente para o colimador, isto é, de modo a que o feixe incida o mais possível na perpendicular à superfície do prisma.<br />
# Rode agora o prisma de modo a obter uma configuração semelhante à da Fig. 5, prestando atenção à orientação correcta do vértice e da direcção da luz refractada, que deverá ser visível mesmo sem o auxílio da luneta.<br />
# Na luneta, observe as várias cores refractadas. Se o instrumento estiver bem focado, deverá observar uma série de imagens coloridas da fenda (riscas verticais), uma por cada comprimento de onda. Escolha duas cores, bem afastadas. <br />
# Para uma das cores, rode suavemente a plataforma até encontrar a configuração para o qual se regista o desvio mínimo. Nessa posição, centre no retículo a risca observada e registe o valor de \(\phi_{i,min}\) (escala da plataforma), bem como o respectivo ângulo de transmissão \(\phi_{t,min}\) (escala da luneta).<br />
# Realize um conjunto de dez pares de leituras \((\phi_i,\phi_t)\): cinco para ângulos de incidência inferiores a \(\phi_{i,min}\) e cinco para ângulos de incidência superiores, preenchendo a tabela. Mais uma vez, note que para estas medições é essencial o uso do nónio em ambas as escalas.<br />
# Repita os pontos 17 e 18 para a risca da outra cor. <br />
# Para cada cor, elabore um gráfico dos ângulos de desvio \(\delta\) em função de \(\phi_i\) e anexe-os ao relatório. Deverá obter uma curva com um mínimo correspondente à geometria do ângulo de desvio mínimo.<ref>Ver exemplo de curva: https://www.desmos.com/calculator/0jkerecdx3</ref> Realize um ajuste polinomial e verifique que tanto o ângulo de desvio mínimo como a curva obtida são diferentes para cada cor.<br />
# Usando a primeira equação acima com \(\alpha=60^\circ\), determine o valor do índice de refracção para os dois c.d.o. que utilizou.<br />
<br />
==Efeito fotoeléctrico==<br />
===Parte I. Laboratório presencial===<br />
===Material utilizado===<br />
* Célula de Millikan acoplada a lâmpada espectral<br />
* Multímetro em modo tensão contínua (VDC)<br />
* Filtros amarelo e verde<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:UV-Hazard.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de lâmpadas espectrais. Estas lâmpadas são uma fonte de radiação ultravioleta, que tem efeitos nocivos nos olhos e na pele. Apesar das lâmpadas existentes no laboratório terem uma potência de emissão relativamente baixa, deve-se evitar a exposição desnecessária ou a observação directa e prolongada da sua luz. Em caso de dúvida, chame o docente.<br />
|}<br />
<br />
# Ligue a fonte da lâmpada de mercúrio e deixe estabilizar durante cerca de 10 minutos.<br />
# Enquanto espera, teste as tensões de cada uma das duas pilhas do amplificador da célula fotovoltaica.<br />
# Monte os componentes tal como indicado na Fig. 13.<br />
# Regule o conjunto de lente + rede de difracção de modo a obter as riscas de cor bem focadas na zona do detector. Alinhe a montagem da fenda para que a célula esteja bem iluminada e centrada na risca.<br />
# O que observa depois da rede é uma ''figura de difracção''. Esta figura é simétrica (esquerda/direita) no que respeita às posições das riscas e das intensidades observadas? Quantas ordens de difracção consegue identificar?<br />
# Para cada uma das riscas (cores) pressione o botão de RESET e depois registe o valor da tensão de paragem \(V_s\). Faça três medidas para cada risca. Note que para as riscas amarela e verde é necessário utilizar os respectivos filtros coloridos.<br />
# A tabela abaixo lista as riscas observáveis do espectro da lâmpada de Hg (Fig. 15). No material de apoio de LIFE pode encontrar informação sobre as [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/$IP/images/b/b9/ES-lampadas-espectrais.pdf principais riscas espectrais deste e de outros elementos].<br />
[[file:ES-mercurylamps.png|thumb|upright=1|Fig. 15 - Espectro da lâmpada de mercúrio.]]<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Espectro da lâmpada de Hg<br />
|-<br />
! Cor !! Freq. [THz] !! \(\lambda\) [nm]<br />
|-<br />
| Amarelo || 518.672 || 578<br />
|-<br />
| Verde || 548.996 || 546.074<br />
|-<br />
| Azul || 687.858 || 435.835<br />
|-<br />
| Violeta || 740.858 || 404.656<br />
|-<br />
| U.V. || 820.264 || 365.483<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
===Determinação da recta de ajuste===<br />
'''Ajuste manual''' – Usando o quadriculado disponibilizado, faça o gráfico de \(V_s\) em função da frequência \(\nu\). Escolha os eixos adequadamente e complete o gráfico (com título, unidades, escala, marcas, etc.). Deverá tentar aproveitar ao máximo a área útil da folha, de modo a minimizar as incertezas. Com uma régua, tente ajustar uma recta \((y=mx + b)\) aos pontos experimentais e determine o seu declive, a abcissa na origem (a.o.) e a suas incertezas. Consulte o ‘‘Material de apoio} de LIFE para este procedimento.<br />
<br />
'''Ajuste através de software''' -- Faça o ajuste numérico com o auxílio de software adequado (''Fitteia''}, calculadora gráfica, Gnuplot, etc.) <br />
<br />
<br />
===Parte II. Laboratório remoto===<br />
[[file:tau-planck.png|thumb|upright=1 |Fig. 16 - Procedimento para obter o tempo de carga característico \(\tau\).]]<br />
O laboratório remoto ''e-lab'' permite obter o potencial de paragem para diferentes riscas e diferentes níveis de intensidade, permitindo ainda registar a variação da curva ao longo do tempo. Esta componente pode ser realizada a partir de um computador pessoal, não sendo necessário estar no laboratório.<br />
<br />
# Para realizar a experiência remota, ao [https://elab.vps.tecnico.ulisboa.pt:8000/execution/create/5/5 elab] e siga as instruções transmitidas no MOOC de LIFE.<br />
# Para seguir o protocolo experimental, aceda a [http://www.elab.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php http://www.elab.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php] e seleccione a experiência "Determinação da Constante de Planck". Realize as medições e análises descritas na secção "Protocolo".<br />
# Para a componente da determinação do tempo de carga característico \(\tau\), use o seguinte procedimento:<br />
#* Escolha uma única das cores disponíveis e adquira as curvas de carga para diferentes valores da intensidade (percentagens de atenuação)<br />
#* Note que o valor-limite da tensão de paragem não depende da intensidade, pelo que se deve assegurar de que este valor é coerente entre os diversos gráficos. Se necessário, aumente o tempo de aquisição.<br />
#* Para cada gráfico, trace duas rectas (ver Fig. 16): uma '''horizontal''', à altura do valor-limite da tensão de paragem; outra '''oblíqua''', com inclinação dada pelo declive da curva no instante inicial em que começa a convergir. Ignore qualquer flutuação ou pico que ocorra antes deste instante.<br />
#* O '''tempo de carga característico \(\tau\)''' corresponde ao intervalo entre (i) o instante inicial e (ii) o ponto em que as duas rectas se intersectam. Este valor depende da intensidade da luz incidente, razão pela qual deve ser determinado para diferentes intensidades (mas apenas para uma única frequência).<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://phet.colorado.edu/sims/html/bending-light/latest/bending-light_en.html Bending light] Simulador do desvio da luz por um prisma<br />
* [https://www.geogebra.org/m/aqabnwpy Goniometer - Minimum deviation] Simulador de dispersão da luz por um goniómetro, com observação do ângulo mínimo<br />
* [https://www.stefanelli.eng.br/en/download-goniometer-protractor-angle/ Download – Angle or Goniometer Protractor] Simulador de leitura de valores num goniómetro - escolher o ficheiro ''Goniometer with vernier and resolution 5 ‘''<br />
* [https://phet.colorado.edu/en/simulations/photoelectric Photoelectric Effect] Simulador de efeito fotoeléctrico<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nT_F-F2xAKI (Vídeo) Goniómetro e ângulo de desvio mínimo] 30:00 - descrição geral da montagem; 35:00 - colocação do prisma; 59:00 - leitura da escala</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6372Experiência de Millikan2026-03-09T08:19:39Z<p>Ist23437: /* Tratamento de dados */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || 6,00±0,05 mm || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccffcc;"<br />
| '''Atenção:''' A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
* caso não consiga ver gotas com qualidade suficiente, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Para a incerteza desta medição, pode considerar o tempo de reacção do observador.<ref>Para uma estimativa do tempo de reacção, pode usar ferramentas online, por exemplo [https://humanbenchmark.com/tests/reactiontime Human Benchmark Reaction Time].</ref> Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, que deverá ser o majorante entre (i) o maior dos desvios ao valor médio e (ii) a maior das incertezas individuais.</li><br />
<li> Use os valores obtidos para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = |x_i - n_i|.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente (i) os valores <math>x_i</math> e os (ii) residuais, ambos em função do índice da medição <math>n_i</math>, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=%C3%93ptica_Geom%C3%A9trica&diff=6371Óptica Geométrica2026-03-02T10:48:15Z<p>Ist23437: /* Face plana */</p>
<hr />
<div><big>Construções geométricas em lentes delgadas</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivos do trabalho=<br />
<br />
Pretende-se estudar vários aspectos da luz do ponto de vista da [https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica_geom%C3%A9trica óptica geométrica], tais como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Reflex%C3%A3o_(f%C3%ADsica) reflexão] e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Refra%C3%A7%C3%A3o refracção] entre meios, a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Polariza%C3%A7%C3%A3o_eletromagn%C3%A9tica polarização], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lente lentes delgadas] e associações de lentes. Iremos estudar a formação de imagens reais e virtuais, verificar como estas dependem das distâncias envolvidas no sistema óptico, e testar um microscópio composto.<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Traçado de raios==<br />
A óptica geométrica, ou óptica de raios, é uma abordagem que consiste em descrever a propagação da luz através de raios. Um raio é um modelo simplificado, na forma de uma linha, que descreve o caminho percorrido pela luz entre duas superfícies. Para descrever a propagação de um feixe de luz através de um sistema, utilizamos um conjunto de raios, que se propagam utilizando o método do [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ray_tracing_(f%C3%ADsica) traçado de raios].<br />
Este método é suficiente para explicar fenómenos como a reflexão e a refracção da luz e é particularmente útil na descrição de sistemas e instrumentos ópticos, sendo válida desde que as dimensões dos objectos envolvidos sejam muito maiores que o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Comprimento_de_onda comprimento de onda] da luz visível (\(\sim\)0,4 \(\mu\)m a 0,7 \(\mu\)m).<br />
<br />
O comportamento dos raios obedece a algumas regras simples:<br />
[[file:OG-snell.png|thumb|upright=0.5 |Raio reflectido e refractado na fronteira entre dois meios. |Fig. 1 - Raio reflectido e refractado na fronteira entre dois meios.]]<br />
{| class="wikitable"<br />
|<br />
# Num meio uniforme, como o ar ou um vidro, um raio é uma linha recta;<br />
# Um meio óptico é definido por uma grandeza \(n\geq1\), chamada índice de refracção;<br />
# Na fronteira entre dois meios, um raio é reflectido e/ou refractado, verificando-se (ver Fig. 1):<br />
#* o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência<br />
#* o ângulo de refracção \(\theta_r\) e o ângulo de incidência \(\theta_i\) (medidos relativamente à normal à superfície) obedecem à [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Snell Lei de Snell-Descartes], em que \(n_i\)e \(n_r\)são respectivamente os índices de refracção do meio de incidência e do meio de refracção: <br />
<center>\(n_i\sin{\theta_i}=n_r\sin{\theta_r}\)</center><br />
|}<br />
<br />
[[file:OG-brewster.png|thumb|upright=0.5 |Fig. 2 - Reflectividade vs. ângulo de incidência e direcção de polarização (esq.) e geometria para ângulo de Brewster (dir.).]]<br />
<br />
[[file:OG-pol-luz.png|thumb|upright=0.5 |Fig. 3(a) - Obtenção de luz polarizada através de um filtro polarizador.]]<br />
<br />
[[file:Polarizadores.png|thumb|upright=0.5 |Fig. 3(b) - Efeito de dois polarizadores colocados em cima de um écrã de computador.]]<br />
==Reflexão, refracção e polarização==<br />
<br />
A eficiência com que um feixe luminoso é reflectido ou refractado numa fronteira entre dois meios de índices de refracção \(n_1\)e \(n_2\) depende, entre outros, do ângulo de incidência e da polarização da luz. A Fig. 2 mostra como varia a reflectividade de uma superfície de vidro em função do ângulo de incidência, para polarizações horizontal e vertical (admitindo que o plano de incidência e reflexão é horizontal). Para um ângulo específico, designado [https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_de_Brewster ângulo de Brewster] e dado por \(\theta_B=\arctan(n_2/n_1)\), a componente horizontal da polarização não é reflectida, pelo que a luz reflectida fica com polarização vertical. Esta é uma forma de criar luz polarizada a partir de uma fonte não-polarizada. A figura ilustra também a geometria dos raios luminosos numa separação entre dois meios, no caso de incidência em ângulo de Brewster. Como se pode apreciar, nessa configuração o raio reflectido e o raio refractado fazem entre si um ângulo de 90\(^\circ\).<br />
<br />
Pode-se polarizar a luz emitida por uma fonte não-polarizada através de um simples [https://pt.wikipedia.org/wiki/Filtro_polarizador filtro polarizador] (ou ''polaroide''). Orientando o ângulo do filtro relativamente à direcção dos raios luminosos, é possível definir a direcção de polarização. Por exemplo, no caso da Fig. 3(a) a luz obtida é polarizada verticalmente.<br />
<br />
Quando se coloca um polarizador no caminho de luz já polarizada, a intensidade da luz que passa depende do ângulo entre o ''eixo do polarizador'' e a direcção de polarização da luz. A Fig. 3(b) mostra o efeito de dois polarizadores colocados em cima do écrã de um computador (o fundo branco da imagem). Normalmente, por uma questão de melhorar a visibilidade, os écrans de computador de tipo LCD ou OLED emitem luz polarizada verticalmente. Assim, quando o eixo do polarizador (direcção 0\(^\circ\)-180\(^\circ\)) também está vertical (esquerda), a quantidade de luz transmitida é máxima. Quando esse eixo está na horizontal (direita), a quantidade de luz transmitida é mínima.<br />
<br />
= Construções geométricas em lentes delgadas=<br />
<br />
Para garantir que compreende adequadamente as secções seguintes, leia antes o documento de apoio [[Óptica geométrica e lentes]].<br />
<br />
=Instrumentos ópticos=<br />
Um instrumento óptico é um dispositivo baseado nos princípios da óptica cujo objectivo é auxiliar a visão humana. Nestes sistemas, designamos por ''objectiva'' a lente que está do lado do objeto AB e por ''ocular'' aquela que está do lado do observador, com distâncias focais \(f_{obj}\) e \(f_{ocu}\) respetivamente. Em ambos os casos, a ocular está próxima da ''imagem intermédia'' A'B' formada pela objectiva. Sendo a distância inferior à distância focal \(f_{ocu}\), a imagem final será ''virtual'', ou seja, visível apenas através da lente.<br />
Assim, o papel da ocular consiste em ampliar a imagem intermédia, tal como uma lupa amplia um objeto.<br />
<br />
==O olho humano==<br />
Vamos primeiro abordar a fisiologia do olho humano (Fig. 17) para compreender as suas limitações. Este pode ser considerado como um sistema óptico que projecta imagens (reais) dos objectos exteriores na retina, através de duas lentes convergentes: a córnea e o cristalino. Para o nosso estudo, vamos considerar que estas lentes são substituídas por um sistema equivalente constituído por uma única lente, com o máximo de distância focal \(f\) igual a 2,5 cm, que é a média da distância entre a córnea e a retina. A potência em dioptrias (dt) desta lente equivalente é dada por:<br />
<br />
<math display=“block”><br />
D=\frac{1}{f} \,[\mathrm{m}^{-1}] = \frac{1}{0,025} \,[\mathrm{m}^{-1}] = 40 \,[\mathrm{m}^{-1}]=40\, \mathrm{dt}.<br />
</math><br />
<br />
[[file:OG-olho-1.png|thumb|upright=0.5 |Fig. 17 - Diagrama dos principais elementos do olho humano.]]<br />
<br />
Para uma pessoa com visão normal ou munida de correção adequada (óculos graduados ou lentes de contacto), os raios ópticos provenientes de um objecto no infinito<ref>Para efeitos práticos, considera-se o infinito óptico qualquer distância superior a 5 m.</ref> chegam paralelos ao olho e são focados na retina sem necessidade de esforço, ou seja, com o olho relaxado (Fig. 18 à esq.). À medida que o objecto se aproxima do olho, é necessário os músculos ciliares aumentarem a curvatura da lente para criar uma imagem focada na retina - a isto chama-se ''acomodação do olho''. O ponto mais próximo do olho para o qual a lente ainda consegue focar a imagem na retina é designado por ''ponto próximo'' (Fig. 18 à dir.) e considera-se igual a 0,25 m para uma visão normal padrão, valor que tem tendência a aumentar com a idade.<br />
<br />
[[file:OG-olho-2.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 18 - Esquema do olho no caso de objectos no infinito (esq.) e no ponto próximo (dir.).]]<br />
<br />
O tamanho aparente dum objecto é determinado pelo tamanho que a imagem apresenta na retina. Mesmo sem variar o tamanho real do objecto, este pode ser visto maior se o aproximarmos do olho, porque o tamanho da sua imagem na retina é maior. A avaliação do tamanho da imagem na retina pode ser feita através da medição do ângulo \(\theta\), que corresponde à inclinação dos raios principais do extremo da imagem (Fig. 19).<br />
<br />
[[file:OG-olho-3.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 19 - Formação de imagem na retina de um objecto de altura \(h\)a uma distância \(s\).]]<br />
<br />
Considere-se um objecto com altura \(h\) a uma distância \(s\) do olho. Para o objeto podemos escrever \(\tan\theta=h/s\). Para a imagem na retina, de altura \(y'\), vem \(\tan\theta = y'/\)(2,5 cm). Na aproximação paraxial, ou seja de ângulos pequenos, podemos usar \(\tan\theta \approx\theta\), e assim \(\theta\approx h/s=y'/\)(2,5 cm). Desta relação conclui-se que \(y'\) é proporcional a \(h\), tamanho do objecto, e inversamente proporcional à distância \(s\) entre o objecto e o olho. <br />
<br />
O princípio dos instrumentos ópticos consiste no aumento do tamanho da imagem na retina, \(y'\), permitindo assim visualizar objectos muito pequenos ou afastados. Do exposto acima, podemos concluir que a sua operação baseia-se na criação de uma imagem (real ou virtual) com um tamanho aparente maior que \(h\) e/ou a uma distância aparente inferior a \(s\). Em qualquer dos casos, a imagem final produzida deverá estar situada além do ponto próximo, caso contrário não conseguirá ser focada.<br />
<br />
==Lupa==<br />
[[file:OG-olho-4.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 20 - Objecto no ponto próximo visto pelo olho desarmado.]]<br />
A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lupa lupa simples] é o instrumento óptico mais elementar. Consiste numa só lente convergente e permite aumentar o tamanho aparente do objecto, ou seja, o tamanho da imagem na retina. Sabendo que a maior imagem que se pode obter dum objecto com o olho desarmado é quando o objecto está no ponto próximo (Fig. 20), e dado que \(y'_0\), tamanho da imagem na retina, é proporcional ao ângulo definido entre a altura do objecto \(h_0\)e a sua distância ao olho, pode-se escrever a relação<br />
<br />
<math display=“block”><br />
\theta_0=h_0/0,25<br />
</math><br />
<br />
Na visão auxiliada pela lupa, esta é colocada perto do olho, e o objecto colocado a uma distância inferior ao foco. A imagem produzida pela lupa é virtual, ampliada e direita.<br />
<br />
== Ampliação angular==<br />
[[file:OG-olho-5.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 21 - Formação de imagem com o auxílio de uma lupa a uma distância \(b\)do olho. O objecto \(h_0\)está a uma distância \(d_O<f\)da lente, e a imagem (virtual) \(h'_a\)aparenta estar a uma distância \(d_i\)da lente e \(L\)do olho.]]<br />
A ''ampliação angular'' \(M_A\) dum instrumento óptico é determinada pela razão entre \(y'_a\), dimensão da imagem na retina quando o objecto é visto através do instrumento (Fig. 21), e \(y'_0\), dimensão da imagem na retina quando vista pelo olho desarmado e o objecto no ponto próximo. A razão entre os respectivos ângulos permite esse cálculo, isto é <br />
<br />
<math display=“block”><br />
M_A=\frac{y'_a}{y'_0}=\frac{\theta_a}{\theta_0}<br />
</math><br />
<br />
Tirando partido da aproximação paraxial, temos \(\tan\theta_a = h'_a / L \approx \theta_a\) e \(\tan\theta_0 = h_0 / 0,25 \approx\theta_0\), portanto pode-se escrever a ampliação angular como:<br />
<br />
<math display=“block”><br />
M_A = \frac{h'_a/L}{h_0/0,25}=-\frac{d_i\,0,25}{d_0 L}= \frac{0,25}{L}\left(1-\frac{d_i}{f}\right) <br />
</math><br />
<br />
onde na última igualdade se recorreu à equação dos focos conjugados. Como a distância à imagem é negativa, \(d_i = - (L – b)\), obtém-se por fim<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
| <math display=“block”><br />
M_A = \frac{0,25}{L}\left(1+\frac{L–b}{f}\right)<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
Da análise desta expressão pode-se dizer que a ampliação diminui se \(L\) ou \(b\) aumentam. Existem três casos particulares de ampliação:<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Caso !! Ampliação angular !! Interpretação<br />
|-<br />
| \(b=f\) || <center>\(M_A = \frac{0,25}{f}=0,25D\)</center> || O olho está à distância focal da lupa. \(D\) é a potência da lupa em dioptrias.<br />
|-<br />
| \(b=0\) || <center>\(M_A = 0,25\left(\frac{1}{L}+\frac{1}{f}\right)\)</center> || O olho está encostado à lupa. Se \(b=0\) e também \(L = 0,25\) m (valor mínimo para \(L\), uma vez que a imagem também deve poder ser focada correctamente pelo olho), então obtém-se para \(M_A\) o valor máximo, igual a \(M_A = 1+\frac{0,25}{f}= 1+0,25D\). Neste caso, a imagem aumentada surge à distância do ponto próximo.<br />
|-<br />
| \(d_O=f\) || <center>\(M_A = \lim_{L\to\infty}\frac{0,25}{L}\left(1+\frac{L–b}{f}\right)\)\(= \frac{0,25}{f}=0,25D\)</center> || O objecto é colocado no foco e a lupa forma a sua imagem no infinito \((L = \infty)\). Neste caso, o olho recebe raios paralelos e não necessita de fazer acomodação, o que é mais cómodo, e a ampliação apenas se reduz de uma unidade relativamente ao caso anterior.<br />
''Exemplo'': uma lente com \(D=10\) dioptrias tem uma distância focal \(f=10\) cm, e para \(L=\infty\) tem uma ampliação angular de \(M_A=\)2,5 vezes.<br />
|}<br />
<br />
==Microscópio composto==<br />
<br />
O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Microsc%C3%B3pio_%C3%B3ptico microscópio] é o instrumento óptico empregado para observar objectos pequenos, colocados muito próximos do instrumento. Na sua forma mais simples, consiste em duas lentes convergentes. A lente mais próxima do objecto ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Objetiva_(fotografia) objectiva]) tem uma distância focal \(f_{obj}\), menor que a distância focal \(f_{ocu}\) da lente mais perto do olho ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Ocular ocular]) (Fig. 22).<br />
<br />
[[file:OG-microscopio.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 22 - Formação de imagem num microscópio.]]<br />
<br />
Um objecto de altura \(h\) é colocado, em relação à objectiva, mais afastado do que o foco desta, produzindo uma imagem de tamanho \(h'\) que é real, invertida e maior que o objecto. A objectiva produz assim uma imagem com ''ampliação transversal linear'' \(M_T\),<ref>Conforme vimos atrás, para o caso de uma única lente esta ampliação é designada \(A\).</ref> dada por:<br />
<br />
<math display=“block”><br />
M_T=\frac{h'}{h} = -\frac{L\tan\theta}{f_{obj}\tan\theta}= -\frac{L}{f_{obj}}<br />
</math><br />
<br />
O sinal negativo indica que a imagem é invertida e, uma vez que é real, a imagem pode ser projectada sobre um alvo para se medir o seu tamanho.<br />
<br />
A lente ocular é usada para aumentar a imagem formada pela lente objectiva. Assim, a ocular é colocada de modo a que a imagem \(h'\) produzida pela objectiva (agora ''objecto virtual'' da segunda lente) venha localizar-se a uma distância ligeiramente inferior ao seu foco \(f_{ocu}\). Nesta condição, a ocular actua como uma simples lupa, que permite trazer o objecto \(h’\) para uma distância mais curta do que o ponto próximo (0,25 m), e produz a imagem \(h"\). A ''ampliação final'' \(M\) é dada pelo produto da ampliação transversal para a lente objectiva e a ampliação angular \(M_A\) obtida para a lente ocular. No caso da lente ocular estar encostada ao olho, como é habitual num microscópio, estamos no caso \(b=0\) e, das expressões anteriores para a ampliação linear e angular, obtemos<br />
<br />
<math display=“block”><br />
M = \frac{h''}{h}=M_T\times M_A<br />
</math><br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
==Material==<br />
Caixa de óptica equipada com<br />
* calha graduada<br />
* fonte luminosa com lâmpada de incandescência linear<br />
* lentes convergentes e divergente<br />
* semi-cilindro de vidro acrílico<br />
* diafragmas de fendas lineares (fenda única e fendas múltiplas)<br />
* polaroides<br />
* suportes<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas. <br />
<br />
<br />
== Determinação do índice de refracção dum vidro acrílico==<br />
===Alinhamento===<br />
O alinhamento prévio é essencial para assegurar que as medições são efetuadas correctamente.<br />
[[file:feixe-colimado.jpg|thumb|upright=1.0 |Fig. 23 - Ilustração do método de colimação do feixe.]]<br />
# Monte a fonte luminosa numa das extremidades da calha graduada e ligue a lâmpada.<br />
# Utilizando a lente cilíndrica, obtenha um feixe de luz ''colimado'', isto é de raios paralelos. A Fig. 23 ilustra o posicionamento da lente e o resultado pretendido. À distância correcta, o feixe de luz tem uma largura aproximadamente constante.<br />
# Sobreponha os dois diafragmas num único suporte, de modo a obter uma linha vertical de luz, estreita (\(\approx\)1 mm), alinhada com o eixo da calha graduada. Verifique que a espessura do feixe de luz se mantém tão constante quanto possível ao longo de toda a calha. Antes de começar o passo seguinte, chame o docente para validar o alinhamento.<br />
<br />
===Face plana===<br />
# <li value="4">Monte o suporte com o círculo graduado, de modo a que o feixe de luz branca incida na sua superfície plana e atravesse as posições 0 e 180 graus. Ajuste o alinhamento das fendas, se necessário.<br />
# Coloque o semi-cilindro de vidro acrílico em cima do suporte, de modo a que a superfície plana fique alinhada com o centro e virada para o feixe.<br />
# Observe e obtenha os ângulos de reflexão e de transmissão para vários valores dos ângulos do feixe incidente, à esquerda e à direita. Registe medições para, pelo menos, nove valores diferentes do ângulo de incidência.</li><br />
# Represente as medições num gráfico e, a partir deste, determine por ajuste o índice de refracção do vidro acrílico. Anexe o gráfico ao relatório. Os gráficos deverão ser apresentados em papel milimétrico, físico ou virtual<ref>Use por exemplo [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Graph_paper_mm_green_A4.svg esta imagem].</ref><br />
<br />
===Face cilíndrica===<br />
# <li value="8">Rode o círculo graduado de modo a que o feixe de luz incida na superfície cilíndrica do vidro acrílico. Repita as medidas e a análise dos resultados.<br />
<br />
===Ângulo-limite===<br />
# <li value="9">Estime o valor do índice de refracção a partir do ângulo limite de reflexão total. <br />
# Para o desvio à exatidão, considere exato o valor médio das medições anteriores. <br />
# Nas suas conclusões, compare os valores obtidos para \(n_{vidro}\) e a sua precisão<br />
<br />
==Polarização da luz. Ângulo de Brewster==<br />
# Usando a mesma montagem do ponto anterior para incidência na face plana, polarize o feixe perpendicularmente ao plano de incidência, orientando o eixo \(0^\circ-180^\circ\) do filtro polarizador na horizontal e colocando-o antes da plataforma. Deste modo, para o ângulo de Brewster a luz reflectida pelo semi-cilindro irá anular-se.<br />
# A partir do valor médio obtido para o índice de refracção (o que usou na secção anterior), calcule o valor "teórico" do ângulo de Brewster e verifique experimentalmente que, para esse valor, os raios reflectido e transmitido fazem 90\(^\circ\) entre si. <br />
# Para ângulos de incidência próximos do ângulo de Brewster, obtenha o intervalo angular em que praticamente se extingue o feixe reflectido.<br />
<br />
==Distância focal de uma lente convergente ( \(f \approx\)75 mm)==<br />
# Obtenha um feixe de luz branca de raios paralelos, usando a lente colimadora.<br />
# Seleccione a lente de distância focal mais curta e determine o seu valor pelo método directo. Repita a experiência duas vezes, colocando a lente noutra posição relativamente à lente de raios paralelos. <br />
# Retire a lente colimadora e coloque o objecto com mira no suporte da calha, iluminando-o directamente com a fonte luminosa. Coloque a mesma lente convergente a uma distância 150 mm \(> d_O >\)75 mm do objeto.<br />
# Com o écran plano, procure a posição correcta para obter uma imagem focada. Utilizando a equação dos focos conjugados, calcule de novo a d.f. da lente. <br />
# Na folha quadriculada em anexo, desenhe um diagrama com o eixo óptico, o objecto e a lente convergente. Utilizando as aproximações paraxial e das lentes delgadas, desenhe a construção geométrica e obtenha a posição da imagem e a respectiva ampliação.<br />
# Medindo agora a imagem, determine a ampliação linear. Compare-a com a que podia calcular pelas distância \(d_O\) e \(d_I\). <br />
# Repita a experiência, colocando a lente noutra posição relativamente ao objecto. <br />
# Compare o valor da distância focal com o obtido em (1) e estime a precisão envolvida em cada um dos métodos que utilizou.<br />
<br />
== Distância focal de uma lente divergente (\(f \approx -\)150 mm)==<br />
# Associe no mesmo suporte a lente divergente com uma convergente (\(f \approx\)75 mm), de forma a que o par se comporte como um sistema convergente (com \(D\approx 10\)mm). Escolha uma distância ao objecto \(D_O\)adequada e utilize esta montagem para determinar a distância focal da lente divergente.<br />
# Repita a montagem para uma diferente distância ao objecto.<br />
<br />
==Microscópio composto==<br />
<br />
===Material===<br />
* Lente objectiva \(f\)= 75 mm<br />
* Lente ocular \(f\)= 150 mm<br />
* Écrã graduado (escala de referência)<br />
* Écrã transparente graduado (objecto)<br />
<br />
===Medição da ampliação angular da ocular===<br />
Para esta medição vamos usar a lente ocular como uma lupa (ver Fig. 21). Os passos seguintes permitem determinar a ampliação de um objecto, visualizado através da lupa, em relação a uma escala de referência. Para esta determinação, iremos sobrepor visualmente o objecto (observado com o olho esquerdo) e a escala (observada com o olho direito) e fazer uma comparação directa dos seus tamanhos relativos.<br />
# Retire todos os componentes da calha. Coloque um suporte a \(d_i\approx 25\) cm da extremidade da calha, de modo a ficar no ponto próximo do observador. Monte um ecrã graduado (E1) na parte lateral direita do suporte, deslocado em relação ao centro do mesmo (ver Fig. 24). Este ecrã será a ''escala de referência'' em relação à qual se vai medir a ampliação.<br />
# Monte a lente ocular junto à mesma extremidade da calha, de modo a obter a condição \(b\sim 0\) (Fig. 24). Calcule qual a distância \(d_O\) dessa lente a que deverá colocar o objecto de modo a que a sua imagem surja no ponto próximo. Use os valores de \(d_O\) e \(d_i\) para determinar a ampliação angular (calculada).<br />
# Coloque o ecrã transparente graduado (E2) entre a lente e E1, próximo da posição \(d_O\) calculada acima, de modo a conseguir visualizar simultaneamente (a) a escala de E2 através da lente, com o olho esquerdo, e (b) a escala de E1 com o olho direito (Fig. 24, imagem inserida)<br />
# Ajuste a posição de E2 até conseguir focar simultaneamente as imagens em ambos os olhos. Sobrepondo visualmente as duas escalas graduadas, escolha um comprimento \(h_O\) em E2, meça o tamanho aparente \(h'_a\) da sua imagem (virtual) em relação à escala e determine a ampliação angular \(M_A=h'_a/h_O\) da ocular.<br />
<br />
[[file:OG-micro-composto.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 24 - Esquema para a medição da ampliação angular da ocular.]]<br />
<br />
===Medição da ampliação linear da objectiva===<br />
Para esta medição vamos usar a objectiva como um sistema de formação de imagem (real) a partir de um objecto.<br />
# <li value="5">Mantenha a ocular montada mas retire o suporte de E1.<br />
# Na extremidade oposta à da ocular, monte a fonte luminosa e coloque o objecto (écran E1) imediatamente encostado à saída da luz.<br />
# Usando como referência a Fig. 22, junte uma objectiva de modo a observar uma imagem do alvo no plano de E2. <br />
# Observe todo o sistema através da ocular. Ajuste a posição da objectiva para conseguir observar uma imagem focada.<br />
# Escolha uma altura \(h_O\) adequada do écran graduado. Observe a imagem intermédia \(h’\) no plano de E2 e meça a sua ampliação \(M_T=h'/h_O\).<br />
# Calcule a ampliação final do microscópio composto.<br />
<br />
=Notas=</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=%C3%93ptica_Geom%C3%A9trica&diff=6370Óptica Geométrica2026-03-02T10:47:34Z<p>Ist23437: /* Determinação do índice de refracção dum vidro acrílico */</p>
<hr />
<div><big>Construções geométricas em lentes delgadas</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivos do trabalho=<br />
<br />
Pretende-se estudar vários aspectos da luz do ponto de vista da [https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica_geom%C3%A9trica óptica geométrica], tais como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Reflex%C3%A3o_(f%C3%ADsica) reflexão] e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Refra%C3%A7%C3%A3o refracção] entre meios, a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Polariza%C3%A7%C3%A3o_eletromagn%C3%A9tica polarização], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lente lentes delgadas] e associações de lentes. Iremos estudar a formação de imagens reais e virtuais, verificar como estas dependem das distâncias envolvidas no sistema óptico, e testar um microscópio composto.<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Traçado de raios==<br />
A óptica geométrica, ou óptica de raios, é uma abordagem que consiste em descrever a propagação da luz através de raios. Um raio é um modelo simplificado, na forma de uma linha, que descreve o caminho percorrido pela luz entre duas superfícies. Para descrever a propagação de um feixe de luz através de um sistema, utilizamos um conjunto de raios, que se propagam utilizando o método do [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ray_tracing_(f%C3%ADsica) traçado de raios].<br />
Este método é suficiente para explicar fenómenos como a reflexão e a refracção da luz e é particularmente útil na descrição de sistemas e instrumentos ópticos, sendo válida desde que as dimensões dos objectos envolvidos sejam muito maiores que o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Comprimento_de_onda comprimento de onda] da luz visível (\(\sim\)0,4 \(\mu\)m a 0,7 \(\mu\)m).<br />
<br />
O comportamento dos raios obedece a algumas regras simples:<br />
[[file:OG-snell.png|thumb|upright=0.5 |Raio reflectido e refractado na fronteira entre dois meios. |Fig. 1 - Raio reflectido e refractado na fronteira entre dois meios.]]<br />
{| class="wikitable"<br />
|<br />
# Num meio uniforme, como o ar ou um vidro, um raio é uma linha recta;<br />
# Um meio óptico é definido por uma grandeza \(n\geq1\), chamada índice de refracção;<br />
# Na fronteira entre dois meios, um raio é reflectido e/ou refractado, verificando-se (ver Fig. 1):<br />
#* o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência<br />
#* o ângulo de refracção \(\theta_r\) e o ângulo de incidência \(\theta_i\) (medidos relativamente à normal à superfície) obedecem à [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Snell Lei de Snell-Descartes], em que \(n_i\)e \(n_r\)são respectivamente os índices de refracção do meio de incidência e do meio de refracção: <br />
<center>\(n_i\sin{\theta_i}=n_r\sin{\theta_r}\)</center><br />
|}<br />
<br />
[[file:OG-brewster.png|thumb|upright=0.5 |Fig. 2 - Reflectividade vs. ângulo de incidência e direcção de polarização (esq.) e geometria para ângulo de Brewster (dir.).]]<br />
<br />
[[file:OG-pol-luz.png|thumb|upright=0.5 |Fig. 3(a) - Obtenção de luz polarizada através de um filtro polarizador.]]<br />
<br />
[[file:Polarizadores.png|thumb|upright=0.5 |Fig. 3(b) - Efeito de dois polarizadores colocados em cima de um écrã de computador.]]<br />
==Reflexão, refracção e polarização==<br />
<br />
A eficiência com que um feixe luminoso é reflectido ou refractado numa fronteira entre dois meios de índices de refracção \(n_1\)e \(n_2\) depende, entre outros, do ângulo de incidência e da polarização da luz. A Fig. 2 mostra como varia a reflectividade de uma superfície de vidro em função do ângulo de incidência, para polarizações horizontal e vertical (admitindo que o plano de incidência e reflexão é horizontal). Para um ângulo específico, designado [https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_de_Brewster ângulo de Brewster] e dado por \(\theta_B=\arctan(n_2/n_1)\), a componente horizontal da polarização não é reflectida, pelo que a luz reflectida fica com polarização vertical. Esta é uma forma de criar luz polarizada a partir de uma fonte não-polarizada. A figura ilustra também a geometria dos raios luminosos numa separação entre dois meios, no caso de incidência em ângulo de Brewster. Como se pode apreciar, nessa configuração o raio reflectido e o raio refractado fazem entre si um ângulo de 90\(^\circ\).<br />
<br />
Pode-se polarizar a luz emitida por uma fonte não-polarizada através de um simples [https://pt.wikipedia.org/wiki/Filtro_polarizador filtro polarizador] (ou ''polaroide''). Orientando o ângulo do filtro relativamente à direcção dos raios luminosos, é possível definir a direcção de polarização. Por exemplo, no caso da Fig. 3(a) a luz obtida é polarizada verticalmente.<br />
<br />
Quando se coloca um polarizador no caminho de luz já polarizada, a intensidade da luz que passa depende do ângulo entre o ''eixo do polarizador'' e a direcção de polarização da luz. A Fig. 3(b) mostra o efeito de dois polarizadores colocados em cima do écrã de um computador (o fundo branco da imagem). Normalmente, por uma questão de melhorar a visibilidade, os écrans de computador de tipo LCD ou OLED emitem luz polarizada verticalmente. Assim, quando o eixo do polarizador (direcção 0\(^\circ\)-180\(^\circ\)) também está vertical (esquerda), a quantidade de luz transmitida é máxima. Quando esse eixo está na horizontal (direita), a quantidade de luz transmitida é mínima.<br />
<br />
= Construções geométricas em lentes delgadas=<br />
<br />
Para garantir que compreende adequadamente as secções seguintes, leia antes o documento de apoio [[Óptica geométrica e lentes]].<br />
<br />
=Instrumentos ópticos=<br />
Um instrumento óptico é um dispositivo baseado nos princípios da óptica cujo objectivo é auxiliar a visão humana. Nestes sistemas, designamos por ''objectiva'' a lente que está do lado do objeto AB e por ''ocular'' aquela que está do lado do observador, com distâncias focais \(f_{obj}\) e \(f_{ocu}\) respetivamente. Em ambos os casos, a ocular está próxima da ''imagem intermédia'' A'B' formada pela objectiva. Sendo a distância inferior à distância focal \(f_{ocu}\), a imagem final será ''virtual'', ou seja, visível apenas através da lente.<br />
Assim, o papel da ocular consiste em ampliar a imagem intermédia, tal como uma lupa amplia um objeto.<br />
<br />
==O olho humano==<br />
Vamos primeiro abordar a fisiologia do olho humano (Fig. 17) para compreender as suas limitações. Este pode ser considerado como um sistema óptico que projecta imagens (reais) dos objectos exteriores na retina, através de duas lentes convergentes: a córnea e o cristalino. Para o nosso estudo, vamos considerar que estas lentes são substituídas por um sistema equivalente constituído por uma única lente, com o máximo de distância focal \(f\) igual a 2,5 cm, que é a média da distância entre a córnea e a retina. A potência em dioptrias (dt) desta lente equivalente é dada por:<br />
<br />
<math display=“block”><br />
D=\frac{1}{f} \,[\mathrm{m}^{-1}] = \frac{1}{0,025} \,[\mathrm{m}^{-1}] = 40 \,[\mathrm{m}^{-1}]=40\, \mathrm{dt}.<br />
</math><br />
<br />
[[file:OG-olho-1.png|thumb|upright=0.5 |Fig. 17 - Diagrama dos principais elementos do olho humano.]]<br />
<br />
Para uma pessoa com visão normal ou munida de correção adequada (óculos graduados ou lentes de contacto), os raios ópticos provenientes de um objecto no infinito<ref>Para efeitos práticos, considera-se o infinito óptico qualquer distância superior a 5 m.</ref> chegam paralelos ao olho e são focados na retina sem necessidade de esforço, ou seja, com o olho relaxado (Fig. 18 à esq.). À medida que o objecto se aproxima do olho, é necessário os músculos ciliares aumentarem a curvatura da lente para criar uma imagem focada na retina - a isto chama-se ''acomodação do olho''. O ponto mais próximo do olho para o qual a lente ainda consegue focar a imagem na retina é designado por ''ponto próximo'' (Fig. 18 à dir.) e considera-se igual a 0,25 m para uma visão normal padrão, valor que tem tendência a aumentar com a idade.<br />
<br />
[[file:OG-olho-2.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 18 - Esquema do olho no caso de objectos no infinito (esq.) e no ponto próximo (dir.).]]<br />
<br />
O tamanho aparente dum objecto é determinado pelo tamanho que a imagem apresenta na retina. Mesmo sem variar o tamanho real do objecto, este pode ser visto maior se o aproximarmos do olho, porque o tamanho da sua imagem na retina é maior. A avaliação do tamanho da imagem na retina pode ser feita através da medição do ângulo \(\theta\), que corresponde à inclinação dos raios principais do extremo da imagem (Fig. 19).<br />
<br />
[[file:OG-olho-3.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 19 - Formação de imagem na retina de um objecto de altura \(h\)a uma distância \(s\).]]<br />
<br />
Considere-se um objecto com altura \(h\) a uma distância \(s\) do olho. Para o objeto podemos escrever \(\tan\theta=h/s\). Para a imagem na retina, de altura \(y'\), vem \(\tan\theta = y'/\)(2,5 cm). Na aproximação paraxial, ou seja de ângulos pequenos, podemos usar \(\tan\theta \approx\theta\), e assim \(\theta\approx h/s=y'/\)(2,5 cm). Desta relação conclui-se que \(y'\) é proporcional a \(h\), tamanho do objecto, e inversamente proporcional à distância \(s\) entre o objecto e o olho. <br />
<br />
O princípio dos instrumentos ópticos consiste no aumento do tamanho da imagem na retina, \(y'\), permitindo assim visualizar objectos muito pequenos ou afastados. Do exposto acima, podemos concluir que a sua operação baseia-se na criação de uma imagem (real ou virtual) com um tamanho aparente maior que \(h\) e/ou a uma distância aparente inferior a \(s\). Em qualquer dos casos, a imagem final produzida deverá estar situada além do ponto próximo, caso contrário não conseguirá ser focada.<br />
<br />
==Lupa==<br />
[[file:OG-olho-4.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 20 - Objecto no ponto próximo visto pelo olho desarmado.]]<br />
A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lupa lupa simples] é o instrumento óptico mais elementar. Consiste numa só lente convergente e permite aumentar o tamanho aparente do objecto, ou seja, o tamanho da imagem na retina. Sabendo que a maior imagem que se pode obter dum objecto com o olho desarmado é quando o objecto está no ponto próximo (Fig. 20), e dado que \(y'_0\), tamanho da imagem na retina, é proporcional ao ângulo definido entre a altura do objecto \(h_0\)e a sua distância ao olho, pode-se escrever a relação<br />
<br />
<math display=“block”><br />
\theta_0=h_0/0,25<br />
</math><br />
<br />
Na visão auxiliada pela lupa, esta é colocada perto do olho, e o objecto colocado a uma distância inferior ao foco. A imagem produzida pela lupa é virtual, ampliada e direita.<br />
<br />
== Ampliação angular==<br />
[[file:OG-olho-5.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 21 - Formação de imagem com o auxílio de uma lupa a uma distância \(b\)do olho. O objecto \(h_0\)está a uma distância \(d_O<f\)da lente, e a imagem (virtual) \(h'_a\)aparenta estar a uma distância \(d_i\)da lente e \(L\)do olho.]]<br />
A ''ampliação angular'' \(M_A\) dum instrumento óptico é determinada pela razão entre \(y'_a\), dimensão da imagem na retina quando o objecto é visto através do instrumento (Fig. 21), e \(y'_0\), dimensão da imagem na retina quando vista pelo olho desarmado e o objecto no ponto próximo. A razão entre os respectivos ângulos permite esse cálculo, isto é <br />
<br />
<math display=“block”><br />
M_A=\frac{y'_a}{y'_0}=\frac{\theta_a}{\theta_0}<br />
</math><br />
<br />
Tirando partido da aproximação paraxial, temos \(\tan\theta_a = h'_a / L \approx \theta_a\) e \(\tan\theta_0 = h_0 / 0,25 \approx\theta_0\), portanto pode-se escrever a ampliação angular como:<br />
<br />
<math display=“block”><br />
M_A = \frac{h'_a/L}{h_0/0,25}=-\frac{d_i\,0,25}{d_0 L}= \frac{0,25}{L}\left(1-\frac{d_i}{f}\right) <br />
</math><br />
<br />
onde na última igualdade se recorreu à equação dos focos conjugados. Como a distância à imagem é negativa, \(d_i = - (L – b)\), obtém-se por fim<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
| <math display=“block”><br />
M_A = \frac{0,25}{L}\left(1+\frac{L–b}{f}\right)<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
Da análise desta expressão pode-se dizer que a ampliação diminui se \(L\) ou \(b\) aumentam. Existem três casos particulares de ampliação:<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Caso !! Ampliação angular !! Interpretação<br />
|-<br />
| \(b=f\) || <center>\(M_A = \frac{0,25}{f}=0,25D\)</center> || O olho está à distância focal da lupa. \(D\) é a potência da lupa em dioptrias.<br />
|-<br />
| \(b=0\) || <center>\(M_A = 0,25\left(\frac{1}{L}+\frac{1}{f}\right)\)</center> || O olho está encostado à lupa. Se \(b=0\) e também \(L = 0,25\) m (valor mínimo para \(L\), uma vez que a imagem também deve poder ser focada correctamente pelo olho), então obtém-se para \(M_A\) o valor máximo, igual a \(M_A = 1+\frac{0,25}{f}= 1+0,25D\). Neste caso, a imagem aumentada surge à distância do ponto próximo.<br />
|-<br />
| \(d_O=f\) || <center>\(M_A = \lim_{L\to\infty}\frac{0,25}{L}\left(1+\frac{L–b}{f}\right)\)\(= \frac{0,25}{f}=0,25D\)</center> || O objecto é colocado no foco e a lupa forma a sua imagem no infinito \((L = \infty)\). Neste caso, o olho recebe raios paralelos e não necessita de fazer acomodação, o que é mais cómodo, e a ampliação apenas se reduz de uma unidade relativamente ao caso anterior.<br />
''Exemplo'': uma lente com \(D=10\) dioptrias tem uma distância focal \(f=10\) cm, e para \(L=\infty\) tem uma ampliação angular de \(M_A=\)2,5 vezes.<br />
|}<br />
<br />
==Microscópio composto==<br />
<br />
O [https://pt.wikipedia.org/wiki/Microsc%C3%B3pio_%C3%B3ptico microscópio] é o instrumento óptico empregado para observar objectos pequenos, colocados muito próximos do instrumento. Na sua forma mais simples, consiste em duas lentes convergentes. A lente mais próxima do objecto ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Objetiva_(fotografia) objectiva]) tem uma distância focal \(f_{obj}\), menor que a distância focal \(f_{ocu}\) da lente mais perto do olho ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Ocular ocular]) (Fig. 22).<br />
<br />
[[file:OG-microscopio.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 22 - Formação de imagem num microscópio.]]<br />
<br />
Um objecto de altura \(h\) é colocado, em relação à objectiva, mais afastado do que o foco desta, produzindo uma imagem de tamanho \(h'\) que é real, invertida e maior que o objecto. A objectiva produz assim uma imagem com ''ampliação transversal linear'' \(M_T\),<ref>Conforme vimos atrás, para o caso de uma única lente esta ampliação é designada \(A\).</ref> dada por:<br />
<br />
<math display=“block”><br />
M_T=\frac{h'}{h} = -\frac{L\tan\theta}{f_{obj}\tan\theta}= -\frac{L}{f_{obj}}<br />
</math><br />
<br />
O sinal negativo indica que a imagem é invertida e, uma vez que é real, a imagem pode ser projectada sobre um alvo para se medir o seu tamanho.<br />
<br />
A lente ocular é usada para aumentar a imagem formada pela lente objectiva. Assim, a ocular é colocada de modo a que a imagem \(h'\) produzida pela objectiva (agora ''objecto virtual'' da segunda lente) venha localizar-se a uma distância ligeiramente inferior ao seu foco \(f_{ocu}\). Nesta condição, a ocular actua como uma simples lupa, que permite trazer o objecto \(h’\) para uma distância mais curta do que o ponto próximo (0,25 m), e produz a imagem \(h"\). A ''ampliação final'' \(M\) é dada pelo produto da ampliação transversal para a lente objectiva e a ampliação angular \(M_A\) obtida para a lente ocular. No caso da lente ocular estar encostada ao olho, como é habitual num microscópio, estamos no caso \(b=0\) e, das expressões anteriores para a ampliação linear e angular, obtemos<br />
<br />
<math display=“block”><br />
M = \frac{h''}{h}=M_T\times M_A<br />
</math><br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
==Material==<br />
Caixa de óptica equipada com<br />
* calha graduada<br />
* fonte luminosa com lâmpada de incandescência linear<br />
* lentes convergentes e divergente<br />
* semi-cilindro de vidro acrílico<br />
* diafragmas de fendas lineares (fenda única e fendas múltiplas)<br />
* polaroides<br />
* suportes<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas. <br />
<br />
<br />
== Determinação do índice de refracção dum vidro acrílico==<br />
===Alinhamento===<br />
O alinhamento prévio é essencial para assegurar que as medições são efetuadas correctamente.<br />
[[file:feixe-colimado.jpg|thumb|upright=1.0 |Fig. 23 - Ilustração do método de colimação do feixe.]]<br />
# Monte a fonte luminosa numa das extremidades da calha graduada e ligue a lâmpada.<br />
# Utilizando a lente cilíndrica, obtenha um feixe de luz ''colimado'', isto é de raios paralelos. A Fig. 23 ilustra o posicionamento da lente e o resultado pretendido. À distância correcta, o feixe de luz tem uma largura aproximadamente constante.<br />
# Sobreponha os dois diafragmas num único suporte, de modo a obter uma linha vertical de luz, estreita (\(\approx\)1 mm), alinhada com o eixo da calha graduada. Verifique que a espessura do feixe de luz se mantém tão constante quanto possível ao longo de toda a calha. Antes de começar o passo seguinte, chame o docente para validar o alinhamento.<br />
<br />
===Face plana===<br />
# <li value="4">Monte o suporte com o círculo graduado, de modo a que o feixe de luz branca incida na sua superfície plana e atravesse as posições 0 e 180 graus. Ajuste o alinhamento das fendas, se necessário.<br />
# Coloque o semi-cilindro de vidro acrílico em cima do suporte, de modo a que a superfície plana fique alinhada com o centro e virada para o feixe.<br />
# Observe e obtenha os ângulos de reflexão e de transmissão para vários valores dos ângulos do feixe incidente, à esquerda e à direita. Registe medições para, pelo menos, nove valores diferentes do ângulo de incidência.</li><br />
# Represente as medições num gráfico e, a partir deste, determine por ajuste o índice de refracção do vidro acrílico. Anexe o gráfico ao relatório. Os gráficos deverão ser apresentados em papel milimétrico, físico ou virtual<ref>Use por exemplo [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Graph_paper_mm_green_A4.svg esta image].</ref><br />
<br />
===Face cilíndrica===<br />
# <li value="8">Rode o círculo graduado de modo a que o feixe de luz incida na superfície cilíndrica do vidro acrílico. Repita as medidas e a análise dos resultados.<br />
<br />
===Ângulo-limite===<br />
# <li value="9">Estime o valor do índice de refracção a partir do ângulo limite de reflexão total. <br />
# Para o desvio à exatidão, considere exato o valor médio das medições anteriores. <br />
# Nas suas conclusões, compare os valores obtidos para \(n_{vidro}\) e a sua precisão<br />
<br />
==Polarização da luz. Ângulo de Brewster==<br />
# Usando a mesma montagem do ponto anterior para incidência na face plana, polarize o feixe perpendicularmente ao plano de incidência, orientando o eixo \(0^\circ-180^\circ\) do filtro polarizador na horizontal e colocando-o antes da plataforma. Deste modo, para o ângulo de Brewster a luz reflectida pelo semi-cilindro irá anular-se.<br />
# A partir do valor médio obtido para o índice de refracção (o que usou na secção anterior), calcule o valor "teórico" do ângulo de Brewster e verifique experimentalmente que, para esse valor, os raios reflectido e transmitido fazem 90\(^\circ\) entre si. <br />
# Para ângulos de incidência próximos do ângulo de Brewster, obtenha o intervalo angular em que praticamente se extingue o feixe reflectido.<br />
<br />
==Distância focal de uma lente convergente ( \(f \approx\)75 mm)==<br />
# Obtenha um feixe de luz branca de raios paralelos, usando a lente colimadora.<br />
# Seleccione a lente de distância focal mais curta e determine o seu valor pelo método directo. Repita a experiência duas vezes, colocando a lente noutra posição relativamente à lente de raios paralelos. <br />
# Retire a lente colimadora e coloque o objecto com mira no suporte da calha, iluminando-o directamente com a fonte luminosa. Coloque a mesma lente convergente a uma distância 150 mm \(> d_O >\)75 mm do objeto.<br />
# Com o écran plano, procure a posição correcta para obter uma imagem focada. Utilizando a equação dos focos conjugados, calcule de novo a d.f. da lente. <br />
# Na folha quadriculada em anexo, desenhe um diagrama com o eixo óptico, o objecto e a lente convergente. Utilizando as aproximações paraxial e das lentes delgadas, desenhe a construção geométrica e obtenha a posição da imagem e a respectiva ampliação.<br />
# Medindo agora a imagem, determine a ampliação linear. Compare-a com a que podia calcular pelas distância \(d_O\) e \(d_I\). <br />
# Repita a experiência, colocando a lente noutra posição relativamente ao objecto. <br />
# Compare o valor da distância focal com o obtido em (1) e estime a precisão envolvida em cada um dos métodos que utilizou.<br />
<br />
== Distância focal de uma lente divergente (\(f \approx -\)150 mm)==<br />
# Associe no mesmo suporte a lente divergente com uma convergente (\(f \approx\)75 mm), de forma a que o par se comporte como um sistema convergente (com \(D\approx 10\)mm). Escolha uma distância ao objecto \(D_O\)adequada e utilize esta montagem para determinar a distância focal da lente divergente.<br />
# Repita a montagem para uma diferente distância ao objecto.<br />
<br />
==Microscópio composto==<br />
<br />
===Material===<br />
* Lente objectiva \(f\)= 75 mm<br />
* Lente ocular \(f\)= 150 mm<br />
* Écrã graduado (escala de referência)<br />
* Écrã transparente graduado (objecto)<br />
<br />
===Medição da ampliação angular da ocular===<br />
Para esta medição vamos usar a lente ocular como uma lupa (ver Fig. 21). Os passos seguintes permitem determinar a ampliação de um objecto, visualizado através da lupa, em relação a uma escala de referência. Para esta determinação, iremos sobrepor visualmente o objecto (observado com o olho esquerdo) e a escala (observada com o olho direito) e fazer uma comparação directa dos seus tamanhos relativos.<br />
# Retire todos os componentes da calha. Coloque um suporte a \(d_i\approx 25\) cm da extremidade da calha, de modo a ficar no ponto próximo do observador. Monte um ecrã graduado (E1) na parte lateral direita do suporte, deslocado em relação ao centro do mesmo (ver Fig. 24). Este ecrã será a ''escala de referência'' em relação à qual se vai medir a ampliação.<br />
# Monte a lente ocular junto à mesma extremidade da calha, de modo a obter a condição \(b\sim 0\) (Fig. 24). Calcule qual a distância \(d_O\) dessa lente a que deverá colocar o objecto de modo a que a sua imagem surja no ponto próximo. Use os valores de \(d_O\) e \(d_i\) para determinar a ampliação angular (calculada).<br />
# Coloque o ecrã transparente graduado (E2) entre a lente e E1, próximo da posição \(d_O\) calculada acima, de modo a conseguir visualizar simultaneamente (a) a escala de E2 através da lente, com o olho esquerdo, e (b) a escala de E1 com o olho direito (Fig. 24, imagem inserida)<br />
# Ajuste a posição de E2 até conseguir focar simultaneamente as imagens em ambos os olhos. Sobrepondo visualmente as duas escalas graduadas, escolha um comprimento \(h_O\) em E2, meça o tamanho aparente \(h'_a\) da sua imagem (virtual) em relação à escala e determine a ampliação angular \(M_A=h'_a/h_O\) da ocular.<br />
<br />
[[file:OG-micro-composto.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 24 - Esquema para a medição da ampliação angular da ocular.]]<br />
<br />
===Medição da ampliação linear da objectiva===<br />
Para esta medição vamos usar a objectiva como um sistema de formação de imagem (real) a partir de um objecto.<br />
# <li value="5">Mantenha a ocular montada mas retire o suporte de E1.<br />
# Na extremidade oposta à da ocular, monte a fonte luminosa e coloque o objecto (écran E1) imediatamente encostado à saída da luz.<br />
# Usando como referência a Fig. 22, junte uma objectiva de modo a observar uma imagem do alvo no plano de E2. <br />
# Observe todo o sistema através da ocular. Ajuste a posição da objectiva para conseguir observar uma imagem focada.<br />
# Escolha uma altura \(h_O\) adequada do écran graduado. Observe a imagem intermédia \(h’\) no plano de E2 e meça a sua ampliação \(M_T=h'/h_O\).<br />
# Calcule a ampliação final do microscópio composto.<br />
<br />
=Notas=</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6369Experiência de Millikan2026-03-02T09:46:56Z<p>Ist23437: /* Tratamento de dados */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || 6,00±0,05 mm || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccffcc;"<br />
| '''Atenção:''' A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
* caso não consiga ver gotas com qualidade suficiente, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Para a incerteza desta medição, pode considerar o tempo de reacção do observador.<ref>Para uma estimativa do tempo de reacção, pode usar ferramentas online, por exemplo [https://humanbenchmark.com/tests/reactiontime Human Benchmark Reaction Time].</ref> Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, que deverá ser o majorante entre (i) o maior dos desvios ao valor médio e (ii) a maior das incertezas individuais.</li><br />
<li> Use os valores obtidos para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente (i) os valores <math>x_i</math> e os (ii) residuais, ambos em função do índice da medição <math>n_i</math>, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6368Experiência de Millikan2026-03-02T09:15:59Z<p>Ist23437: /* Determinação da velocidade limite e da carga */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || 6,00±0,05 mm || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccffcc;"<br />
| '''Atenção:''' A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
* caso não consiga ver gotas com qualidade suficiente, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Para a incerteza desta medição, pode considerar o tempo de reacção do observador.<ref>Para uma estimativa do tempo de reacção, pode usar ferramentas online, por exemplo [https://humanbenchmark.com/tests/reactiontime Human Benchmark Reaction Time].</ref> Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, que deverá ser o majorante entre (i) o maior dos desvios ao valor médio e (ii) a maior das incertezas individuais.</li><br />
<li> Use os valores obtidos para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6367Experiência de Millikan2026-03-02T09:15:12Z<p>Ist23437: /* Determinação da velocidade limite e da carga */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || 6,00±0,05 mm || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccffcc;"<br />
| '''Atenção:''' A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
* caso não consiga ver gotas com qualidade suficiente, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Para a incerteza desta medição, pode considerar o tempo de reacção do observador.<ref>Para uma estimativa do tempo de reacção, pode usar ferramentas online, por exemplo [https://humanbenchmark.com/tests/reactiontime Human Benchmark Reaction Time].<\ref> Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, que deverá ser o majorante entre (i) o maior dos desvios ao valor médio e (ii) a maior das incertezas individuais.</li><br />
<li> Use os valores obtidos para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6366Experiência de Millikan2026-03-02T09:14:02Z<p>Ist23437: /* Determinação da velocidade limite e da carga */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || 6,00±0,05 mm || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccffcc;"<br />
| '''Atenção:''' A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
* caso não consiga ver gotas com qualidade suficiente, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Para a incerteza desta medição, pode considerar o tempo de reacção do observador.\footnote{Para uma estimativa do tempo de reacção, pode usar ferramentas online, por exemplo [[]https://humanbenchmark.com/tests/reactiontime Human Benchmark Reaction Time]} Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, que deverá ser o majorante entre (i) o maior dos desvios ao valor médio e (ii) a maior das incertezas individuais.</li><br />
<li> Use os valores obtidos para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Instrumenta%C3%A7%C3%A3o_e_An%C3%A1lise_de_Sinais&diff=6365Instrumentação e Análise de Sinais2026-02-25T11:01:09Z<p>Ist23437: /* Procedimento */</p>
<hr />
<div>{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
Pretende-se com este trabalho introduzir os principais [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o instrumentos eléctricos] utilizados em laboratório de Física Experimental, desenvolvendo competências básicas de medição, observação e análise de sinais eléctricos. O objectivo central é compreender como medir e interpretar grandezas eléctricas em regimes contínuo (DC) e alternado (AC), bem como reconhecer as limitações e o comportamento não ideal dos dispositivos reais.<br />
<br />
=Introdução=<br />
A instrumentação eléctrica é omnipresente na Física Experimental, sendo fundamental em áreas tão diversas como a física de partículas e nuclear, nanotecnologias e matéria condensada, lasers e fotónica, fusão nuclear, e muitas outras. A grande maioria das experiências laboratoriais envolve, de forma directa ou indirecta, a geração, medição e análise de sinais eléctricos. Por essa razão, é importante adquirir familiaridade e confiança na utilização dos principais instrumentos eléctricos de laboratório, bem como na interpretação crítica das medições realizadas.<br />
<br />
Nesta experiência são utilizados os seguintes instrumentos:<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Oscilosc.C3.B3pio Osciloscópio digital] – permite observar sinais eléctricos dependentes do tempo, medir amplitudes, períodos e frequências, analisar formas de onda e estudar relações de fase entre sinais.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções] – utilizado para produzir sinais eléctricos controlados, com diferentes formas de onda (sinusoidal, quadrada, triangular), frequências e amplitudes, servindo como fonte de excitação para o estudo de circuitos e dispositivos eléctricos.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Mult.C3.ADmetro Multímetro] – instrumento versátil destinado à medição de grandezas eléctricas como tensões contínuas (DC), tensões alternadas (AC) e resistências eléctricas, sendo essencial para a caracterização quantitativa de componentes e sistemas.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Fonte_de_tens.C3.A3o Fonte de alimentação] – fornece tensões ou correntes controladas a um circuito, operando tipicamente em modos de tensão constante (CV) ou corrente constante (CC), permitindo estudar o comportamento de dispositivos reais sob diferentes condições de alimentação.<br />
<br />
Para informações gerais sobre o funcionamento e aplicação em laboratório destes e outros instrumentos, consulte a página [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o Instrumentos eléctricos e de medição].<br />
Para especificações detalhadas e guia de funcionamento dos equipamentos usados em LIFE, deverá ler atentamente (e '''antes da sessão de laboratório''') as instruções de [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias Instrumentos eléctricos - guias].<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety-small.png|upright=0.5]] || '''Conselhos de segurança''' <br />
Embora os instrumentos utilizados operem em regimes de baixa tensão e corrente, devem ser respeitadas algumas precauções básicas:<br />
* Verificar sempre as ligações '''antes de ligar''' a alimentação do circuito<br />
* Evitar curto-circuitos, em particular nas saídas da fonte de alimentação e do gerador de funções<br />
* Começar as medições com tensões e correntes baixas, aumentando-as gradualmente<br />
* Não alterar ligações com a fonte de alimentação ligada<br />
* Utilizar correctamente as escalas e terminais do multímetro<br />
* Evitar o aquecimento excessivo de componentes (por exemplo, lâmpadas ou resistências)<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Introdução==<br />
===Grandezas eléctricas===<br />
A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Eletricidade electricidade] diz respeito ao conjunto de fenómenos associados à presença, distribuição e movimento de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica cargas eléctricas]. <br />
* A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_el%C3%A9trica corrente eléctrica] corresponde ao movimento ordenado dessas cargas num meio material, sendo quantitativamente definida como a quantidade de carga que atravessa uma secção do condutor por unidade de tempo. <br />
* Esse movimento é induzido pela aplicação de uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_el%C3%A9trica tensão eléctrica], ou diferença de potencial eléctrico, que representa o trabalho realizado por unidade de carga entre dois pontos de um circuito. <br />
* A relação entre tensão e corrente depende das propriedades do meio, sendo caracterizada pela [https://pt.wikipedia.org/wiki/Resist%C3%AAncia_el%C3%A9trica resistência eléctrica], que expressa a oposição do material à passagem da corrente. <br />
* Em muitos condutores, para regimes de funcionamento adequados, estas grandezas obedecem à [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Ohm lei de Ohm], constituindo um modelo fundamental para a análise de circuitos eléctricos.<br />
* A potência eléctrica corresponde à taxa de transferência de energia num circuito eléctrico e, em regime contínuo ou resistivo, é dada pelo produto da tensão pela corrente (\(P=V\,I\)), permitindo quantificar a energia dissipada ou fornecida pelos dispositivos eléctricos.<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Grandeza<br />
! style="text-align:center;" | Nome da unidade<br />
! style="text-align:center;" | Símbolo<br />
! style="text-align:center;" | Relação com outras grandezas<br />
|-<br />
| Carga eléctrica (\(Q\))<br />
| style="text-align:center;" | coulomb<br />
| style="text-align:center;" | C<br />
| style="text-align:center;" | \(Q = I\,t\)<br />
|-<br />
| Corrente eléctrica (\(I\))<br />
| style="text-align:center;" | ampere<br />
| style="text-align:center;" | A<br />
| style="text-align:center;" | \(I = Q/t\)<br />
|-<br />
| Tensão eléctrica (\(V\))<br />
| style="text-align:center;" | volt<br />
| style="text-align:center;" | V<br />
| style="text-align:center;" | \(V = R\,I\)<br />
|-<br />
| Resistência eléctrica (\(R\))<br />
| style="text-align:center;" | ohm<br />
| style="text-align:center;" | \(\Omega\)<br />
| style="text-align:center;" | \(R = V/I\)<br />
|-<br />
| Potência eléctrica (\(P\))<br />
| style="text-align:center;" | watt<br />
| style="text-align:center;" | W<br />
| style="text-align:center;" | \(P = V\,I\)<br />
|}<br />
<br />
===Sinais eléctricos===<br />
[[Ficheiro:vpp.png|thumb|upright=1.0|Medição de tensão AC: definições. \(V_{pk}\) - tensão de pico; \(V_{pp}\) - tensão pico-a-pico; \(V_{RMS}\) - tensão eficaz)]]<br />
Um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_cont%C3%ADnua sinal contínuo (DC)] caracteriza-se por manter um valor de tensão constante no tempo. Em [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_alternada sinais alternados (AC)], é importante distinguir entre a tensão pico-a-pico \(V_{pp}\) e a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_eficaz|tensão eficaz] ou \(V_{RMS}\) (''root mean square''), sendo fundamental identificar correctamente qual delas está a ser medida ou ajustada nos instrumentos de laboratório:<br />
* A tensão pico-a-pico corresponde à diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do sinal e descreve apenas a sua variação total em amplitude <br />
* A tensão RMS é uma grandeza fisicamente mais relevante, pois está directamente relacionada com a potência dissipada numa carga resistiva. Em particular, uma tensão alternada com valor RMS igual a uma dada tensão contínua produzirá o mesmo efeito térmico nessa resistência. Para sinais sinusoidais, estas grandezas estão relacionadas por <br />
<br />
\(V_{RMS}=V_{pp}/(2\sqrt{2})\)<br />
<br />
Para outros tipos de onda (quadrada, triangular, etc) a relação de proporcionalidade é diferente. No caso mais geral, o seu valor pode ser obtido a partir do cálculo do integral <br />
<br />
<math><br />
V_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,\mathrm{d}t}<br />
</math><br />
<br />
onde \(v(t)\) é a tensão instantânea e \(T\) é o período do sinal. Ou seja, a relação \(V_{rms}/V_{pp}\) depende da forma da onda.<br />
<br />
Em sinais variáveis, é frequente existir uma componente contínua sobreposta à componente alternada, designada por ''offset'' (desvio). O ''offset'' corresponde ao valor médio do sinal e traduz um deslocamento vertical da forma de onda relativamente ao zero de tensão. Assim, um sinal pode apresentar variações periódicas em torno de um valor não nulo, combinando uma componente AC com uma componente DC. A distinção entre tensão DC, amplitude do sinal e ''offset'' é essencial para a correcta configuração do gerador de funções e para a interpretação das medições realizadas com o osciloscópio e o multímetro.<br />
<br />
===Sinais periódicos===<br />
<br />
[[Ficheiro:ondas-freq-amp-fase.png|thumb|upright=1.0|Características de ondas periódicas.]]<br />
<br />
Sinais periódicos são sinais eléctricos que se repetem regularmente no tempo, podendo ser caracterizados por um período \(T\) e pela frequência correspondente \(f=1/T\). Em laboratório, estes sinais são tipicamente produzidos com um gerador de funções, que permite gerar diferentes formas de onda periódicas — como sinais sinusoidais, quadrados e triangulares — com amplitudes, frequências e ''offset'' ajustáveis. A correcta identificação destes parâmetros é essencial para a análise e comparação de sinais eléctricos.<br />
<br />
Entre os sinais periódicos, o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Senoide sinal sinusoidal] assume um papel particular, por poder ser descrito matematicamente de forma simples e por surgir frequentemente em sistemas físicos. Para um sinal sinusoidal, além da amplitude, do período e da frequência, é introduzido o conceito de fase, que especifica o estado da oscilação num dado instante e permite quantificar o desfasamento entre dois sinais com a mesma frequência.<br />
<br />
[[Ficheiro:lissajous.png|thumb|upright=1.0|Exemplos de figuras de Lissajous.]]<br />
<br />
O osciloscópio é o instrumento adequado para visualizar as propriedades de sinais periódicos. No caso do osciloscópio ter mais do que um canal, podem comparar-se directamente as características dos sinais. O modo XY permite representar a tensão de um canal em função da tensão do outro, substituindo a base de tempos por um eixo de tensão. Quando dois sinais sinusoidais são aplicados aos eixos X e Y, surgem curvas designadas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous figuras de Lissajous], cuja forma depende da razão entre as frequências, da diferença de fase e das amplitudes relativas dos sinais. Estas figuras constituem uma ferramenta útil para a comparação de frequências e para a análise do desfasamento entre sinais periódicos: <br />
* Quando as frequências são iguais, a figura é uma elipse cuja orientação e excentricidade dependem do desfasamento; casos particulares correspondem a uma recta ou a um círculo.<br />
* Para frequências em razão racional simples, surgem figuras fechadas com padrões característicos, enquanto razões irracionais conduzem a figuras não estacionárias. <br />
Estas propriedades permitem utilizar as figuras de Lissajous para comparar frequências e determinar desfasamentos entre sinais.<br />
<br />
==Medições com sinais DC==<br />
===Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente===<br />
Nesta experiência estuda-se o comportamento não-óhmico de uma lâmpada incandescente, isto é, um dispositivo eléctrico cuja corrente ''não é'' proporcional à tensão aplicada. Ao contrário de uma resistência ideal, a lâmpada contém um filamento metálico que aquece significativamente quando percorrido por corrente, o que faz com que a sua resistência varie durante o funcionamento.<br />
<br />
O objectivo principal é caracterizar experimentalmente a relação entre a tensão \(V\) aplicada à lâmpada e a corrente \(I\) que a atravessa, e verificar que essa relação é não linear. Para isso, medem-se vários pares tensão-corrente para diferentes valores da tensão aplicada, calculando-se em cada ponto a resistência efectiva \(R=V/I\).<br />
<br />
Os dados experimentais são depois analisados através da representação gráfica de \(I\) em função de \(V\). Em particular, testa-se se os resultados podem ser descritos por uma lei de potência do tipo \(I\propto V^\alpha\), determinando-se o expoente \(\alpha\) por regressão.<br />
<br />
==Medições com sinais AC==<br />
===Sinais periódicos eléctricos===<br />
Nesta experiência estudam-se várias propriedades dos sinais AC, tais como a diferença entre tensão pico-a-pico e RMS, e a comparação entre sinais de frequências iguais, próximas, ou de quociente racional. Para isso, usam-se o gerador de funções, o multímetro e o osciloscópio.<br />
<br />
Para estudo e comparação de dois sinais periódicos é muito útil o uso do modo XY no osciloscópio e a observação das figuras de Lissajous resultantes. Assim, vamos observar e registar a forma destas curvas para vários quocientes racionais de frequências e diferenças de fase. As figuras de Lissajous são importantes porque permitem visualizar e determinar relações de fase e de frequência entre dois sinais periódicos, sendo amplamente usadas na caracterização de sinais eléctricos, na calibração de instrumentos e no estudo de sistemas oscilatórios.<br />
<br />
Por fim, vamos sobrepor duas frequências muito próximas e observar o aparecimento de batimentos no osciloscópio. Estes ocorrem quando se somam dois sinais periódicos de frequências muito próximas, \(f_1 \approx f_2\). O sinal resultante apresenta uma oscilação rápida, com frequência aproximadamente igual à média das duas frequências, cuja amplitude varia lentamente no tempo. Esta variação lenta da amplitude designa-se por batimento e ocorre com uma frequência igual à diferença das frequências dos dois sinais:<br />
<math><br />
f_{\mathrm{bat}} = |f_1 - f_2|.<br />
</math><br />
Fisicamente, os batimentos resultam da variação lenta da fase relativa entre os dois sinais. O fenómeno dos batimentos é importante porque permite medir pequenas diferenças de frequência e surge em múltiplos contextos, desde a acústica e afinação de instrumentos musicais até sistemas de comunicações, interferometria e metrologia de precisão.<br />
<br />
==Medição com sinais pulsados==<br />
===Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos===<br />
Nesta experiência vamos usar gerador de funções e o osciloscópio digital de dois canais para medir intervalos de tempo entre dois eventos e determinar a velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos. O gerador emite impulsos eléctricos que são transformados em impulsos mecânicos por um transdutor piezoelétrico, bem acoplado a uma das faces de uma dada amostra. Na face oposta coloca-se outro transdutor, que após receber o impulso mecânico o transforma num sinal eléctrico e o envia ao osciloscópio. O tempo de percurso é relativamente curto, já que as velocidades de propagação nos meios sólidos são da ordem de km/s. Para a sua determinação usamos o osciloscópio, observando o impulso emitido e o recebido depois de ter atravessado a amostra. Através do uso de cursores e medições automáticas, é possível realizar as medições de forma rápida e fiável.<br />
<br />
Para uma determinação mais precisa da velocidade, serão medidos os tempos de propagação através de amostras de diferentes comprimentos, efectuando-se um ajuste linear aos pontos tempo vs. comprimento. O declive deste ajuste, com unidades s/m, é o inverso da velocidade.<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# É essencial a '''leitura prévia''' do seguinte material:<br />
#* [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o Instrumentos eléctricos e de medição]<br />
#* [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias Instrumentos eléctricos - guias]<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório.<br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Na secção [[#Ligações externas|Ligações externas]] pode encontrar diversas simulações online que pode usar para praticar os conceitos a usar em laboratório.<br />
<br />
==Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente==<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Fonte_de_alimenta.C3.A7.C3.A3o_DC Fonte de tensão UNI-T modelo UDP1306C]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Mult.C3.ADmetro_de_bancada Multímetro de bancada UNI-T modelo UT8804E]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo banana<br />
* Lâmpada de 24 V<br />
<br />
===Procedimento===<br />
O objectivo é medir experimentalmente a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_caracter%C3%ADstica_corrente-tens%C3%A3o curva característica corrente–tensão] de uma lâmpada e determinar a resistência eléctrica efectiva em função do regime de funcionamento.<br />
<br />
# Antes de fazer qualquer conexão:<br />
#* Ligue a fonte de tensão DC e garanta que o botão "output" está desligado <br />
#* Coloque a fonte no modo CV, com uma tensão de 0.000 V<br />
#* Ajuste a corrente para um limite máximo de 150 mA<br />
#* Na primeira coluna da tabela do relatório preencha 5 valores de tensões entre 0.5 V e 5 V, e outros 5 valores entre 5 V e 24 V. Exemplo: 0.5, 1.0, 2.5, etc<br />
# Ligue em série a saída do gerador de tensão, a lâmpada, e o multímetro em modo corrente (entradas "A" e "COM").<br />
#* Antes de avançar, chame o professor para verificação<br />
# Ajuste a tensão de saída da fonte para o primeiro valor da lista. Pressione o botão output para o acender, espere 10 segundos e registe os valores de tensão (na fonte) e corrente (no multímetro) indicados, indicando as incertezas respectivas. Quando terminar, desligue o botão "output".<br />
# Repita o passo acima para cada um dos valores de tensão escolhidos. No caso de o regime da fonte de tensão mudar de CV para CC, não aumente mais a tensão.<br />
# Insira os dados da tabela no [https://sites.google.com/tecnico.ulisboa.pt/fitteia/home fitteia] e ajuste uma lei de potência do tipo \(I=aV^b\) (no fitteia: "y=a*pow(x, b)"), registando os respectivos coeficientes calculados. Anexe ao relatório uma cópia do gráfico obtido.<br />
<br />
==Sinais periódicos eléctricos==<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções UNI-T modelo UTG1000X]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Mult.C3.ADmetro_de_bancada Multímetro de bancada UNI-T modelo UT8804E]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Oscilosc.C3.B3pio_digital Osciloscópio digital Rohde & Schwarz modelo RTB2002]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo BNC e banana<br />
<br />
===Procedimento===<br />
<br />
'''i) Formas de onda'''<br />
# Desactive ambos os canais do gerador de funções e ligue a saída CH1 ao multímetro digital (entrada \(V\Omega Hz\)) usando um cabo BNC-banana.<br />
# No canal 1 do gerador de sinais, escolha uma onda sinusoidal (botão "Wave", opção "Sine") de frequência \(f_1\) no canal 1, da ordem dos kHz e uma tensão da ordem dos volt. Active o canal.<br />
# Registe a tensão \(V_{rms}\) lida no multímetro. <br />
# Repita a medição da tensão para outras formas de onda: quadrada e dente-de-serra (botão "Wave", opções "Square" ou "Ramp"). Quando terminar, desactive o canal 1.<br />
# Ligue agora a saída CH1 ao osciloscópio (entrada CH1) usando um conector BNC-BNC. Active o canal 1 do gerador.<br />
# Registe a tensão \(V_{pk-pk}\) lida no osciloscópio para as mesmas formas de onda: sinusoidal, quadrada e triangular.<br />
<br />
'''ii) Sinais com a mesma frequência'''<br />
# Ligue as saídas CH1 e CH2 do gerador de funções às respectivas entradas do osciloscópio.<br />
# Seleccione em ambos os canais do gerador uma onda sinusoidal.<br />
# Ajuste as amplitudes dos dois sinais para valores iguais, verificando no osciloscópio em modo temporal.<br />
# Garanta que ambos os canais do osciloscópio estão configurados com o mesmo ganho vertical.<br />
# Verifique que a pen USB está inserida no osciloscópio.<br />
# Ajuste o gerador de funções de modo a que os dois sinais tenham a mesma frequência, \(f_1=f_2\).<br />
# Coloque o osciloscópio em modo XY (Botão Menu: XY), de modo a visualizar simultaneamente a figura de Lissajous e os canais CH1 e CH2.<br />
# Varie a diferença de fase entre os dois sinais de 10 em 10 graus. Para isto, pode por exemplo manter a fase do CH1 (no gerador de funções) em 0 graus, enquanto varia a fase do CH2. Observe como varia a figura de Lissajous e a relação temporal entre os sinais sinusoidais.<br />
# Para os valores \(\phi=\)0, 90, e 180 graus, grave as formas de onda obtidas e anexe ao relatório. Comente sobre a variação observada.<br />
<br />
'''iii) Sinais com quociente racional de frequências'''<br />
# Escolha três quocientes racionais de inteiros baixos (por exemplo: \(3{:}1, 3{:}2, 5{:}4\)).<br />
# Para cada quociente escolhido, ajuste as frequências \(f_1\) e \(f_2\) de modo a respeitar a razão escolhida.<br />
# Como no ponto anterior, varie a diferença de fase entre os dois sinais de 10 em 10 graus. Observe como varia a figura de Lissajous e a relação temporal entre os sinais sinusoidais.<br />
# Para os valores \(\phi=\)0, 45 e 90 graus, grave as formas de onda obtidas e anexe ao relatório.<br />
# Na sua análise, compare o número de lóbulos e a forma da figura com o quociente de frequências utilizado.<br />
<br />
'''iv) Frequências muito próximas — batimentos'''<br />
# Volte a colocar a fase relativa a zero e ajuste os dois sinais do gerador para frequências muito próximas, \(f_1 \approx f_2\), da ordem do kHz e com uma diferença da ordem de 1/10 Hz.<br />
# Com o osciloscópio em modo XY, observe a rotação lenta da figura de Lissajous.<br />
# Meça o tempo \(T\) necessário para que a figura complete uma rotação completa e volte à mesma orientação. No caso de o tempo ser demasiado curto para permitir uma medição fiável, ajuste a diferença entre frequências para um valor mais baixo.<br />
# Use o valor obtido para determinar indirectamente a diferença de frequências usando \(\Delta f = \frac{1}{T}.\)<br />
# Coloque agora o osciloscópio no modo temporal (Botão Menu: Scope) e active a operação de soma dos dois canais (Botão Math: Add C1,C2).<br />
# Meça o período dos batimentos \(T_{bat}\) da onda azul. Terá que ajustar a escala horizontal do osciloscópio, já que o período dos batimentos é muito mais longo do que o período das ondas. Se necessário, pode "congelar" a imagem usando o botão "Run Stop". <br />
# Repita os passos acima para outro par de frequências com uma separação diferente.<br />
<br />
==Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos==<br />
<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções UNI-T modelo UTG1000X]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Oscilosc.C3.B3pio_digital Osciloscópio digital Rohde & Schwarz modelo RTB2002]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo BNC e adaptador-T BNC<br />
* Dois transdutores [https://pt.wikipedia.org/wiki/Piezoeletricidade piezoeléctricos]<br />
* Conjunto de cilindros metálicos de diversos comprimentos<br />
* Craveira<br />
<br />
===Procedimento===<br />
O objectivo é medir experimentalmente a velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos, através da medição do tempo de trajecto para diferentes comprimentos.<br />
[[Ficheiro:Ondas-mecanicas.png|thumb|upright=1.0|Montagem para medição da velocidade de ondas mecânicas.]]<br />
<br />
# Com a [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Craveira craveira], meça e registe o comprimento de cada cilindro metálico.<br />
# Estabeleça as ligações como se indica no esquema da figura. Ajuste o canal 1 do gerador de sinais para emitir uma onda quadrada de frequência 1 kHz e amplitude 20 Vpp. No osciloscópio, ligue essa saída ao canal 1 (usando o adaptador T) e ajuste o trigger para os seguintes parâmetros:<br />
#* Fonte: canal 1<br />
#* Tipo: Edge, sentido ascendente<br />
#* Nível: ajuste de modo a observar uma onda quadrada estável<br />
# Ligue o outro conector do adaptador T a um dos transdutores piezoeléctricos (T1 na figura). Ligue o outro transdutor (T2) ao canal 2 do osciloscópio e visualize os dois canais. Ajuste a ampliação temporal de modo a ver a região na vizinhança do sentido ascendente da onda quadrada, numa escala da ordem dos \(\mu\)s/div. A ampliação vertical deverá ser diferente da do canal 1, da ordem de 10-100 mV por divisão.<br />
# Para um melhor contacto entre os transdutores e os cilindros, espalhe uma pequena gota de líquido acoplante na face de cada transdutor. Evite contaminar outros objectos com o líquido, já que é bastante viscoso.<br />
# No osciloscópio, observe num canal o sinal emitido e noutro o sinal recebido (depois de ter atravessado o cilindro).<br />
# Para a medição do intervalo de tempo entre os dois sinais, é usada a função [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Instru.C3.A7.C3.B5es_de_opera.C3.A7.C3.A3o_4 Cursor do osciloscópio]. Usando os cursores verticais do osciloscópio (Botão Cursor: Type=Vertical), leia e registe o atraso entre os dois sinais. Estime o erro das observações, tendo em conta a escala e a forma dos sinais observados – por exemplo, a reacção do sensor à chegada do sinal não é instantânea, mas sim gradual. Grave e anexe uma imagem que capte os dois sinais obtidos. Repita para os outros cilindros. <br />
# Quando terminar as medições, limpe os resíduos de líquido acoplante das faces dos sensores e das amostras e volte a colocá-los na caixa.<br />
# No fitteia, represente graficamente o tempo de propagação vs. comprimento e, por regressão linear, obtenha o melhor ajuste a uma recta. A partir desta, obtenha a velocidade de propagação da onda. Anexe ao relatório o gráfico obtido.<br />
<br />
===Registo de dados===<br />
No final de todas as experiências, copie para o seu computador os ficheiros que foram gravados na pen USB. Quando terminar, assegure-se de que volta a ligar a pen no osciloscópio.<br />
<br />
Em cada uma das imagens que anexar ao relatório, assegure-se de que é incluída a respectiva descrição.<br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://physics-zone.com/virtual-oscilloscope/ Virtual Oscilloscope] Simulador de gerador de sinais e osciloscópio<br />
* [https://academo.org/demos/wave-interference-beat-frequency/ Wave interference beat frequency] Simulador de interferência de duas ondas e batimentos<br />
* [https://academo.org/demos/lissajous-curves/ Lissajous curves] Simulador de figuras de Lissajous</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Espectroscopia_e_Efeito_Fotoel%C3%A9ctrico&diff=6364Espectroscopia e Efeito Fotoeléctrico2026-02-25T09:53:08Z<p>Ist23437: /* Efeito fotoeléctrico */</p>
<hr />
<div><big>Riscas espectrais e medição da constante de Planck</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivos do trabalho=<br />
Em física, a óptica ondulatória é o ramo da óptica que estuda fenómenos como a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Interfer%C3%AAncia interferência], a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Difra%C3%A7%C3%A3o difracção], a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Polariza%C3%A7%C3%A3o_eletromagn%C3%A9tica polarização], a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dispers%C3%A3o_(f%C3%ADsica) dispersão] e outros fenómenos para os quais a aproximação de raios da [https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica_geom%C3%A9trica óptica geométrica] não é válida. <br />
<br />
Pretende-se com este trabalho investigar e fazer uso de várias propriedades da óptica ondulatória, nomeadamente da separação angular das riscas de emissão de lâmpadas espectrais. Utilizando um goniómetro, iremos proceder à medição dos ângulos de refracção de um prisma e de difracção de uma rede, em função do comprimento de onda. A separação das riscas espectrais será também usada para verificar o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico] e obter uma medição da [https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck constante de Planck].<br />
<br />
Como objetivo associado, pretende-se tomar conhecimento e aprender a manusear e a realizar medidas correctamente com um instrumento óptico de precisão, o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Goni%C3%B4metro ''goniómetro'']. Este instrumento permite medir ângulos de desvio, por reflexão ou refracção de feixes de raios paralelos, com uma resolução inferior a um minuto de grau.<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Desvio da luz por um prisma==<br />
[[file:ES-prisma-vidro.png|thumb|upright=1 |Prisma de vidro.]]<br />
Em óptica designa-se por [https://pt.wikipedia.org/wiki/Prisma ''prisma''] um sólido transparente em forma de prisma triangular, homogéneo e isotrópico, caracterizado pelo ângulo do vértice \(\alpha\) e pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Refra%C3%A7%C3%A3o índice de refração] \(n\). Quando colocado no percurso de um feixe luminoso incidente, o prisma produz um desvio angular no feixe emergente que depende do ângulo de incidência e do comprimento de onda \(\lambda\) (Fig. 1). Na região da luz visível, verifica-se que os comprimentos de onda mais curtos são mais desviados, ou seja, a luz violeta é mais desviada que a luz vermelha.<br />
<br />
A Fig. 2 mostra este processo em maior detalhe. Um raio luminoso (traço vermelho contínuo) incide na face esquerda do prisma segundo um ângulo \(i_1\) (em relação à normal à superfície) e é refractado internamente segundo um ângulo \(t_1\). Após se propagar dentro do prisma, o raio incide na face direita segundo um ângulo \(i_2\) e é refractado para o exterior segundo um ângulo \(t_2\). <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |À diferença entre a direcção original e a desviada chamamos ''desvio angular'' \(\delta(\lambda)\).<br />
|}<br />
<br />
Pode provar-se que a função \(\delta(\lambda)\) apresenta um ponto estacionário (i.e., derivada nula) que é um mínimo se \(n > 1\). Mostra-se também que, nessa situação, as direções dos dois feixes são igualmente inclinadas em relação às faces do prisma, i.e. o ângulo de incidência \(i_1\) é igual ao ângulo de transmissão emergente \(t_2\). Nesse caso, o índice de refração, \(n\), pode ser calculado simplesmente através da expressão seguinte: <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>n= \frac{\sin \left( \frac{\alpha+ \delta_{min}}{2} \right) } {\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right)}</math><br />
|}<br />
<br />
em que \(\alpha\) e \(\delta_{min}\) são o ângulo do vértice do prisma e o ''ângulo de desvio mínimo'' referido, respectivamente. Uma vez que o índice de refracção depende do comprimento de onda \(\lambda\), podemos concluir que também o valor de \(\delta_{min}\) vai depender deste parâmetro: diferentes cores vão apresentar diferentes desvios mínimos. Este princípio permite, através da medição do desvio mínimo \(\delta_{min}(\lambda)\) para vários comprimentos de onda, determinar por ajuste a variação do índice de refracção \(n(\lambda)\) do material do prisma.<br />
<br />
{|<br />
| [[file:ES-prisma1.png|thumb|upright=1.35 |Fig. 1 - Desvio da luz por um prisma: um feixe de luz branca é desviado da sua direcção original de um ângulo que depende do ângulo de incidência e do comprimento de onda.]] || [[file:ES-prisma2.png|thumb|upright=1 |Fig. 2 - Definição de ângulo de desvio \(\delta(\lambda)\). A luz viaja da esquerda para a direita através de um prisma de índice de refracção \(n(\lambda)\) e ângulo de vértice \(\alpha\).]] <br />
|}<br />
<br />
==Rede de difracção==<br />
[[file:ES-rede-difraccao.png|thumb|upright=0.5 |Rede de difracção.]]<br />
Uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Difra%C3%A7%C3%A3o#Redes_de_difra%C3%A7%C3%A3o rede de difracção] é um componente óptico com uma estrutura microscópica periódica – por exemplo, pode ser composto por fendas paralelas (linhas) com espaçamentos da ordem do micrómetro. Caracteriza-se a rede pelo número \(N\) de linhas por mm, que é assim da ordem de várias centenas, ou mesmo superior. <br />
<br />
Tal como o prisma, a rede tem a propriedade de desviar a luz incidente em função do ângulo de incidência e do comprimento de onda \(\lambda\), só que duma forma muito mais apreciável. Um raio de luz de c.d.o. \(\lambda\) que incida com um ângulo \(\theta_i\) (relativamente à normal) numa rede de difracção com \(N\) linhas/mm é difractado segundo um ângulo \(\theta_d\), de acordo com<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\sin \theta_i+\sin\theta_d=m \lambda N</math><br />
|}<br />
<br />
em que \(m\) é a ''ordem de difracção''. A Fig. 3 ilustra a difracção para o caso em que o ângulo de incidência é nulo, isto é, o feixe incide segundo a normal à superfície. O feixe central, não desviado, é considerado como \(m=0\), enquanto que à esquerda e direita surgem simetricamente as ordens \(m=\pm 1, \pm 2\), etc., cada vez menos intensas.<br />
<br />
<br />
{|<br />
| [[file:ES-rede1.png|thumb|upright=1 |Fig. 3 - Desvio da luz por uma rede de difracção, com o surgimento de ordens de difracção.]]<br />
|}<br />
<br />
=Goniómetro de Babinet=<br />
[[file:ES-goniometer.png|thumb|upright=1 |Fig. 4 - Goniómetro de Babinet.]]<br />
O goniómetro é um instrumento que permite medir ângulos com grande precisão, e muito utilizado em óptica. O goniómetro de Babinet tem uma base central quase cilíndrica com uma plataforma que roda em torno do eixo vertical daquela, na qual é colocado o elemento dispersor da luz (prisma ou a rede de difracção) (Fig. 4). <br />
<br />
[[file:ES-Babinet.png|thumb|upright=0.75 |Fig. 5 - Esquema do goniómetro. FL -- fonte luminosa, F -- fenda, Lc -- lente convergente, Pt -- plataforma, Esc -- escala fixa na base, NL -- nónio acoplado ao suporte da luneta, NP -- nónio acoplado ao suporte do prisma, Obj -- objetiva, Oc -- ocular, Ret -- retículo.]]<br />
O goniómetro vem equipado com dois elementos ópticos: um ''colimador'' e uma ''luneta''. Ambos estão montados radialmente, o colimador fixo e a luneta podendo rodar em torno do eixo da base (Fig. 5). As posições angulares da plataforma (e, portanto, do prisma ou da rede) e da luneta podem ser lidas num limbo graduado por intermédio de nónios solidários, respetivamente com a plataforma e a luneta. Existem dois parafusos micrométricos, cada um associado a cada um dos nónios, que permitem regular e fazer leituras das posições angulares, com resolução de \(30^{\prime\prime}\) (meio minuto de grau).<br />
<br />
O ‘’colimador’’ é constituído por dois tubos cilíndricos concêntricos que se podem deslocar axialmente. Um deles possui uma fenda rectilínea, de largura variável por um parafuso, e que deve ser colocada na vertical (pode utilizar a mira da ocular depois de regulada) e encostada à fonte luminosa. O outro tubo tem no extremo oposto (virado para a plataforma) uma lente convergente, \(L_C\). O objectivo deste conjunto é produzir um feixe de raios paralelos na região da plataforma onde se coloca o prisma, rede, ou espelho. A fenda, se for relativamente estreita, vai funcionar como objecto linear e dar origem às riscas observadas.<br />
<br />
A luneta é constituída por dois elementos ópticos, uma lente convergente e uma ocular munida de retículo (dois fios cruzados perpendicularmente). A primeira lente produz no seu plano focal a imagem intermédia da fenda, que é projectada no plano do retículo e ampliada pela ocular. A ocular é regulada pelo observador, de modo a ver uma imagem focada da fenda.<br />
<br />
==Leitura de valores no goniómetro==<br />
O goniómetro tem uma escala central, fixa e solidária com a base, com valores entre 0\(^\circ\) e 360\(^\circ\). Entre cada grau há três divisões, ou seja, a escala está dividida em intervalos de 1/3 grau = 20 minutos de arco (20') (Fig. 6). Existem duas escalas rotativas, ambas com um nónio: <br />
* A '''escala de baixo''' está acoplada à '''luneta''' e permite ler o '''ângulo de desvio'''<br />
* A '''escala de cima''' está acoplada ao '''suporte''' e permite ler o '''ângulo de incidência'''<br />
Ambas as escalas móveis estão equipadas com nónios de 40 divisões, aumentando assim a precisão da leitura para 20'/40=0.5', ou seja, 30 segundos de arco. O uso desta precisão é facultativo nas medições feitas com a rede (dada a amplitude dos ângulos de desvio) mas é obrigatório para medições com o prisma.<br />
<br />
É importante perceber que, num goniómetro, os ângulos lidos são relativos e não absolutos: <br />
* o valor lido na escala de cima (ângulo de incidência) é arbitrário, uma vez que o suporte pode estar numa posição angular qualquer quando se posiciona o prisma / a rede. A única situação em que é relevante medir este ângulo é na determinação de ângulos de desvio em torno da configuração de desvio mínimo (ver abaixo)<br />
* o valor lido na escala de baixo (ângulo de desvio) é medido relativamente à direcção do feixe de quando não sofre desvio, isto é, quando não está nenhum elemento na plataforma.<br />
<br />
O procedimento para ler um dado valor usando o(s) nónio(s) é semelhante ao usado na craveira (Fig. 7). Começa-se por ler na escala fixa, com a maior precisão possível, o valor imediatamente à esquerda da linha do zero do nónio. A esse valor acrescenta-se o valor indicado pela divisão cuja linha coincide em ambas as escalas. Por exemplo, no caso desta figura temos:<br />
*Leitura da escala fixa: \(123^\circ+40'\)<br />
*Leitura da escala do nónio: \(6,5^{\prime}\) (ou \(6^{\prime}30^{\prime\prime}\))<br />
*Valor da leitura: \(123^\circ 46,5'\) (\(123^\circ 46^{\prime}30^{\prime\prime}\))<br />
Dado o tamanho diminuto destas divisões, é aconselhável fazer a leitura com o auxílio de uma lupa, ou registar a leitura através de fotografia digital (Fig. 8).<br />
<br />
{|<br />
| [[file:ES-gonio-nonio1.png|thumb|upright=0.9 |Fig. 6 - Escala fixa (menor divisão: 20') e escala rotativa, com nónio, do goniómetro.]] || [[file:ES-gonio-nonio2.png|thumb|upright=0.75 |Fig. 7 - Exemplo de leitura no goniómetro. ]] || [[file:ES-gonio-lente.png|thumb|upright=0.5 |Fig. 8 - Registo em fotografia digital auxiliado por lente da leitura do goniómetro.]]<br />
|}<br />
<br />
[[file:ES-Babinet3.png|thumb|upright=0.75 |Fig. 9 - Identificação dos diversos ângulos na refracção da luz por um prisma.]]<br />
<br />
Por outro lado, o valor que é lido nas duas escalas do goniómetro – escala da plataforma e escala da luneta – não coincide necessariamente com o ângulo de incidência ou o ângulo de desvio, respectivamente, o que pode levar a confusão no registo dos valores. A Fig. 9 ilustra esta situação para o caso da refracção no prisma. Por uma questão de consistência, iremos utilizar a seguinte convenção:<br />
<br />
* Os ângulos de incidência e transmissão nos componentes ópticos, relativamente às suas superfícies, são designados \(\theta_i\) e \(\theta_t\) respectivamente<br />
* Os ângulos lidos na escala da plataforma e na escala da luneta são designados \(\phi_i\) e \(\phi_t\) respectivamente; <br />
* O ângulo lido na escala da luneta na ausência de componente óptico é \(\phi_{i0}\); nessa configuração a luneta encontra-se perfeitamente alinhada com o colimador<br />
<br />
De novo considerando a Fig. 9, para o caso do prisma pode deduzir-se a seguinte relação entre \(\phi_{i0}\), \(\phi_t\) e o ângulo de desvio:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\delta=|\phi_{i0}-\phi_t|</math><br />
|}<br />
<br />
=Efeito fotoeléctrico=<br />
[[file:ES-pe-effect.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 10 - Ilustração do efeito fotoeléctrico.]]<br />
O efeito fotoeléctrico era já conhecido no final do séc. XIX, com a emissão de partículas carregadas da superfície de um metal quando iluminadas por luz intensa. Verificou-se também que a energia destas partículas, que mais tarde foram identificadas como electrões, não dependia da intensidade da luz incidente mas sim do seu comprimento de onda \(\lambda\). A explicação correcta do efeito fotoeléctrico foi proposta em 1905 por [https://pt.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein Albert Einstein]<ref>Pela qual recebeu o Prémio Nobel da Física em 1921.</ref> baseada na teoria de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Max_Planck Max Planck]<ref>Teoria Quântica da luz, pela qual recebeu o prémio Nobel em 1918.</ref> da emissão-absorção da luz. Para ambos, a luz seria formada pela emissão de corpúsculos (''quanta''), que se designaram ''fotões'', cada um com energia \(E\) dada por <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = h \nu</math><br />
|}<br />
em que \(h=6,626\,070\,15\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}\) é apropriadamente a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck ''constante de Planck''] e \(\nu\) a frequência da luz (\(\nu=c/\lambda\)). De acordo com esta [https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_corpuscular_da_luz teoria corpuscular da luz], quando um fotão incide sobre a superfície de um metal é absorvido por um átomo, e a sua energia é depositada num dos electrões de valência.<br />
Se o fotão incidente tiver mais energia que um dado limiar (\(W_0\) – ''Work function'', ou seja, [https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trabalho função trabalho]}, característica de cada metal), o electrão é libertado da rede metálica e emitido do sólido com uma energia cinética <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>K_e = h\nu - W_0.</math><br />
|}<br />
A intensidade da luz determina assim o ''número de fotolectrões'' emitidos, mas não a sua energia!<br />
<br />
A Fig. 10 representa esquematicamente o efeito. Os fotões incidentes, de energia \(h\nu\), libertam electrões próximos da superfície do sólido. Note-se que se a energia do fotão incidente não for suficiente (i.e. se \(E_f < W_0\)) não há emissão de fotoelectrões.<br />
<br />
A constante de Planck pode ser determinada expondo a superfície de um metal a luz monocromática, caracterizada por um comprimento de onda \(\lambda=c /\nu\) fixo e medindo a energia cinética máxima dos fotoelectrões emitidos. A Fig. 11 representa esquematicamente uma montagem experimental para a realização desta experiência. O método de medição é o seguinte:<br />
<br />
[[file:ES-planck_exp.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 11 - Diagrama esquemático da experiência do efeito fotoeléctrico. V - fonte de tensão (potencial retardador); C - condensador; K - cátodo; A - ânodo; F - filtro óptico.]]<br />
[[file:ES-pe-graph.png|thumb|upright=1.0 |Fig. 12 - Exemplo da determinação de \(h\) pelo efeito fotoeléctrico.]]<br />
<br />
* Um feixe de luz cuja frequência \(f\) é conhecida incide na superfície de um sólido metálico, designado ''cátodo'' (K), através de um ''ânodo'' (A) anelar ou transparente. Como cátodo, é normalmente utilizado um metal alcalino (potássio, sódio ou cádmio) pois neste caso os electrões de valência estão fracamente ligados ao núcleo (i.e. têm uma baixa função trabalho \(W_0\)). Como ânodo, utiliza-se por exemplo a platina (Pt). <br />
* O ânodo recebe parte dos fotoelectrões emitidos, dando origem a uma corrente \(I_f\) no circuito exterior. <br />
* Se aplicarmos um potencial eléctrico retardador \(V\) entre o ânodo e o cátodo a fotocorrente decresce, pois os fotoelectrões terão de vencer uma barreira de potencial electrostática \(U=e V\), onde \(e\) é a carga do electrão.<br />
* Para uma dada tensão crítica \(V_s\) (''potencial de paragem''), deixa de existir fotocorrente. <br />
<br />
Experimentalmente, pode usar-se uma fonte de tensão externa para aplicar o potencial de paragem. Mais simplesmente, pode usar-se um condensador para acumular a carga (\(q=C V\)) transportada pela própria corrente dos fotoelectrões (Fig. 11), aumentando gradualmente a diferença de potencial \(V\), até se atingir o valor \(V_s\), para o qual a corrente é auto-eliminada. Mas neste caso, é necessário utilizar um voltímetro de impedância de entrada muito elevada (\(> 10\textrm{ M}\Omega\)) ou um amplificador electrónico de instrumentação, que é o caso da nossa montagem experimental. Após medir o potencial de paragem, podemos assim escrever:<ref>Na realidade a função de trabalho tem de ser corrigida pelo potencial de contacto entre os dois metais, \(W=W_0 - \phi\), o que naturalmente não é importante para a determinação da constante de proporcionalidade.</ref><br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>e\,V_s= K_e^{max}= h \nu - W_O</math><br />
|}<br />
<br />
Medindo o potencial de paragem sucessivamente para luz incidente de várias frequências, podemos então fazer o gráfico de \(V_s\) vs. \(\nu\). Este gráfico deverá aproximar-se de uma recta de declive \(h/e\) e ordenada na origem \(-W_0/e\) (ver exemplo na Fig. 12).<br />
<br />
<br />
<br />
Desde a redefinição do [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades Sistema Internacional de Unidades] de 2019, a constante \(h\) é definida como tendo um valor exacto: \(h=6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \textrm{J}\cdot \textrm{s}\) ou, em unidades de [https://pt.wikipedia.org/wiki/El%C3%A9tron-volt electrão-volt], \(h=4.135\,667\,696\times 10^{-15}\,\textrm{eV}\cdot\textrm{s}\). No âmbito do SI, a constante de Planck é usada na definição do quilograma.<br />
<br />
==Figuras dos aparelhos da montagem experimental==<br />
<br />
{| <br />
| [[file:ES-planckPasco.png|thumb|upright=0.55|Fig. 13 - Montagem experimental do efeito fotoeléctrico – esquema]] || [[file:ES-Planck_setup.png|thumb|upright=1.0|Fig. 14 - Montagem experimental do efeito fotoeléctrico – fotografia.]]<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas. <br />
<br />
==Goniómetro==<br />
<br />
===Material utilizado===<br />
<br />
* goniómetro<br />
* fonte de luz incandescente (candeeiro)<br />
* luz espectral de Hg, He ou NA (ver [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/$IP/images/b/b9/ES-lampadas-espectrais.pdf documento com principais linhas de emissão])<br />
* prisma<br />
* rede de difração<br />
* nível graduado<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:UV-Hazard.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de lâmpadas espectrais. Estas lâmpadas são uma fonte de radiação ultravioleta, que tem efeitos nocivos nos olhos e na pele. Apesar das lâmpadas existentes no laboratório terem uma potência de emissão relativamente baixa, deve-se evitar a exposição desnecessária ou a observação directa e prolongada da sua luz. Em caso de dúvida, chame o docente.<br />
|}<br />
<br />
===Alinhamento do goniómetro===<br />
O alinhamento inicial do goniómetro é essencial para conseguir visualizar riscas correctamente, pelo que deve assegurar-se de que não omite nenhum dos passos abaixo. Se mesmo assim não consiga observar riscas, chame o docente.<br />
# Disponha o goniómetro em frente a uma fonte luminosa de luz incandescente. Entretanto, ligue também a fonte de luz espectral, de modo a permitir que se estabilize termicamente (10 a 15 minutos).<br />
# Comece por regular a ocular da luneta. Para isso, deve ver nitidamente com um olho os fios do retículo e simultaneamente com o outro olho ver um objecto no exterior da luneta, afastado a cerca de 30 cm. <br />
# Para regular a objectiva, observe agora um objecto no “infinito” (no laboratório, escolha um objecto o mais afastado possível) actuando sobre o parafuso da luneta. Regule de modo a observar o objecto e o retículo, bem focado e sem paralaxe. <br />
# Coloque a luneta alinhada de frente para o colimador e regule o parafuso deste, de modo a observar a fenda focada quando iluminada pela lâmpada espectral. <br />
# Com o nível de bolha, verifique a horizontalidade do goniómetro e da plataforma.<br />
# '''Muito importante''' – antes de começar as medições:<br />
#* Identifique as escalas dos ângulos usados para medir a orientação da plataforma e da luneta. Note que a escala de graus varia de 0\(^\circ\) a 360\(^\circ\) e depois recomeça, pelo que poderá ser necessário fazer a conversão adequada caso a gama de valores medidos contenha esta transição. <br />
#* Assegure-se de que compreende como estão relacionadas as duas escalas opostas e como funcionam os nónios. A leitura dos valores dos nónios é facilitada com o auxílio de uma lupa – use uma das lentes convergentes.<br />
<br />
===Rede de difracção===<br />
A variação do desvio angular com o c.d.o. é significativa no caso da rede de difracção, pelo que para esta medição basta usar a escala principal (em graus) do goniómetro.<br />
<br />
# <li value="7"> Antes de colocar a rede, comece por alinhar a luneta com o colimador e registe o valor do ângulo \(\phi_{t0}\) lido na escala da luneta.<br />
# Monte no centro da plataforma do goniómetro uma rede de difração de 600 linhas por milímetro, orientada com uma das faces de frente para o colimador, isto é, de modo a que o feixe incida o mais possível na perpendicular à superfície da rede.<br />
# Substitua a lâmpada incandescente pela fonte de luz espectral. Observe os raios difractados de várias cores, em 1.ª e 2.ª ordem. Meça e registe o ângulo de transmissão \(\phi_t\) de todas as riscas espectrais que conseguir observar, com a melhor precisão possível, à esquerda e à direita da ordem central \(m=0\).<br />
# Identifique os diversos comprimentos de onda e compare com os valores tabelados para a lâmpada espectral que está a utilizar. No final, retire a rede de difracção.<br />
<br />
===Prisma===<br />
A variação do desvio angular com o c.d.o. é muito ténue no caso do prisma, pelo que para esta medição é essencial recorrer à escala principal e ao nónio do goniómetro. <br />
<br />
# <li value="11"> Antes de colocar o prisma, volte a alinhar a luneta com o colimador e registe o valor do ângulo \(\phi_0\) lido na escala da luneta.<br />
# Rode a plataforma de modo a obter na respectiva escala a leitura \(\phi_i=0^\circ\).<br />
# Cuidadosamente, monte no centro da plataforma um prisma (de ângulo de vértice conhecido), orientado com uma das faces de frente para o colimador, isto é, de modo a que o feixe incida o mais possível na perpendicular à superfície do prisma.<br />
# Rode agora o prisma de modo a obter uma configuração semelhante à da Fig. 5, prestando atenção à orientação correcta do vértice e da direcção da luz refractada, que deverá ser visível mesmo sem o auxílio da luneta.<br />
# Na luneta, observe as várias cores refractadas. Se o instrumento estiver bem focado, deverá observar uma série de imagens coloridas da fenda (riscas verticais), uma por cada comprimento de onda. Escolha duas cores, bem afastadas. <br />
# Para uma das cores, rode suavemente a plataforma até encontrar a configuração para o qual se regista o desvio mínimo. Nessa posição, centre no retículo a risca observada e registe o valor de \(\phi_{i,min}\) (escala da plataforma), bem como o respectivo ângulo de transmissão \(\phi_{t,min}\) (escala da luneta).<br />
# Realize um conjunto de dez pares de leituras \((\phi_i,\phi_t)\): cinco para ângulos de incidência inferiores a \(\phi_{i,min}\) e cinco para ângulos de incidência superiores, preenchendo a tabela. Mais uma vez, note que para estas medições é essencial o uso do nónio em ambas as escalas.<br />
# Repita os pontos 17 e 18 para a risca da outra cor. <br />
# Para cada cor, elabore um gráfico dos ângulos de desvio \(\delta\) em função de \(\phi_i\) e anexe-os ao relatório. Deverá obter uma curva com um mínimo correspondente à geometria do ângulo de desvio mínimo.<ref>Ver exemplo de curva: https://www.desmos.com/calculator/0jkerecdx3</ref> Realize um ajuste polinomial e verifique que tanto o ângulo de desvio mínimo como a curva obtida são diferentes para cada cor.<br />
# Usando a primeira equação acima com \(\alpha=30^\circ\), determine o valor do índice de refracção para os dois c.d.o. que utilizou.<br />
<br />
==Efeito fotoeléctrico==<br />
===Parte I. Laboratório presencial===<br />
===Material utilizado===<br />
* Célula de Millikan acoplada a lâmpada espectral<br />
* Multímetro em modo tensão contínua (VDC)<br />
* Filtros amarelo e verde<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:UV-Hazard.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de lâmpadas espectrais. Estas lâmpadas são uma fonte de radiação ultravioleta, que tem efeitos nocivos nos olhos e na pele. Apesar das lâmpadas existentes no laboratório terem uma potência de emissão relativamente baixa, deve-se evitar a exposição desnecessária ou a observação directa e prolongada da sua luz. Em caso de dúvida, chame o docente.<br />
|}<br />
<br />
# Ligue a fonte da lâmpada de mercúrio e deixe estabilizar durante cerca de 10 minutos.<br />
# Enquanto espera, teste as tensões de cada uma das duas pilhas do amplificador da célula fotovoltaica.<br />
# Monte os componentes tal como indicado na Fig. 13.<br />
# Regule o conjunto de lente + rede de difracção de modo a obter as riscas de cor bem focadas na zona do detector. Alinhe a montagem da fenda para que a célula esteja bem iluminada e centrada na risca.<br />
# O que observa depois da rede é uma ''figura de difracção''. Esta figura é simétrica (esquerda/direita) no que respeita às posições das riscas e das intensidades observadas? Quantas ordens de difracção consegue identificar?<br />
# Para cada uma das riscas (cores) pressione o botão de RESET e depois registe o valor da tensão de paragem \(V_s\). Faça três medidas para cada risca. Note que para as riscas amarela e verde é necessário utilizar os respectivos filtros coloridos.<br />
# A tabela abaixo lista as riscas observáveis do espectro da lâmpada de Hg (Fig. 15). No material de apoio de LIFE pode encontrar informação sobre as [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/$IP/images/b/b9/ES-lampadas-espectrais.pdf principais riscas espectrais deste e de outros elementos].<br />
[[file:ES-mercurylamps.png|thumb|upright=1|Fig. 15 - Espectro da lâmpada de mercúrio.]]<br />
<center><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Espectro da lâmpada de Hg<br />
|-<br />
! Cor !! Freq. [THz] !! \(\lambda\) [nm]<br />
|-<br />
| Amarelo || 518.672 || 578<br />
|-<br />
| Verde || 548.996 || 546.074<br />
|-<br />
| Azul || 687.858 || 435.835<br />
|-<br />
| Violeta || 740.858 || 404.656<br />
|-<br />
| U.V. || 820.264 || 365.483<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
===Determinação da recta de ajuste===<br />
'''Ajuste manual''' – Usando o quadriculado disponibilizado, faça o gráfico de \(V_s\) em função da frequência \(\nu\). Escolha os eixos adequadamente e complete o gráfico (com título, unidades, escala, marcas, etc.). Deverá tentar aproveitar ao máximo a área útil da folha, de modo a minimizar as incertezas. Com uma régua, tente ajustar uma recta \((y=mx + b)\) aos pontos experimentais e determine o seu declive, a abcissa na origem (a.o.) e a suas incertezas. Consulte o ‘‘Material de apoio} de LIFE para este procedimento.<br />
<br />
'''Ajuste através de software''' -- Faça o ajuste numérico com o auxílio de software adequado (''Fitteia''}, calculadora gráfica, Gnuplot, etc.) <br />
<br />
<br />
===Parte II. Laboratório remoto===<br />
[[file:tau-planck.png|thumb|upright=1 |Fig. 16 - Procedimento para obter o tempo de carga característico \(\tau\).]]<br />
O laboratório remoto ''e-lab'' permite obter o potencial de paragem para diferentes riscas e diferentes níveis de intensidade, permitindo ainda registar a variação da curva ao longo do tempo. Esta componente pode ser realizada a partir de um computador pessoal, não sendo necessário estar no laboratório.<br />
<br />
# Para realizar a experiência remota, ao [https://elab.vps.tecnico.ulisboa.pt:8000/execution/create/5/5 elab] e siga as instruções transmitidas no MOOC de LIFE.<br />
# Para seguir o protocolo experimental, aceda a [http://www.elab.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php http://www.elab.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php] e seleccione a experiência "Determinação da Constante de Planck". Realize as medições e análises descritas na secção "Protocolo".<br />
# Para a componente da determinação do tempo de carga característico \(\tau\), use o seguinte procedimento:<br />
#* Escolha uma única das cores disponíveis e adquira as curvas de carga para diferentes valores da intensidade (percentagens de atenuação)<br />
#* Note que o valor-limite da tensão de paragem não depende da intensidade, pelo que se deve assegurar de que este valor é coerente entre os diversos gráficos. Se necessário, aumente o tempo de aquisição.<br />
#* Para cada gráfico, trace duas rectas (ver Fig. 16): uma '''horizontal''', à altura do valor-limite da tensão de paragem; outra '''oblíqua''', com inclinação dada pelo declive da curva no instante inicial em que começa a convergir. Ignore qualquer flutuação ou pico que ocorra antes deste instante.<br />
#* O '''tempo de carga característico \(\tau\)''' corresponde ao intervalo entre (i) o instante inicial e (ii) o ponto em que as duas rectas se intersectam. Este valor depende da intensidade da luz incidente, razão pela qual deve ser determinado para diferentes intensidades (mas apenas para uma única frequência).<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://phet.colorado.edu/sims/html/bending-light/latest/bending-light_en.html Bending light] Simulador do desvio da luz por um prisma<br />
* [https://www.geogebra.org/m/aqabnwpy Goniometer - Minimum deviation] Simulador de dispersão da luz por um goniómetro, com observação do ângulo mínimo<br />
* [https://www.stefanelli.eng.br/en/download-goniometer-protractor-angle/ Download – Angle or Goniometer Protractor] Simulador de leitura de valores num goniómetro - escolher o ficheiro ''Goniometer with vernier and resolution 5 ‘''<br />
* [https://phet.colorado.edu/en/simulations/photoelectric Photoelectric Effect] Simulador de efeito fotoeléctrico<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nT_F-F2xAKI (Vídeo) Goniómetro e ângulo de desvio mínimo] 30:00 - descrição geral da montagem; 35:00 - colocação do prisma; 59:00 - leitura da escala</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Instrumenta%C3%A7%C3%A3o_e_An%C3%A1lise_de_Sinais&diff=6363Instrumentação e Análise de Sinais2026-02-25T08:37:23Z<p>Ist23437: /* Procedimento */</p>
<hr />
<div>{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
Pretende-se com este trabalho introduzir os principais [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o instrumentos eléctricos] utilizados em laboratório de Física Experimental, desenvolvendo competências básicas de medição, observação e análise de sinais eléctricos. O objectivo central é compreender como medir e interpretar grandezas eléctricas em regimes contínuo (DC) e alternado (AC), bem como reconhecer as limitações e o comportamento não ideal dos dispositivos reais.<br />
<br />
=Introdução=<br />
A instrumentação eléctrica é omnipresente na Física Experimental, sendo fundamental em áreas tão diversas como a física de partículas e nuclear, nanotecnologias e matéria condensada, lasers e fotónica, fusão nuclear, e muitas outras. A grande maioria das experiências laboratoriais envolve, de forma directa ou indirecta, a geração, medição e análise de sinais eléctricos. Por essa razão, é importante adquirir familiaridade e confiança na utilização dos principais instrumentos eléctricos de laboratório, bem como na interpretação crítica das medições realizadas.<br />
<br />
Nesta experiência são utilizados os seguintes instrumentos:<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Oscilosc.C3.B3pio Osciloscópio digital] – permite observar sinais eléctricos dependentes do tempo, medir amplitudes, períodos e frequências, analisar formas de onda e estudar relações de fase entre sinais.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções] – utilizado para produzir sinais eléctricos controlados, com diferentes formas de onda (sinusoidal, quadrada, triangular), frequências e amplitudes, servindo como fonte de excitação para o estudo de circuitos e dispositivos eléctricos.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Mult.C3.ADmetro Multímetro] – instrumento versátil destinado à medição de grandezas eléctricas como tensões contínuas (DC), tensões alternadas (AC) e resistências eléctricas, sendo essencial para a caracterização quantitativa de componentes e sistemas.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Fonte_de_tens.C3.A3o Fonte de alimentação] – fornece tensões ou correntes controladas a um circuito, operando tipicamente em modos de tensão constante (CV) ou corrente constante (CC), permitindo estudar o comportamento de dispositivos reais sob diferentes condições de alimentação.<br />
<br />
Para informações gerais sobre o funcionamento e aplicação em laboratório destes e outros instrumentos, consulte a página [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o Instrumentos eléctricos e de medição].<br />
Para especificações detalhadas e guia de funcionamento dos equipamentos usados em LIFE, deverá ler atentamente (e '''antes da sessão de laboratório''') as instruções de [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias Instrumentos eléctricos - guias].<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety-small.png|upright=0.5]] || '''Conselhos de segurança''' <br />
Embora os instrumentos utilizados operem em regimes de baixa tensão e corrente, devem ser respeitadas algumas precauções básicas:<br />
* Verificar sempre as ligações '''antes de ligar''' a alimentação do circuito<br />
* Evitar curto-circuitos, em particular nas saídas da fonte de alimentação e do gerador de funções<br />
* Começar as medições com tensões e correntes baixas, aumentando-as gradualmente<br />
* Não alterar ligações com a fonte de alimentação ligada<br />
* Utilizar correctamente as escalas e terminais do multímetro<br />
* Evitar o aquecimento excessivo de componentes (por exemplo, lâmpadas ou resistências)<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Introdução==<br />
===Grandezas eléctricas===<br />
A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Eletricidade electricidade] diz respeito ao conjunto de fenómenos associados à presença, distribuição e movimento de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica cargas eléctricas]. <br />
* A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_el%C3%A9trica corrente eléctrica] corresponde ao movimento ordenado dessas cargas num meio material, sendo quantitativamente definida como a quantidade de carga que atravessa uma secção do condutor por unidade de tempo. <br />
* Esse movimento é induzido pela aplicação de uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_el%C3%A9trica tensão eléctrica], ou diferença de potencial eléctrico, que representa o trabalho realizado por unidade de carga entre dois pontos de um circuito. <br />
* A relação entre tensão e corrente depende das propriedades do meio, sendo caracterizada pela [https://pt.wikipedia.org/wiki/Resist%C3%AAncia_el%C3%A9trica resistência eléctrica], que expressa a oposição do material à passagem da corrente. <br />
* Em muitos condutores, para regimes de funcionamento adequados, estas grandezas obedecem à [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Ohm lei de Ohm], constituindo um modelo fundamental para a análise de circuitos eléctricos.<br />
* A potência eléctrica corresponde à taxa de transferência de energia num circuito eléctrico e, em regime contínuo ou resistivo, é dada pelo produto da tensão pela corrente (\(P=V\,I\)), permitindo quantificar a energia dissipada ou fornecida pelos dispositivos eléctricos.<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Grandeza<br />
! style="text-align:center;" | Nome da unidade<br />
! style="text-align:center;" | Símbolo<br />
! style="text-align:center;" | Relação com outras grandezas<br />
|-<br />
| Carga eléctrica (\(Q\))<br />
| style="text-align:center;" | coulomb<br />
| style="text-align:center;" | C<br />
| style="text-align:center;" | \(Q = I\,t\)<br />
|-<br />
| Corrente eléctrica (\(I\))<br />
| style="text-align:center;" | ampere<br />
| style="text-align:center;" | A<br />
| style="text-align:center;" | \(I = Q/t\)<br />
|-<br />
| Tensão eléctrica (\(V\))<br />
| style="text-align:center;" | volt<br />
| style="text-align:center;" | V<br />
| style="text-align:center;" | \(V = R\,I\)<br />
|-<br />
| Resistência eléctrica (\(R\))<br />
| style="text-align:center;" | ohm<br />
| style="text-align:center;" | \(\Omega\)<br />
| style="text-align:center;" | \(R = V/I\)<br />
|-<br />
| Potência eléctrica (\(P\))<br />
| style="text-align:center;" | watt<br />
| style="text-align:center;" | W<br />
| style="text-align:center;" | \(P = V\,I\)<br />
|}<br />
<br />
===Sinais eléctricos===<br />
[[Ficheiro:vpp.png|thumb|upright=1.0|Medição de tensão AC: definições. \(V_{pk}\) - tensão de pico; \(V_{pp}\) - tensão pico-a-pico; \(V_{RMS}\) - tensão eficaz)]]<br />
Um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_cont%C3%ADnua sinal contínuo (DC)] caracteriza-se por manter um valor de tensão constante no tempo. Em [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_alternada sinais alternados (AC)], é importante distinguir entre a tensão pico-a-pico \(V_{pp}\) e a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_eficaz|tensão eficaz] ou \(V_{RMS}\) (''root mean square''), sendo fundamental identificar correctamente qual delas está a ser medida ou ajustada nos instrumentos de laboratório:<br />
* A tensão pico-a-pico corresponde à diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do sinal e descreve apenas a sua variação total em amplitude <br />
* A tensão RMS é uma grandeza fisicamente mais relevante, pois está directamente relacionada com a potência dissipada numa carga resistiva. Em particular, uma tensão alternada com valor RMS igual a uma dada tensão contínua produzirá o mesmo efeito térmico nessa resistência. Para sinais sinusoidais, estas grandezas estão relacionadas por <br />
<br />
\(V_{RMS}=V_{pp}/(2\sqrt{2})\)<br />
<br />
Para outros tipos de onda (quadrada, triangular, etc) a relação de proporcionalidade é diferente. No caso mais geral, o seu valor pode ser obtido a partir do cálculo do integral <br />
<br />
<math><br />
V_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,\mathrm{d}t}<br />
</math><br />
<br />
onde \(v(t)\) é a tensão instantânea e \(T\) é o período do sinal. Ou seja, a relação \(V_{rms}/V_{pp}\) depende da forma da onda.<br />
<br />
Em sinais variáveis, é frequente existir uma componente contínua sobreposta à componente alternada, designada por ''offset'' (desvio). O ''offset'' corresponde ao valor médio do sinal e traduz um deslocamento vertical da forma de onda relativamente ao zero de tensão. Assim, um sinal pode apresentar variações periódicas em torno de um valor não nulo, combinando uma componente AC com uma componente DC. A distinção entre tensão DC, amplitude do sinal e ''offset'' é essencial para a correcta configuração do gerador de funções e para a interpretação das medições realizadas com o osciloscópio e o multímetro.<br />
<br />
===Sinais periódicos===<br />
<br />
[[Ficheiro:ondas-freq-amp-fase.png|thumb|upright=1.0|Características de ondas periódicas.]]<br />
<br />
Sinais periódicos são sinais eléctricos que se repetem regularmente no tempo, podendo ser caracterizados por um período \(T\) e pela frequência correspondente \(f=1/T\). Em laboratório, estes sinais são tipicamente produzidos com um gerador de funções, que permite gerar diferentes formas de onda periódicas — como sinais sinusoidais, quadrados e triangulares — com amplitudes, frequências e ''offset'' ajustáveis. A correcta identificação destes parâmetros é essencial para a análise e comparação de sinais eléctricos.<br />
<br />
Entre os sinais periódicos, o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Senoide sinal sinusoidal] assume um papel particular, por poder ser descrito matematicamente de forma simples e por surgir frequentemente em sistemas físicos. Para um sinal sinusoidal, além da amplitude, do período e da frequência, é introduzido o conceito de fase, que especifica o estado da oscilação num dado instante e permite quantificar o desfasamento entre dois sinais com a mesma frequência.<br />
<br />
[[Ficheiro:lissajous.png|thumb|upright=1.0|Exemplos de figuras de Lissajous.]]<br />
<br />
O osciloscópio é o instrumento adequado para visualizar as propriedades de sinais periódicos. No caso do osciloscópio ter mais do que um canal, podem comparar-se directamente as características dos sinais. O modo XY permite representar a tensão de um canal em função da tensão do outro, substituindo a base de tempos por um eixo de tensão. Quando dois sinais sinusoidais são aplicados aos eixos X e Y, surgem curvas designadas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous figuras de Lissajous], cuja forma depende da razão entre as frequências, da diferença de fase e das amplitudes relativas dos sinais. Estas figuras constituem uma ferramenta útil para a comparação de frequências e para a análise do desfasamento entre sinais periódicos: <br />
* Quando as frequências são iguais, a figura é uma elipse cuja orientação e excentricidade dependem do desfasamento; casos particulares correspondem a uma recta ou a um círculo.<br />
* Para frequências em razão racional simples, surgem figuras fechadas com padrões característicos, enquanto razões irracionais conduzem a figuras não estacionárias. <br />
Estas propriedades permitem utilizar as figuras de Lissajous para comparar frequências e determinar desfasamentos entre sinais.<br />
<br />
==Medições com sinais DC==<br />
===Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente===<br />
Nesta experiência estuda-se o comportamento não-óhmico de uma lâmpada incandescente, isto é, um dispositivo eléctrico cuja corrente ''não é'' proporcional à tensão aplicada. Ao contrário de uma resistência ideal, a lâmpada contém um filamento metálico que aquece significativamente quando percorrido por corrente, o que faz com que a sua resistência varie durante o funcionamento.<br />
<br />
O objectivo principal é caracterizar experimentalmente a relação entre a tensão \(V\) aplicada à lâmpada e a corrente \(I\) que a atravessa, e verificar que essa relação é não linear. Para isso, medem-se vários pares tensão-corrente para diferentes valores da tensão aplicada, calculando-se em cada ponto a resistência efectiva \(R=V/I\).<br />
<br />
Os dados experimentais são depois analisados através da representação gráfica de \(I\) em função de \(V\). Em particular, testa-se se os resultados podem ser descritos por uma lei de potência do tipo \(I\propto V^\alpha\), determinando-se o expoente \(\alpha\) por regressão.<br />
<br />
==Medições com sinais AC==<br />
===Sinais periódicos eléctricos===<br />
Nesta experiência estudam-se várias propriedades dos sinais AC, tais como a diferença entre tensão pico-a-pico e RMS, e a comparação entre sinais de frequências iguais, próximas, ou de quociente racional. Para isso, usam-se o gerador de funções, o multímetro e o osciloscópio.<br />
<br />
Para estudo e comparação de dois sinais periódicos é muito útil o uso do modo XY no osciloscópio e a observação das figuras de Lissajous resultantes. Assim, vamos observar e registar a forma destas curvas para vários quocientes racionais de frequências e diferenças de fase. As figuras de Lissajous são importantes porque permitem visualizar e determinar relações de fase e de frequência entre dois sinais periódicos, sendo amplamente usadas na caracterização de sinais eléctricos, na calibração de instrumentos e no estudo de sistemas oscilatórios.<br />
<br />
Por fim, vamos sobrepor duas frequências muito próximas e observar o aparecimento de batimentos no osciloscópio. Estes ocorrem quando se somam dois sinais periódicos de frequências muito próximas, \(f_1 \approx f_2\). O sinal resultante apresenta uma oscilação rápida, com frequência aproximadamente igual à média das duas frequências, cuja amplitude varia lentamente no tempo. Esta variação lenta da amplitude designa-se por batimento e ocorre com uma frequência igual à diferença das frequências dos dois sinais:<br />
<math><br />
f_{\mathrm{bat}} = |f_1 - f_2|.<br />
</math><br />
Fisicamente, os batimentos resultam da variação lenta da fase relativa entre os dois sinais. O fenómeno dos batimentos é importante porque permite medir pequenas diferenças de frequência e surge em múltiplos contextos, desde a acústica e afinação de instrumentos musicais até sistemas de comunicações, interferometria e metrologia de precisão.<br />
<br />
==Medição com sinais pulsados==<br />
===Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos===<br />
Nesta experiência vamos usar gerador de funções e o osciloscópio digital de dois canais para medir intervalos de tempo entre dois eventos e determinar a velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos. O gerador emite impulsos eléctricos que são transformados em impulsos mecânicos por um transdutor piezoelétrico, bem acoplado a uma das faces de uma dada amostra. Na face oposta coloca-se outro transdutor, que após receber o impulso mecânico o transforma num sinal eléctrico e o envia ao osciloscópio. O tempo de percurso é relativamente curto, já que as velocidades de propagação nos meios sólidos são da ordem de km/s. Para a sua determinação usamos o osciloscópio, observando o impulso emitido e o recebido depois de ter atravessado a amostra. Através do uso de cursores e medições automáticas, é possível realizar as medições de forma rápida e fiável.<br />
<br />
Para uma determinação mais precisa da velocidade, serão medidos os tempos de propagação através de amostras de diferentes comprimentos, efectuando-se um ajuste linear aos pontos tempo vs. comprimento. O declive deste ajuste, com unidades s/m, é o inverso da velocidade.<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# É essencial a '''leitura prévia''' do seguinte material:<br />
#* [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o Instrumentos eléctricos e de medição]<br />
#* [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias Instrumentos eléctricos - guias]<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório.<br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Na secção [[#Ligações externas|Ligações externas]] pode encontrar diversas simulações online que pode usar para praticar os conceitos a usar em laboratório.<br />
<br />
==Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente==<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Fonte_de_alimenta.C3.A7.C3.A3o_DC Fonte de tensão UNI-T modelo UDP1306C]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Mult.C3.ADmetro_de_bancada Multímetro de bancada UNI-T modelo UT8804E]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo banana<br />
* Lâmpada de 24 V<br />
<br />
===Procedimento===<br />
O objectivo é medir experimentalmente a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_caracter%C3%ADstica_corrente-tens%C3%A3o curva característica corrente–tensão] de uma lâmpada e determinar a resistência eléctrica efectiva em função do regime de funcionamento.<br />
<br />
# Antes de fazer qualquer conexão:<br />
#* Ligue a fonte de tensão DC e garanta que o botão "output" está desligado <br />
#* Coloque a fonte no modo CV, com uma tensão de 0.000 V<br />
#* Ajuste a corrente para um limite máximo de 150 mA<br />
#* Na primeira coluna da tabela do relatório preencha 5 valores de tensões entre 0.5 V e 5 V, e outros 5 valores entre 5 V e 24 V. Exemplo: 0.5, 1.0, 2.5, etc<br />
# Ligue em série a saída do gerador de tensão, a lâmpada, e o multímetro em modo corrente (entradas "A" e "COM").<br />
#* Antes de avançar, chame o professor para verificação<br />
# Ajuste a tensão de saída da fonte para o primeiro valor da lista. Pressione o botão output para o acender, espere 10 segundos e registe os valores de tensão (na fonte) e corrente (no multímetro) indicados, indicando as incertezas respectivas. Quando terminar, desligue o botão "output".<br />
# Repita o passo acima para cada um dos valores de tensão escolhidos. No caso de o regime da fonte de tensão mudar de CV para CC, não aumente mais a tensão.<br />
# Insira os dados da tabela no [https://sites.google.com/tecnico.ulisboa.pt/fitteia/home fitteia] e ajuste uma lei de potência do tipo \(I=aV^b\) (no fitteia: "y=a*pow(x, b)"), registando os respectivos coeficientes calculados. Anexe ao relatório uma cópia do gráfico obtido.<br />
<br />
==Sinais periódicos eléctricos==<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções UNI-T modelo UTG1000X]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Mult.C3.ADmetro_de_bancada Multímetro de bancada UNI-T modelo UT8804E]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Oscilosc.C3.B3pio_digital Osciloscópio digital Rohde & Schwarz modelo RTB2002]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo BNC e banana<br />
<br />
===Procedimento===<br />
<br />
'''i) Formas de onda'''<br />
# Desactive ambos os canais do gerador de funções e ligue a saída CH1 ao multímetro digital (entrada \(V\Omega Hz\)) usando um cabo BNC-banana.<br />
# No canal 1 do gerador de sinais, escolha uma onda sinusoidal (botão "Wave", opção "Sine") de frequência \(f_1\) no canal 1, da ordem dos kHz e uma tensão da ordem dos volt. Active o canal.<br />
# Registe a tensão \(V_{rms}\) lida no multímetro. <br />
# Repita a medição da tensão para outras formas de onda: quadrada e dente-de-serra (botão "Wave", opções "Square" ou "Ramp"). Quando terminar, desactive o canal 1.<br />
# Ligue agora a saída CH1 ao osciloscópio (entrada CH1) usando um conector BNC-BNC. Active o canal 1 do gerador.<br />
# Registe a tensão \(V_{pk-pk}\) lida no osciloscópio para as mesmas formas de onda: sinusoidal, quadrada e triangular.<br />
<br />
'''ii) Sinais com a mesma frequência'''<br />
# Ligue as saídas CH1 e CH2 do gerador de funções às respectivas entradas do osciloscópio.<br />
# Seleccione em ambos os canais do gerador uma onda sinusoidal.<br />
# Ajuste as amplitudes dos dois sinais para valores iguais, verificando no osciloscópio em modo temporal.<br />
# Garanta que ambos os canais do osciloscópio estão configurados com o mesmo ganho vertical.<br />
# Verifique que a pen USB está inserida no osciloscópio.<br />
# Ajuste o gerador de funções de modo a que os dois sinais tenham a mesma frequência, \(f_1=f_2\).<br />
# Coloque o osciloscópio em modo XY (Botão Menu: XY), de modo a visualizar simultaneamente a figura de Lissajous e os canais CH1 e CH2.<br />
# Varie a diferença de fase entre os dois sinais de 10 em 10 graus. Para isto, pode por exemplo manter a fase do CH1 (no gerador de funções) em 0 graus, enquanto varia a fase do CH2. Observe como varia a figura de Lissajous e a relação temporal entre os sinais sinusoidais.<br />
# Para os valores \(\phi=\)0, 90, e 180 graus, grave as formas de onda obtidas e anexe ao relatório. Comente sobre a variação observada.<br />
<br />
'''iii) Sinais com quociente racional de frequências'''<br />
# Escolha três quocientes racionais de inteiros baixos (por exemplo: \(3{:}1, 3{:}2, 5{:}4\)).<br />
# Para cada quociente escolhido, ajuste as frequências \(f_1\) e \(f_2\) de modo a respeitar a razão escolhida.<br />
# Como no ponto anterior, varie a diferença de fase entre os dois sinais de 10 em 10 graus. Observe como varia a figura de Lissajous e a relação temporal entre os sinais sinusoidais.<br />
# Para os valores \(\phi=\)0, 45 e 90 graus, grave as formas de onda obtidas e anexe ao relatório.<br />
# Na sua análise, compare o número de lóbulos e a forma da figura com o quociente de frequências utilizado.<br />
<br />
'''iv) Frequências muito próximas — batimentos'''<br />
# Volte a colocar a fase relativa a zero e ajuste os dois sinais do gerador para frequências muito próximas, \(f_1 \approx f_2\), da ordem do kHz e com uma diferença da ordem de 1/10 Hz.<br />
# Com o osciloscópio em modo XY, observe a rotação lenta da figura de Lissajous.<br />
# Meça o tempo \(T\) necessário para que a figura complete uma rotação completa e volte à mesma orientação. No caso de o tempo ser demasiado curto para permitir uma medição fiável, ajuste a diferença entre frequências para um valor mais baixo.<br />
# Use o valor obtido para determinar indirectamente a diferença de frequências usando \(\Delta f = \frac{1}{T}.\)<br />
# Coloque agora o osciloscópio no modo temporal (Botão Menu: Scope) e active a operação de soma dos dois canais (Botão Math: Add C1,C2).<br />
# Meça o período dos batimentos \(T_{bat}\) da onda azul. Terá que ajustar a escala horizontal do osciloscópio, já que o período dos batimentos é muito mais longo do que o período das ondas. Se necessário, pode "congelar" a imagem usando o botão "Run Stop". <br />
# Repita os passos acima para outro par de frequências com uma separação diferente.<br />
<br />
==Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos==<br />
<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções UNI-T modelo UTG1000X]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Oscilosc.C3.B3pio_digital Osciloscópio digital Rohde & Schwarz modelo RTB2002]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo BNC e adaptador-T BNC<br />
* Dois transdutores [https://pt.wikipedia.org/wiki/Piezoeletricidade piezoeléctricos]<br />
* Conjunto de cilindros metálicos de diversos comprimentos<br />
* Craveira<br />
<br />
===Procedimento===<br />
O objectivo é medir experimentalmente a velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos, através da medição do tempo de trajecto para diferentes comprimentos.<br />
[[Ficheiro:Ondas-mecanicas.png|thumb|upright=1.0|Montagem para medição da velocidade de ondas mecânicas.]]<br />
<br />
# Com a [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Craveira craveira], meça e registe o comprimento de cada cilindro metálico.<br />
# Estabeleça as ligações como se indica no esquema da figura. Ajuste o canal 1 do gerador de sinais para emitir uma onda quadrada de frequência 1 kHz e amplitude 20 Vpp. No osciloscópio, ligue essa saída ao canal 1 (usando o adaptador T) e ajuste o trigger para os seguintes parâmetros:<br />
#* Fonte: canal 1<br />
#* Tipo: Edge, sentido ascendente<br />
#* Nível: ajuste de modo a observar uma onda quadrada estável<br />
# Ligue o outro conector do adaptador T a um dos transdutores piezoeléctricos (T1 na figura). Ligue o outro transdutor (T2) ao canal 2 do osciloscópio e visualize os dois canais. Ajuste a ampliação temporal de modo a ver a região na vizinhança do sentido ascendente da onda quadrada, numa escala da ordem dos \(\mu\)s/div. A ampliação vertical deverá ser diferente da do canal 1, da ordem de 10-100 mV por divisão.<br />
# Para um melhor contacto entre os transdutores e os cilindros, espalhe uma pequena gota de líquido acoplante na face de cada transdutor. Evite contaminar outros objectos com o líquido, já que é bastante viscoso.<br />
# No osciloscópio, observe num canal o sinal emitido e noutro o sinal recebido (depois de ter atravessado o cilindro).<br />
# Para a medição do intervalo de tempo entre os dois sinais, é usada a função [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Instru.C3.A7.C3.B5es_de_opera.C3.A7.C3.A3o_4 Cursor do osciloscópio]. Usando os cursores verticais do osciloscópio (Botão Cursor: Type=Vertical), leia e registe o atraso entre os dois sinais. Repita para os outros cilindros. Estime o erro das observações, tendo em conta a escala e a forma dos sinais observados. Grave e anexe uma imagem que capte os dois sinais obtidos.<br />
# Quando terminar as medições, limpe os resíduos de líquido acoplante das faces dos sensores e das amostras e volte a colocá-los na caixa.<br />
# No fitteia, represente graficamente o tempo de propagação vs. comprimento e, por regressão linear, obtenha o melhor ajuste a uma recta. A partir desta, obtenha a velocidade de propagação da onda. Anexe ao relatório o gráfico obtido.<br />
<br />
===Registo de dados===<br />
No final de todas as experiências, copie para o seu computador os ficheiros que foram gravados na pen USB. Quando terminar, assegure-se de que volta a ligar a pen no osciloscópio.<br />
<br />
Em cada uma das imagens que anexar ao relatório, assegure-se de que é incluída a respectiva descrição.<br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://physics-zone.com/virtual-oscilloscope/ Virtual Oscilloscope] Simulador de gerador de sinais e osciloscópio<br />
* [https://academo.org/demos/wave-interference-beat-frequency/ Wave interference beat frequency] Simulador de interferência de duas ondas e batimentos<br />
* [https://academo.org/demos/lissajous-curves/ Lissajous curves] Simulador de figuras de Lissajous</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Thomson&diff=6362Experiência de Thomson2026-02-24T14:43:33Z<p>Ist23437: /* Modo de proceder */</p>
<hr />
<div><big>Determinação experimental da relação \(q/m\) do electrão</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a relação entre a carga e a massa \(q/m\) do [https://pt.wikipedia.org/wiki/El%C3%A9tron electrão]. Para esse fim, vamos estudar a deflexão de um feixe de raios catódicos sob o efeito de um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9trico campo eléctrico] e de um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]. Como as propriedades da trajectória do feixe dependem simultaneamente da massa \(m\) e da carga \(q\) das partículas que o constituem, a análise dessa trajectória permitirá determinar a razão \(q/m\).<br />
<br />
=Introdução=<br />
[[file:TH-crt.png|thumb|upright=0.75 |alt=Tubo de raios catódicos|Tubo de raios catódicos]]Os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Raio_cat%C3%B3dico raios catódicos] foram descobertos em 1879 por [https://pt.wikipedia.org/wiki/William_Crookes William Crookes] (1832-1919), mas foi [https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_John_Thomson Sir J. J. Thomson]<ref>Prémio Nobel da Física de 1906, em reconhecimento dos seus trabalhos teóricos e experimentais na condução da electricidade em gases.</ref> (1856-1940) que, em 1897, relatou as experiências por si realizadas e que permitiram determinar o valor daquela relação. Além disso, estas experiências provaram que os raios catódicos são constituídos por partículas de carga negativa, desde então designadas por [https://pt.wikipedia.org/wiki/El%C3%A9tron electrões]. Neste trabalho iremos reproduzir aproximadamente a experiência de Thomson.<br />
[[file:TH-JJThomson.jpeg|thumb|upright=0.75 |alt=Joseph John Thomson|Joseph John Thomson]]<br />
Thomson foi o primeiro a intuir que uma das unidades fundamentais do átomo era mais de mil vezes menor que o átomo, sugerindo a existência do electrão. Esta ideia teve origem precisamente nas suas explorações das propriedades dos raios cátodicos. <br />
<br />
Em inícios de 1897, Thomson tinha apenas indicações preliminares de que os raios cátodicos poderiam ser deflectidos por campos eléctricos, vindo depois a descobrir que os raios podiam ser desviados de forma fiável se o tubo de descarga fosse evacuado até uma pressão muito baixa. Ao comparar a deflexão dum feixe através de campos eléctricos e magnéticos, obteve as primeiras medições experimentais da relação entre a carga e a massa. O tubo de raios catódicos tornou-se assim o método clássico de medir a relação carga/massa do eletrão. A própria carga só foi medida na [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo] de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] em 1909.<br />
<br />
Em 1904, Thomson sugeriu um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_at%C3%B4mico_de_Thomson modelo do átomo] ("modelo de pudim de ameixa") na forma de uma esfera de matéria positiva dentro da qual as forças electrostáticas determinariam o posicionamento dos electrões. Para explicar a carga neutra global do átomo, propôs que os electrões estavam distribuídos num mar uniforme de carga positiva. <br />
<br />
Em 1906 Thomson recebeu o Prémio Nobel da Física pelos seus trabalhos sobre a condução de electricidade em gases. Dos seus muitos estudantes, sete vieram também a ganhar um Prémio Nobel: [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ernest_Rutherford Ernest Rutherford], [https://pt.wikipedia.org/wiki/William_Lawrence_Bragg Lawrence Bragg], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Glover_Barkla Charles Barkla], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Francis_William_Aston Francis Aston], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Thomson_Rees_Wilson Charles T. R. Wilson], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Owen_Willans_Richardson Owen Richardson] e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Edward_Appleton Edward Victor Appleton].<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Campo electrostático==<br />
[[file:fig1-thomson.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Definição dos termos para a geometria de duas cargas |Fig. 1 - Definição dos termos para a geometria de duas cargas]]<br />
Define-se como sendo o campo eléctrico criado por uma distribuição de cargas que ''não evolui no tempo''. Considere-se por exemplo o par de cargas \(q_1\) e \(q_2\) imersas no vácuo, à distância \(r_{12}\) e situadas respetivamente em \(P_1\)e \(P_2\) conforme ilustrado na figura à direita. A força eléctrica que sofre \(q_1\)no ponto \(P_1\)devido a \(q_2\)em \(P_2\)à distância \(r_{12}\)é<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{P_1,q_1} (q_2, r_{1 2} ) =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r_{1 2}^2} \hat{\mathbf{u}}_{r,P_1} = <br />
- \mathbf{F}_{P_2,q_2} (q_1, r_{1 2} )</math> || \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\varepsilon_0\) é designada por [https://pt.wikipedia.org/wiki/Permissividade permitividade eléctrica] do vácuo (\(\varepsilon_0 \simeq 8.854 \cdot 10^{-12}\)F/m) e \(\hat{\mathbf{u}}_{r,P_1}\) é o ''versor'' da distância \(r_{1 2}\) no ponto \(P_1\) (vector unitário dirigido de \(P_2\) para \(P_1\), ver figura).<br />
<br />
Dada uma carga \(q_1\) e um ponto \(P\) a uma distância \(r\), define-se o ''campo eléctrico'' \(\mathbf{E}\) em \(P\) como a força eléctrica por unidade de carga exercida sobre uma carga de prova ou teste, suposta unitária e positiva, colocada em \(P\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{E}_P (q_1, r) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \hat{\mathbf{u}}_{r, P} </math> || \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
As unidades do campo eléctrico são o newton/coulomb (N/C) ou, mais habitualmente, o volt/metro (V/m).<br />
<br />
As linhas de força eléctrica geradas por \(q_1\)são radiais e dirigidas para o exterior, se \(q_1>0\) ou para a origem, se \(q_1<0\). Se se colocasse em \(P\) a carga \(q\), a força eléctrica a que esta carga ficaria submetida devido a \(q_1\) seria \(\mathbf{F}_{P,q} (q_1, r ) = q \mathbf{E}\)<br />
ou mais simplesmente:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F} = q \mathbf{E}</math> || \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A expressão ''campo eléctrico'' também define a região do espaço onde se fazem sentir as acções eléctricas.<br />
<br />
==Potencial eléctrico==<br />
<br />
O campo eléctrico e a força eléctrica, que são entidades vectoriais, podem também ser calculadas a partir de uma função capaz de descrever o campo mas de natureza escalar, o ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9trico potencial eléctrico]'' \(V\). Para a situação referida acima, o potencial eléctrico criado no ponto \(P\) à distância \(r\) da carga \(q_1\) é calculado por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>V_P (q_1, r) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r} <br />
</math> || \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
No caso de uma distribuição de \(n\) cargas eléctricas \(q_i\) à distância \(r_i\) do ponto \(P\) onde se pretende calcular o campo eléctrico e o potencial, tem-se para o campo eléctrico<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{E}_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \sum_{i=1}^n \Big( \frac{q_i}{ r_i^2}\; \hat{\mathbf{u}}_{r_i , P} \Big)</math><br />
|}<br />
<br />
e para o potencial<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \sum_{i=1}^n \Big( \frac{q_i}{ r_i} \Big) \nonumber</math><br />
|}<br />
<br />
Recorde-se que se se considera uma única carga \(q_1\) positiva, as linhas de força eléctricas são radiais e dirigidas para o exterior. Essas linhas de força são perpendiculares às ''superfícies equipotenciais'', que são esféricas \((r = \mathrm{c.^{te}})\) na equação 4) e concêntricas com as cargas. Atendendo a (4) para dois raios \(r_1\) e \(r_2\) tal que \(r_2 > r_1\) temos \(V(r_2) < V(r_1)\) e portanto as linhas de força dirigem-se para os potenciais decrescentes.<br />
<br />
Considere-se agora o caso de duas cargas \(q_1 > 0\) e \(q_2 < 0\). Enquanto estiverem muito afastadas uma da outra, produzem campos radiais, respetivamente divergindo e convergindo. Se forem colocadas suficientemente próximas, as linhas de força vão sofrer a influência de ambas as cargas. Nesse caso, apenas uma única linha de força é linear, dirigida de \(q_1\) para \(q_2\). Todas as outras, que na vizinhança próxima de cada carga são radiais, acabam por infletir, dirigindo-se de \(q_1\) para \(q_2\). A figura das linhas de força tem simetria de revolução em torno do eixo que contém \(q_1\) e \(q_2\) e é esquematicamente a indicada na figura ao lado. Se o valor absoluto das duas cargas for o mesmo a figura é simétrica em relação ao plano mediatriz das cargas \(q_1\) e \(q_2\).<ref>Para mais exemplos ver https://phet.colorado.edu/en/simulations/charges-and-fields</ref><br />
<br />
[[file:fig2-thomson.jpg|thumb|upright=0.75 |alt=Linhas de força (a vermelho) e superfícies equipotenciais (a verde) de duas cargas simétricas|Fig. 2 - Linhas de força (a vermelho) e superfícies equipotenciais (a verde) de duas cargas simétricas]]<br />
<br />
Se se calcular a diferença de potencial entre dois pontos infinitamente próximos \(P\) e \(P+dP\) devida a uma carga \(q_1\) à distância \(r\) e \(r+dr\) respetivamente, a variação elementar do potencial \(V\) será:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>d V = V_{P+dP} - V_P = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r} \big( \frac{1}{r + dr} -\frac{1}{r} \big) \approx \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 } \big( - \frac{dr}{r^2} \big) = - \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}</math> || \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
Esta quantidade representa o trabalho elementar (energia) associado ao deslocamento da carga teste (\(q_t=1\,\)C), de \(P\) para \(P+dP\). Para \(q_1 > 0\) \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{dr}\) são paralelos e \(dV < 0\). Isto significa que não será necessário fornecer energia para realizar esse transporte. <br />
De facto, afastar a carga teste da carga \(q_1\) (i.e. ir de \(P\) para \(P+dP\)) leva a uma configuração de cargas \(q_1\) e \(q_t\) energeticamente mais favorável.<ref>Recorde-se que para um campo conservativo o trabalho realizado (que não depende do percurso mas só dos pontos inicial e final) tem um valor simétrico da variação de energia potencial.</ref><br />
<br />
No caso de uma diferença finita de potencial, isto é de uma diferença de potencial entre dois pontos \(P\) e \(Q\) ter-se-á que somar um número infinito de contribuições infinitesimais \(dV_i=- \mathbf{E}_i \cdot d\mathbf{r}_i\) no intervalo de \(P\) a \(Q\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>V_Q-V_P = \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^n dV_i = \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^n \underbrace{( - \mathbf{E}_i \cdot d\mathbf{r}_i )}_{\overline{PQ}} \rightarrow \int - \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}</math> || \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>V_P - V_Q = \int_{\overline{PQ}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}</math><br />
|}<br />
<br />
e porque \(\mathbf{E}\) (campo electrostático) é um campo conservativo, este integral não vai depender do percurso mas apenas dos pontos extremos, i.e.<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>V_P - V_Q = \int_P^Q \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}</math><br />
|}<br />
<br />
No caso particular de \(E\) ser homogéneo (por exemplo no interior de um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Capacitor condensador] plano) na região onde se situam os pontos \(P\) e \(Q\) afastados de uma distância \(D\) obtém-se <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>V_P - V_Q = \mathbf{E}\cdot\overline{PQ}=E\cdot D</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|} <br />
<br />
Para se compreender o significado físico de \(V_P\) imagine-se que \(Q\)é um ponto infinitamente afastado da região em que se faz sentir o campo eléctrico \(\mathbf{E}\).<br />
Nesse ponto, \(r \to \infty\) e \(V_Q=0\) obtendo-se \(V_P = \int_P^\infty \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}\) que permite a seguinte interpretação:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |O potencial eléctrico \(V_P\) é a energia necessária para transportar a carga-teste, sob acção de \(\mathbf{E}\) desde o ponto \(P\) até uma distância suficientemente grande tal que o campo eléctrico não se faça sentir.<br />
|}<br />
<br />
Assim, \(V\) tem sempre o significado de uma diferença de potencial.<br />
<br />
==Energia electrostática==<br />
A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_eletrost%C3%A1tica energia associada a uma configuração de cargas] \(q_1\) e \(q_2\) à distância \(r\) é dada por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>W = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r} = q_1 V_1 = q_2 V_2 = \frac{q_1 V_1 +q_2 V_2}{2} </math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(V_1\) é o potencial no ponto \(P_1\) criado pela carga \(q_2\) e \(V_2\) é o potencial no ponto \(P_2\) criado pela carga \(q_1\). <br />
<br />
Recordando a definição do potencial criado por \(n\) cargas eléctricas, podemos generalizar a equação (8) na seguinte forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math><br />
W_E = \frac{1}{2} \sum_{i,j (i\ne j)}^n \frac{ 1 }{4 \pi \varepsilon_0} \frac{ q_i \, q_j }{r_{i\,j}} = <br />
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n q_i \left( \sum_{j \ne i}^n \frac{ q_j }{4 \pi \varepsilon_0 \,r_{i\,j}} \right) =<br />
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n q_i V_i<br />
</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
que corresponde à energia necessária para criar a distribuição de cargas \(q_i\). A energia \(W_E\) é uma energia potencial porque está associada às posições que as diferentes cargas ocupam, podendo ser recuperada se as cargas se afastarem umas das outras até distâncias \(r \to \infty\).<br />
<br />
==Condutores eléctricos e dieléctricos. Condensador plano==<br />
<br />
[[file:fig-thomson-placa.jpg|thumb|upright=0.75 |alt=Distribuição da carga num condutor carregado |Fig. 3 - Distribuição da carga num condutor carregado]]<br />
[[file:fig-thomson-placas.jpg|thumb|upright=0.75 |alt=Distribuição de cargas e forma do campo eléctrico num condensador |Fig. 4 - Distribuição de cargas e forma do campo eléctrico num condensador]]<br />
<br />
Um material é um ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Condutor_el%C3%A9trico condutor eléctrico ideal]'' se as cargas eléctricas do mesmo sinal em excesso (que o carregam) são livres de se movimentarem no seu interior e à sua superfície. Quando pelo contrário isso não acontece, estamos perante um ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Diel%C3%A9trico dieléctrico]''.<br />
<br />
Assim, se carregarmos um condutor com uma carga total \(Q\) (se \(Q > 0\) significa que se retiram electrões ao condutor inicialmente neutro) essas cargas, todas do mesmo sinal, vão acomodar-se logo que se atinja o equilíbrio electrostático, em posições que são o mais afastadas possíveis umas das outras - ou seja, na superfície exterior do condutor, formando uma "folha" de carga. Pode mostrar-se que \(\mathbf{E}\) no interior do condutor é nulo (enquanto que num dieléctrico \(\mathbf{E} \ne 0\), e que a superfície do condutor é uma ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equipotencial equipotencial]'': logo, as linhas de força eléctricas são-lhe perpendiculares. Quando um material é carregado, a velocidade com que essas cargas se transferem de todo o volume do condutor para a superfície depende da sua [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condutividade_el%C3%A9trica condutividade eléctrica]. Se se considerar um condutor carregado, com geometria plana (uma placa), a carga vai distribuir-se sobre a superfície (Fig. 3).<br />
<br />
Ao colocar-se em frente uma placa idêntica, mas de carga simétrica, haverá uma redistribuição de carga que produz um campo eléctrico entre as placas (Fig. 4). Na região central, as linhas de força são paralelas entre si e o campo eléctrico é homogéneo. Nas extremidades as linhas de força emergem perpendicularmente à superfície mas encurvam, deixando de ser lineares. Esta geometria e distribuição de carga são características de um ''condensador plano''. A diferença de potencial entre as duas placas, afastadas de \(D\) corresponde a \(V_+ \,–\, V_-) = \mathbf{E}\cdot \mathbf{D}\) pois \(\mathbf{E}\) é homogéneo (eq. 7).<br />
<br />
Pode mostrar-se que \(\mathbf{E}\) fica confinado à região entre as placas. Se o condensador fosse infinito (sem extremidades) teríamos três regiões, as duas exteriores ao condensador, onde o campo \(\mathbf{E}\) é nulo, e entre as placas do condensador (também designadas por armaduras), onde o campo seria homogéneo.<br />
<br />
==Efeitos da corrente eléctrica estacionária criada por uma espira==<br />
[[file:fig-fio.jpg|thumb|upright=0.75 |alt=Campo magnético produzido por um fio onde passa corrente |Fig. 5 - Campo magnético produzido por um fio onde passa corrente]]<br />
[[file:fig-espira.jpg|thumb|upright=0.75 |alt=Campo magnético produzido por uma espira circular onde passa corrente |Fig. 6 - Campo magnético produzido por uma espira circular onde passa corrente]]<br />
<br />
A passagem da ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_el%C3%A9trica corrente eléctrica] estacionária'' (i.e. cuja intensidade não varia no tempo) por um condutor cria um campo magnético \(\mathbf{B}\), além de produzir calor por [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Joule efeito de Joule]. As ''linhas de força magnética'' produzidas por um fio condutor linear são circulares e concêntricas com o condutor (ver Fig. 5). O módulo de \(B\) num ponto a uma distância \(r\) do fio (medida na perpendicular ao fio) é<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>|\mathbf{B_{\mathrm{fio}}}| = \frac{\mu_0 I}{2\, \pi \, r} </math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
em que \(\mu_0 = 4 \pi× 10^{−7}\) H/m é a ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Permeabilidade_magn%C3%A9tica permeabilidade magnética]'' do vazio. <br />
<br />
No caso de uma espira <ref>Termo que designa um circuito eléctrico fechado</ref> circular, é criado um campo magnético cujas linhas de força são curvas fora do seu eixo e lineares apenas ao longo do eixo. Pode provar-se que o campo magnético criado por uma espira de raio \(r\) percorrida por uma corrente de intensidade \(I\) tem linhas de força fechadas <ref>Mesmo aquelas que só ''fecham'' no infinito</ref>, ao contrário das linhas de força eléctricas. Isto coloca em evidência que \(\mathbf{B}\) nos pontos do plano da espira, mas exteriores a esta, é antiparalelo a \(\mathbf{B}\) no eixo da espira (Fig. 6). O módulo de \(\mathbf{B}\) num ponto do eixo é dado por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>|\mathbf{B}_{\mathrm{espira}}| = \frac{\mu_0 I}{2 r} \sin^3 \alpha</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
==Força de Lorentz==<br />
[[file:Lorentz1.png|thumb|upright=0.75 |alt=Trajectória circular para uma carga positiva \(q\) com velocidade \(\mathbf{v}\)n a presença de um campo magnético \(\mathbf{B}_{in}\) perpendicular. |Fig. 7 - Trajectória circular para uma carga positiva \(q\) com velocidade \(\mathbf{v}\) na presença de um campo magnético \(\mathbf{B}_{in}\) perpendicular.]]<br />
<br />
[[file:Lorentz2.png|thumb|upright=0.75 |alt=Carga positiva \(q\) com velocidade \(\mathbf{v}\) na presença de um campo magnético \(\mathbf{B}_{in}\) e um campo eléctrico \(\mathbf{E}\). Os três vectores são mutuamente perpendiculares e estão orientados de modo que as forças têm sentidos opostos. |Fig. 8 - Carga positiva \(q\) com velocidade \(\mathbf{v}\) na presença de um campo magnético \(\mathbf{B}_{in}\) e um campo eléctrico \(\mathbf{E}\). Os três vectores são mutuamente perpendiculares e estão orientados de modo que as forças têm sentidos opostos.]]<br />
<br />
Uma carga \(q\) animada de uma velocidade \(\mathbf{v}\) numa região em que existe um campo de indução \(\mathbf{B}\) e um campo eléctrico \(\mathbf{E}\) fica submetida a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_de_Lorentz força de Lorentz]<ref>Se a força for apenas de origem magnética, <br />
\(\mathbf{F}_m = q\,(\mathbf{v} \times \mathbf{B})\) pode chamar-se também de ''Laplace''</ref> \(\mathbf{F}\) dada por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
A força de Lorentz resulta da soma vectorial de uma componente eléctrica e uma componente magnética, que verificam as seguintes propriedades:<br />
<br />
# a força eléctrica \(\mathbf{F_e}=q\mathbf{E}\) tem a mesma direção que o campo eléctrico; se a carga for positiva tem o mesmo sentido, se a carga for negativa tem o sentido oposto;<br />
# a força magnética \(\mathbf{F_e}=q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})\) é perpendicular ao plano definido pelos vectores velocidade \((\mathbf{v})\) e campo magnético \((\mathbf{B})\) sendo o seu sentido dado pela regra da mão direita para o produto externo de vectores.<br />
<br />
Quando a velocidade da carga e o campo magnético são mutuamente perpendiculares, a força magnética comporta-se como uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_centr%C3%ADpeta força centrípeta] e a carga descreve uma trajectória circular (Fig. 7}) cujo raio se pode calcular igualando os módulos das duas forças \((|\mathbf{F_c}|=|\mathbf{F_m})|\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\frac{v^2}{R}=qvB \rightarrow R=\frac{mv}{|q|B}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
Um caso particularmente interessante da força de Lorentz verifica-se quando a velocidade da carga é perpendicular tanto ao campo eléctrico como ao magnético. Nesse caso, as duas forças têm a mesma direcção. Adotando uma configuração como a representada na Fig. 8, as forças eléctrica e magnética têm sentidos opostos e podem compensar-se, anulando-se, o que permite que a carga mantenha uma trajectória rectilínea.<br />
<br />
Nesta repetição da experiência de Thomson iremos utilizar estes dois princípios para determinar a razão \(q/m\): <br />
* No primeiro conjunto de medidas, iremos determinar o raio da trajectória de um feixe de raios catódicos na presença de um campo magnético;<br />
* No segundo conjunto de medidas iremos equilibrar as forças de um campo magnético e um eléctrico de modo a que o feixe tenha uma forma aproximadamente rectilínea.<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
|[[file:fig3-ThomsomEquip.jpg|thumb|center|upright=0.63]]||[[file:fig4-Thomson_Electron-Deflection-Tube-D.jpg|thumb|center|upright=0.75]]<br />
|-<br />
| Fig. 9 - Montagem da Experiência de Thomson com tubo de raios catódicos, suporte e par de bobinas de Helmholtz || Fig. 10 - Trajectória dos electrões sujeitos a um campo magnético perpendicular<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento Experimental=<br />
==Material==<br />
<br />
[[file:fig5-TuboTL.jpg|thumb|upright=1.5 |alt=Diagrama do tubo utilizado e geometria das bobinas de Helmholtz. Esquerda: vista lateral, com ligações eléctricas do filamento e da tensão de aceleração. Direita: vista frontal, com ligações das bobinas de Helmholtz. |Fig. 11 - Diagrama do tubo utilizado e geometria das bobinas de Helmholtz. Esquerda: vista lateral, com ligações eléctricas do filamento e da tensão de aceleração. Direita: vista frontal, com ligações das bobinas de Helmholtz.]]<br />
<br />
# Ampola (tubo) de raios catódicos (TRC), [https://www.3bscientific.com/pt/tubo-de-desvio-de-eletrons-d-1000651-u19155-3b-scientific-teltron,p_1003_1349.html modelo TEL 525].<br />
# Fonte de alimentação do TRC, que inclui alimentação de alta tensão contínua (até 5000 V) aplicada aos eléctrodos (cátodo e ânodo) do TRC e alimentação de baixa tensão (6.3 V AC) para o filamento do TRC.<br />
# Par de bobinas que envolvem a parte esférica do TRC na configuração de Helmholtz (para criar um campo magnético aproximadamente homogéneo na região central entre as bobinas, de raio médio\(r\) e afastadas de \(r\)uma da outra).<br />
# Fonte de alimentação de corrente '''contínua''' (em modo DC) para as bobinas.<br />
# Multímetro (como amperímetro) a instalar em '''série''' no circuito das bobinas.<br />
<br />
O tubo TRC tem um filamento alimentado por 6.3 V (em modo AC). Este filamento emite electrões por efeito termiónico. <br />
Entre o ânodo e o cátodo do tubo estabelecem-se diferenças de potencial \( (V_+ - V_-) = U_a\). Os electrões são acelerados entre o cátodo e o ânodo e a sua velocidade à saída do ânodo é função de \(U_a\). <br />
<br />
Ao entrarem na parte esférica do tubo, os electrões podem ser deflectidos por ''campos magnéticos'' provocados por correntes que percorrem as bobinas de Helmholtz e/ou por ''campos eléctricos'' devidos à aplicação de tensão entre duas placas paralelas ligadas aos pontos 1 e 2 do diagrama (ver figura).<br />
<br />
O campo de indução magnética \(B\) devido às bobinas de Helmholtz é aproximadamente uniforme na região central entre as bobinas, e para uma corrente \(I\) é dado por <ref>No sistema SI, a unidade de campo magnético é o Tesla (T), sendo <br />
1 T=1 Weber/m\(^2\).</ref>:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>B = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} \cdot \frac{\mu_0 n I}{r} = \frac{32 \pi n }{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{I}{r} \cdot 10^{-7}\textrm{ Weber/m}^{2}</math>|| \(\quad\quad (14)\)<br />
|}<br />
onde \(n = 320\) espiras, \(r= 0.068\) m e \(r = d/2\). Note que o valor \(d\) nesta fórmula se refere ao ''diâmetro'' das bobinas (ver Fig. 11). Mais abaixo é usada a mesma designação para a distância entre as placas da âmpola, valor que deve ser medido.<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 5 kV) e correntes eléctricas elevadas (até 1 A). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Determinação de \(q/m\) por deflexão magnética==<br />
===Trajectórias de partículas carregadas sujeitas a um campo magnético constante===<br />
Quando se aplica uma tensão \(U_a\)entre o ânodo e o cátodo (sem aplicar tensão entre os pontos 1 e 2 representados na figura acima), pode admitir-se que a velocidade final \(v\) dos electrões ao abandonarem o ânodo é dada pela seguinte expressão <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q\, U_a = \frac{1}{2} m \, v^2</math>|| \(\quad\quad (15)\)<br />
|}<br />
em que \(q\) é a carga do electrão e\(m\)a sua massa.<br />
<br />
Os electrões entram, com velocidade horizontal, na parte esférica do tubo, onde são deflectidos pelo campo magnético \(\mathbf{B}\) (com \(\mathbf{B}\perp\mathbf{v})\). A sua trajectória passa então a ser circular, com raio \(R\) verificando-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>B \, q\, v = \frac{m\,v^2}{R} </math>|| \(\quad\quad (16)\)<br />
|}<br />
As trajectórias dos electrões podem ser visualizadas numa escala graduada feita de material fluorescente. A origem do reticulado está situada aproximadamente no início da zona sujeita ao campo \(\mathbf{B}\). Combinando (15) e (16) obtém-se uma expressão para a relação \(q/m\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\frac{q}{m} = \frac{2\, U_a}{B^2\,R^2} </math>|| \(\quad\quad (17)\)<br />
|}<br />
<br />
em que:<br />
*\(U_a\) – impõe-se e mede-se diretamente no voltímetro da fonte de tensão.<br />
*\(B\) – calcula-se, para uma dada corrente \(I\) a partir da expressão (14).<br />
*\(R\) – determina-se por leitura no écran fluorescente, das coordenadas de posição \(y\) (horizontal) e \(z\) (vertical) de pontos do feixe. Por construção do tubo verifica-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>R = \frac{y^2 + z^2}{2 \, z} </math>|| \(\quad\quad (18)\)<br />
|}<br />
<br />
===Modo de proceder===<br />
<br />
# Montar os circuitos eléctricos de acordo com a Fig. 11 (Secção [[Experiência_de_Thomson#Material|Material]]). Note que as ligações das bobinas devem garantir que a corrente eléctrica é percorrida no mesmo sentido, em ambas: para isso, deve usar os conectores de modo a que a corrente percorra o sentido \(A\rightarrow Z\) numa bobina e o sentido inverso na outra bobina. Chamar o docente para verificação, '''antes de ligar os aparelhos'''.<br />
# Verifique qual é o valor máximo da tensão disponível na fonte de alta tensão. Escolha um valor ligeiramente inferior.<br />
# Ajustar a corrente das bobinas de Helmholtz \(I_+\) de modo a que a circunferência passe por um ponto bem determinado. <ref>Utilize de preferência os maiores valores possíveis para o raio \(R\) de forma a que o feixe se encontre na zona central entre as bobines.</ref> Calcule \(R\). Inverta o sentido da corrente e determine um novo \(I_-\) para o mesmo raio \(R\). Tomando \(I_{\textrm{medio}} = (I_+ + I_-)/2\), calcule o campo magnético \(B_{\textrm{medio}}\). Utilize a semi-diferença, \((I_+ - I_-)/2\) para a estimativa das incertezas \(\delta I_{\textrm{medio}}\) e \(\delta B_{\textrm{medio}}\).<br />
# Repita o ponto 2) para quatro novos valores de\(R\). <br />
# Repetir 1), 2) e 3) e para os mesmos \(R\) para dois valores inferiores de tensão, afastados por exemplo de 500 V entre si.<br />
# Apresente os valores de \(q/m\) para os 15 pares de determinações. Calcule a média desses valores, assim como a incerteza da média.<br />
# Para um dos pares de pontos, estime a contribuição relativa das incertezas das grandezas que mediu para a incerteza total. Compare este erro assim calculado com a incerteza calculada a partir dos 15 valores calculados. Apresente para cada raio o valor de \(q/m\) assim como o erro associado a cada uma das determinações. Compare e comente os resultados.<br />
# Apresente um valor final para \(q/m\), tendo em conta que se trata de uma ''combinação de resultados'' (e não uma média simples). Estime a precisão e a exatidão obtida nas determinações que realizou.<br />
<br />
==Determinação de \(q/m\) por deflexão magnética e eléctrica quase compensada==<br />
<br />
===Situação de equilíbrio entre as interacções eléctrica e magnética===<br />
<br />
Se, na força de Lorentz, os dois termos se equilibrarem — ou seja, se as forças electrostática e magnética forem de igual módulo e de sentidos opostos — a carga \(q\) não é desviada da sua trajectória. No nosso caso, em que \(\mathbf{B} \perp \mathbf{v}\), a condição de equilíbrio é dada por <math> |\mathbf{E}| = v\, |\mathbf{B}|</math>.<br />
<br />
===Montagem a efectuar===<br />
<br />
[[file:fig6-TuboTLE.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Deflexão magnética e eléctrica quase compensada: ligações eléctricas do filamento, da tensão de aceleração e das placas. |Fig. 12 - Deflexão magnética e eléctrica quase compensada: ligações eléctricas do filamento, da tensão de aceleração e das placas.]]<br />
<br />
Aproveitando a montagem já efectuada no ponto anterior, ligue agora os terminais no topo e na base da âmpola (ver figura) à fonte de alta tensão que gera a tensão \(U_a\) produzindo assim na região do écran fluorescente um campo eléctrico. Fazendo com que as bobinas sejam percorridas por uma corrente com intensidade e "sentido" convenientes, podemos obter uma força de origem magnética anti-paralela à provocada pelo campo \(\mathbf{E}\). Deste modo, a trajectória visualizada no écran será aproximadamente retilínea, sendo a condição de equilíbrio dada por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> |\vec{E}| = v\, |\vec{B}| = \frac{U_a}{d}</math>|| \(\quad\quad (19)\)<br />
|}<br />
onde \(d\) é a distância entre as placas do écran fluorescente e \(U_a\) a tensão entre as mesmas, que é como se disse igual à tensão de aceleração. A equação acima permite-nos calcular a velocidade dos electrões, uma vez que podemos conhecer os valores de todas as outras variáveis aí intervenientes. O conhecimento de \(v\) permite-nos calcular \(q/m\) tendo em conta que, segundo <math>qU_a=mv^2/2</math>, deverá ser:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\frac{q}{m} = \frac{v^2}{2} \; \frac{1}{U_a}<br />
</math>|| \(\quad\quad (20)\)<br />
|}<br />
<br />
Eliminando o termo <math>v</math> obtemos finalmente:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\frac{q}{m} = \frac{1}{2} \; \frac{U_a}{B^2d^2}<br />
</math>|| \(\quad\quad (21)\)<br />
|}<br />
<br />
===Modo de proceder===<br />
<br />
# Para cada uma das três tensões de trabalho \(U_a\)já referidas, aplicadas agora também às placas que produzem o campo eléctrico, determine o valor de \(B\) (a partir de \(I\) que conduz ao anulamento das forças de origem eléctrica e magnética.<br />
# Inverta o sentido dos campos eléctricos e magnéticos e repita a determinação do valor de \(B\). Considere que para um dos sentidos obteve \(I_{max}\) e para o outro obteve \(I_{min}\).<br />
# Apresente os valores de \(q/m\). Analise as diferentes contribuições para a incerteza total. Estime o valor da relação carga/massa do electrão, assim como a precisão e a exatidão obtida nas determinações que realizou.<br />
# Observe a trajectória quando as forças de origem eléctrica e magnética não se compensam. Comente.<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=5YYVnHN7xwM Charge to mass ratio of an electron] Animação da experiência de Thomson<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=ZxtPGN8Ipa0 Motion of electric charges in a uniform magnetic field] Animação do movimento de cargas em campos magnéticos uniformes<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=q4Hjqvyv-Ek Deflection of an electron beam in a magnetic field] Deflexão de um feixe de raios catódicos num campo magnético</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6361Experiência de Millikan2026-02-23T23:04:36Z<p>Ist23437: /* Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || 6,00±0,05 mm || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccffcc;"<br />
| '''Atenção:''' A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
* caso não consiga ver gotas com qualidade suficiente, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, que deverá ser o majorante entre (i) o maior dos desvios ao valor médio e (ii) a maior das incertezas individuais.</li><br />
<li> Use os valores obtidos para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Thomson&diff=6360Experiência de Thomson2026-02-23T17:27:48Z<p>Ist23437: /* Determinação de \(q/m\) por deflexão magnética e eléctrica quase compensada */</p>
<hr />
<div><big>Determinação experimental da relação \(q/m\) do electrão</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a relação entre a carga e a massa \(q/m\) do [https://pt.wikipedia.org/wiki/El%C3%A9tron electrão]. Para esse fim, vamos estudar a deflexão de um feixe de raios catódicos sob o efeito de um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9trico campo eléctrico] e de um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico campo magnético]. Como as propriedades da trajectória do feixe dependem simultaneamente da massa \(m\) e da carga \(q\) das partículas que o constituem, a análise dessa trajectória permitirá determinar a razão \(q/m\).<br />
<br />
=Introdução=<br />
[[file:TH-crt.png|thumb|upright=0.75 |alt=Tubo de raios catódicos|Tubo de raios catódicos]]Os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Raio_cat%C3%B3dico raios catódicos] foram descobertos em 1879 por [https://pt.wikipedia.org/wiki/William_Crookes William Crookes] (1832-1919), mas foi [https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_John_Thomson Sir J. J. Thomson]<ref>Prémio Nobel da Física de 1906, em reconhecimento dos seus trabalhos teóricos e experimentais na condução da electricidade em gases.</ref> (1856-1940) que, em 1897, relatou as experiências por si realizadas e que permitiram determinar o valor daquela relação. Além disso, estas experiências provaram que os raios catódicos são constituídos por partículas de carga negativa, desde então designadas por [https://pt.wikipedia.org/wiki/El%C3%A9tron electrões]. Neste trabalho iremos reproduzir aproximadamente a experiência de Thomson.<br />
[[file:TH-JJThomson.jpeg|thumb|upright=0.75 |alt=Joseph John Thomson|Joseph John Thomson]]<br />
Thomson foi o primeiro a intuir que uma das unidades fundamentais do átomo era mais de mil vezes menor que o átomo, sugerindo a existência do electrão. Esta ideia teve origem precisamente nas suas explorações das propriedades dos raios cátodicos. <br />
<br />
Em inícios de 1897, Thomson tinha apenas indicações preliminares de que os raios cátodicos poderiam ser deflectidos por campos eléctricos, vindo depois a descobrir que os raios podiam ser desviados de forma fiável se o tubo de descarga fosse evacuado até uma pressão muito baixa. Ao comparar a deflexão dum feixe através de campos eléctricos e magnéticos, obteve as primeiras medições experimentais da relação entre a carga e a massa. O tubo de raios catódicos tornou-se assim o método clássico de medir a relação carga/massa do eletrão. A própria carga só foi medida na [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo] de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] em 1909.<br />
<br />
Em 1904, Thomson sugeriu um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_at%C3%B4mico_de_Thomson modelo do átomo] ("modelo de pudim de ameixa") na forma de uma esfera de matéria positiva dentro da qual as forças electrostáticas determinariam o posicionamento dos electrões. Para explicar a carga neutra global do átomo, propôs que os electrões estavam distribuídos num mar uniforme de carga positiva. <br />
<br />
Em 1906 Thomson recebeu o Prémio Nobel da Física pelos seus trabalhos sobre a condução de electricidade em gases. Dos seus muitos estudantes, sete vieram também a ganhar um Prémio Nobel: [https://pt.wikipedia.org/wiki/Ernest_Rutherford Ernest Rutherford], [https://pt.wikipedia.org/wiki/William_Lawrence_Bragg Lawrence Bragg], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Glover_Barkla Charles Barkla], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Francis_William_Aston Francis Aston], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Thomson_Rees_Wilson Charles T. R. Wilson], [https://pt.wikipedia.org/wiki/Owen_Willans_Richardson Owen Richardson] e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Edward_Appleton Edward Victor Appleton].<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Campo electrostático==<br />
[[file:fig1-thomson.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Definição dos termos para a geometria de duas cargas |Fig. 1 - Definição dos termos para a geometria de duas cargas]]<br />
Define-se como sendo o campo eléctrico criado por uma distribuição de cargas que ''não evolui no tempo''. Considere-se por exemplo o par de cargas \(q_1\) e \(q_2\) imersas no vácuo, à distância \(r_{12}\) e situadas respetivamente em \(P_1\)e \(P_2\) conforme ilustrado na figura à direita. A força eléctrica que sofre \(q_1\)no ponto \(P_1\)devido a \(q_2\)em \(P_2\)à distância \(r_{12}\)é<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{P_1,q_1} (q_2, r_{1 2} ) =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r_{1 2}^2} \hat{\mathbf{u}}_{r,P_1} = <br />
- \mathbf{F}_{P_2,q_2} (q_1, r_{1 2} )</math> || \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\varepsilon_0\) é designada por [https://pt.wikipedia.org/wiki/Permissividade permitividade eléctrica] do vácuo (\(\varepsilon_0 \simeq 8.854 \cdot 10^{-12}\)F/m) e \(\hat{\mathbf{u}}_{r,P_1}\) é o ''versor'' da distância \(r_{1 2}\) no ponto \(P_1\) (vector unitário dirigido de \(P_2\) para \(P_1\), ver figura).<br />
<br />
Dada uma carga \(q_1\) e um ponto \(P\) a uma distância \(r\), define-se o ''campo eléctrico'' \(\mathbf{E}\) em \(P\) como a força eléctrica por unidade de carga exercida sobre uma carga de prova ou teste, suposta unitária e positiva, colocada em \(P\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{E}_P (q_1, r) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \hat{\mathbf{u}}_{r, P} </math> || \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
As unidades do campo eléctrico são o newton/coulomb (N/C) ou, mais habitualmente, o volt/metro (V/m).<br />
<br />
As linhas de força eléctrica geradas por \(q_1\)são radiais e dirigidas para o exterior, se \(q_1>0\) ou para a origem, se \(q_1<0\). Se se colocasse em \(P\) a carga \(q\), a força eléctrica a que esta carga ficaria submetida devido a \(q_1\) seria \(\mathbf{F}_{P,q} (q_1, r ) = q \mathbf{E}\)<br />
ou mais simplesmente:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F} = q \mathbf{E}</math> || \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A expressão ''campo eléctrico'' também define a região do espaço onde se fazem sentir as acções eléctricas.<br />
<br />
==Potencial eléctrico==<br />
<br />
O campo eléctrico e a força eléctrica, que são entidades vectoriais, podem também ser calculadas a partir de uma função capaz de descrever o campo mas de natureza escalar, o ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9trico potencial eléctrico]'' \(V\). Para a situação referida acima, o potencial eléctrico criado no ponto \(P\) à distância \(r\) da carga \(q_1\) é calculado por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>V_P (q_1, r) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r} <br />
</math> || \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
No caso de uma distribuição de \(n\) cargas eléctricas \(q_i\) à distância \(r_i\) do ponto \(P\) onde se pretende calcular o campo eléctrico e o potencial, tem-se para o campo eléctrico<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{E}_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \sum_{i=1}^n \Big( \frac{q_i}{ r_i^2}\; \hat{\mathbf{u}}_{r_i , P} \Big)</math><br />
|}<br />
<br />
e para o potencial<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \sum_{i=1}^n \Big( \frac{q_i}{ r_i} \Big) \nonumber</math><br />
|}<br />
<br />
Recorde-se que se se considera uma única carga \(q_1\) positiva, as linhas de força eléctricas são radiais e dirigidas para o exterior. Essas linhas de força são perpendiculares às ''superfícies equipotenciais'', que são esféricas \((r = \mathrm{c.^{te}})\) na equação 4) e concêntricas com as cargas. Atendendo a (4) para dois raios \(r_1\) e \(r_2\) tal que \(r_2 > r_1\) temos \(V(r_2) < V(r_1)\) e portanto as linhas de força dirigem-se para os potenciais decrescentes.<br />
<br />
Considere-se agora o caso de duas cargas \(q_1 > 0\) e \(q_2 < 0\). Enquanto estiverem muito afastadas uma da outra, produzem campos radiais, respetivamente divergindo e convergindo. Se forem colocadas suficientemente próximas, as linhas de força vão sofrer a influência de ambas as cargas. Nesse caso, apenas uma única linha de força é linear, dirigida de \(q_1\) para \(q_2\). Todas as outras, que na vizinhança próxima de cada carga são radiais, acabam por infletir, dirigindo-se de \(q_1\) para \(q_2\). A figura das linhas de força tem simetria de revolução em torno do eixo que contém \(q_1\) e \(q_2\) e é esquematicamente a indicada na figura ao lado. Se o valor absoluto das duas cargas for o mesmo a figura é simétrica em relação ao plano mediatriz das cargas \(q_1\) e \(q_2\).<ref>Para mais exemplos ver https://phet.colorado.edu/en/simulations/charges-and-fields</ref><br />
<br />
[[file:fig2-thomson.jpg|thumb|upright=0.75 |alt=Linhas de força (a vermelho) e superfícies equipotenciais (a verde) de duas cargas simétricas|Fig. 2 - Linhas de força (a vermelho) e superfícies equipotenciais (a verde) de duas cargas simétricas]]<br />
<br />
Se se calcular a diferença de potencial entre dois pontos infinitamente próximos \(P\) e \(P+dP\) devida a uma carga \(q_1\) à distância \(r\) e \(r+dr\) respetivamente, a variação elementar do potencial \(V\) será:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>d V = V_{P+dP} - V_P = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r} \big( \frac{1}{r + dr} -\frac{1}{r} \big) \approx \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 } \big( - \frac{dr}{r^2} \big) = - \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}</math> || \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
Esta quantidade representa o trabalho elementar (energia) associado ao deslocamento da carga teste (\(q_t=1\,\)C), de \(P\) para \(P+dP\). Para \(q_1 > 0\) \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{dr}\) são paralelos e \(dV < 0\). Isto significa que não será necessário fornecer energia para realizar esse transporte. <br />
De facto, afastar a carga teste da carga \(q_1\) (i.e. ir de \(P\) para \(P+dP\)) leva a uma configuração de cargas \(q_1\) e \(q_t\) energeticamente mais favorável.<ref>Recorde-se que para um campo conservativo o trabalho realizado (que não depende do percurso mas só dos pontos inicial e final) tem um valor simétrico da variação de energia potencial.</ref><br />
<br />
No caso de uma diferença finita de potencial, isto é de uma diferença de potencial entre dois pontos \(P\) e \(Q\) ter-se-á que somar um número infinito de contribuições infinitesimais \(dV_i=- \mathbf{E}_i \cdot d\mathbf{r}_i\) no intervalo de \(P\) a \(Q\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>V_Q-V_P = \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^n dV_i = \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^n \underbrace{( - \mathbf{E}_i \cdot d\mathbf{r}_i )}_{\overline{PQ}} \rightarrow \int - \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}</math> || \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>V_P - V_Q = \int_{\overline{PQ}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}</math><br />
|}<br />
<br />
e porque \(\mathbf{E}\) (campo electrostático) é um campo conservativo, este integral não vai depender do percurso mas apenas dos pontos extremos, i.e.<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>V_P - V_Q = \int_P^Q \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}</math><br />
|}<br />
<br />
No caso particular de \(E\) ser homogéneo (por exemplo no interior de um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Capacitor condensador] plano) na região onde se situam os pontos \(P\) e \(Q\) afastados de uma distância \(D\) obtém-se <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>V_P - V_Q = \mathbf{E}\cdot\overline{PQ}=E\cdot D</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|} <br />
<br />
Para se compreender o significado físico de \(V_P\) imagine-se que \(Q\)é um ponto infinitamente afastado da região em que se faz sentir o campo eléctrico \(\mathbf{E}\).<br />
Nesse ponto, \(r \to \infty\) e \(V_Q=0\) obtendo-se \(V_P = \int_P^\infty \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}\) que permite a seguinte interpretação:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |O potencial eléctrico \(V_P\) é a energia necessária para transportar a carga-teste, sob acção de \(\mathbf{E}\) desde o ponto \(P\) até uma distância suficientemente grande tal que o campo eléctrico não se faça sentir.<br />
|}<br />
<br />
Assim, \(V\) tem sempre o significado de uma diferença de potencial.<br />
<br />
==Energia electrostática==<br />
A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_eletrost%C3%A1tica energia associada a uma configuração de cargas] \(q_1\) e \(q_2\) à distância \(r\) é dada por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>W = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r} = q_1 V_1 = q_2 V_2 = \frac{q_1 V_1 +q_2 V_2}{2} </math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(V_1\) é o potencial no ponto \(P_1\) criado pela carga \(q_2\) e \(V_2\) é o potencial no ponto \(P_2\) criado pela carga \(q_1\). <br />
<br />
Recordando a definição do potencial criado por \(n\) cargas eléctricas, podemos generalizar a equação (8) na seguinte forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math><br />
W_E = \frac{1}{2} \sum_{i,j (i\ne j)}^n \frac{ 1 }{4 \pi \varepsilon_0} \frac{ q_i \, q_j }{r_{i\,j}} = <br />
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n q_i \left( \sum_{j \ne i}^n \frac{ q_j }{4 \pi \varepsilon_0 \,r_{i\,j}} \right) =<br />
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n q_i V_i<br />
</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
que corresponde à energia necessária para criar a distribuição de cargas \(q_i\). A energia \(W_E\) é uma energia potencial porque está associada às posições que as diferentes cargas ocupam, podendo ser recuperada se as cargas se afastarem umas das outras até distâncias \(r \to \infty\).<br />
<br />
==Condutores eléctricos e dieléctricos. Condensador plano==<br />
<br />
[[file:fig-thomson-placa.jpg|thumb|upright=0.75 |alt=Distribuição da carga num condutor carregado |Fig. 3 - Distribuição da carga num condutor carregado]]<br />
[[file:fig-thomson-placas.jpg|thumb|upright=0.75 |alt=Distribuição de cargas e forma do campo eléctrico num condensador |Fig. 4 - Distribuição de cargas e forma do campo eléctrico num condensador]]<br />
<br />
Um material é um ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Condutor_el%C3%A9trico condutor eléctrico ideal]'' se as cargas eléctricas do mesmo sinal em excesso (que o carregam) são livres de se movimentarem no seu interior e à sua superfície. Quando pelo contrário isso não acontece, estamos perante um ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Diel%C3%A9trico dieléctrico]''.<br />
<br />
Assim, se carregarmos um condutor com uma carga total \(Q\) (se \(Q > 0\) significa que se retiram electrões ao condutor inicialmente neutro) essas cargas, todas do mesmo sinal, vão acomodar-se logo que se atinja o equilíbrio electrostático, em posições que são o mais afastadas possíveis umas das outras - ou seja, na superfície exterior do condutor, formando uma "folha" de carga. Pode mostrar-se que \(\mathbf{E}\) no interior do condutor é nulo (enquanto que num dieléctrico \(\mathbf{E} \ne 0\), e que a superfície do condutor é uma ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Equipotencial equipotencial]'': logo, as linhas de força eléctricas são-lhe perpendiculares. Quando um material é carregado, a velocidade com que essas cargas se transferem de todo o volume do condutor para a superfície depende da sua [https://pt.wikipedia.org/wiki/Condutividade_el%C3%A9trica condutividade eléctrica]. Se se considerar um condutor carregado, com geometria plana (uma placa), a carga vai distribuir-se sobre a superfície (Fig. 3).<br />
<br />
Ao colocar-se em frente uma placa idêntica, mas de carga simétrica, haverá uma redistribuição de carga que produz um campo eléctrico entre as placas (Fig. 4). Na região central, as linhas de força são paralelas entre si e o campo eléctrico é homogéneo. Nas extremidades as linhas de força emergem perpendicularmente à superfície mas encurvam, deixando de ser lineares. Esta geometria e distribuição de carga são características de um ''condensador plano''. A diferença de potencial entre as duas placas, afastadas de \(D\) corresponde a \(V_+ \,–\, V_-) = \mathbf{E}\cdot \mathbf{D}\) pois \(\mathbf{E}\) é homogéneo (eq. 7).<br />
<br />
Pode mostrar-se que \(\mathbf{E}\) fica confinado à região entre as placas. Se o condensador fosse infinito (sem extremidades) teríamos três regiões, as duas exteriores ao condensador, onde o campo \(\mathbf{E}\) é nulo, e entre as placas do condensador (também designadas por armaduras), onde o campo seria homogéneo.<br />
<br />
==Efeitos da corrente eléctrica estacionária criada por uma espira==<br />
[[file:fig-fio.jpg|thumb|upright=0.75 |alt=Campo magnético produzido por um fio onde passa corrente |Fig. 5 - Campo magnético produzido por um fio onde passa corrente]]<br />
[[file:fig-espira.jpg|thumb|upright=0.75 |alt=Campo magnético produzido por uma espira circular onde passa corrente |Fig. 6 - Campo magnético produzido por uma espira circular onde passa corrente]]<br />
<br />
A passagem da ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_el%C3%A9trica corrente eléctrica] estacionária'' (i.e. cuja intensidade não varia no tempo) por um condutor cria um campo magnético \(\mathbf{B}\), além de produzir calor por [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Joule efeito de Joule]. As ''linhas de força magnética'' produzidas por um fio condutor linear são circulares e concêntricas com o condutor (ver Fig. 5). O módulo de \(B\) num ponto a uma distância \(r\) do fio (medida na perpendicular ao fio) é<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>|\mathbf{B_{\mathrm{fio}}}| = \frac{\mu_0 I}{2\, \pi \, r} </math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
em que \(\mu_0 = 4 \pi× 10^{−7}\) H/m é a ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Permeabilidade_magn%C3%A9tica permeabilidade magnética]'' do vazio. <br />
<br />
No caso de uma espira <ref>Termo que designa um circuito eléctrico fechado</ref> circular, é criado um campo magnético cujas linhas de força são curvas fora do seu eixo e lineares apenas ao longo do eixo. Pode provar-se que o campo magnético criado por uma espira de raio \(r\) percorrida por uma corrente de intensidade \(I\) tem linhas de força fechadas <ref>Mesmo aquelas que só ''fecham'' no infinito</ref>, ao contrário das linhas de força eléctricas. Isto coloca em evidência que \(\mathbf{B}\) nos pontos do plano da espira, mas exteriores a esta, é antiparalelo a \(\mathbf{B}\) no eixo da espira (Fig. 6). O módulo de \(\mathbf{B}\) num ponto do eixo é dado por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>|\mathbf{B}_{\mathrm{espira}}| = \frac{\mu_0 I}{2 r} \sin^3 \alpha</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
==Força de Lorentz==<br />
[[file:Lorentz1.png|thumb|upright=0.75 |alt=Trajectória circular para uma carga positiva \(q\) com velocidade \(\mathbf{v}\)n a presença de um campo magnético \(\mathbf{B}_{in}\) perpendicular. |Fig. 7 - Trajectória circular para uma carga positiva \(q\) com velocidade \(\mathbf{v}\) na presença de um campo magnético \(\mathbf{B}_{in}\) perpendicular.]]<br />
<br />
[[file:Lorentz2.png|thumb|upright=0.75 |alt=Carga positiva \(q\) com velocidade \(\mathbf{v}\) na presença de um campo magnético \(\mathbf{B}_{in}\) e um campo eléctrico \(\mathbf{E}\). Os três vectores são mutuamente perpendiculares e estão orientados de modo que as forças têm sentidos opostos. |Fig. 8 - Carga positiva \(q\) com velocidade \(\mathbf{v}\) na presença de um campo magnético \(\mathbf{B}_{in}\) e um campo eléctrico \(\mathbf{E}\). Os três vectores são mutuamente perpendiculares e estão orientados de modo que as forças têm sentidos opostos.]]<br />
<br />
Uma carga \(q\) animada de uma velocidade \(\mathbf{v}\) numa região em que existe um campo de indução \(\mathbf{B}\) e um campo eléctrico \(\mathbf{E}\) fica submetida a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_de_Lorentz força de Lorentz]<ref>Se a força for apenas de origem magnética, <br />
\(\mathbf{F}_m = q\,(\mathbf{v} \times \mathbf{B})\) pode chamar-se também de ''Laplace''</ref> \(\mathbf{F}\) dada por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
A força de Lorentz resulta da soma vectorial de uma componente eléctrica e uma componente magnética, que verificam as seguintes propriedades:<br />
<br />
# a força eléctrica \(\mathbf{F_e}=q\mathbf{E}\) tem a mesma direção que o campo eléctrico; se a carga for positiva tem o mesmo sentido, se a carga for negativa tem o sentido oposto;<br />
# a força magnética \(\mathbf{F_e}=q(\mathbf{v} \times \mathbf{B})\) é perpendicular ao plano definido pelos vectores velocidade \((\mathbf{v})\) e campo magnético \((\mathbf{B})\) sendo o seu sentido dado pela regra da mão direita para o produto externo de vectores.<br />
<br />
Quando a velocidade da carga e o campo magnético são mutuamente perpendiculares, a força magnética comporta-se como uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_centr%C3%ADpeta força centrípeta] e a carga descreve uma trajectória circular (Fig. 7}) cujo raio se pode calcular igualando os módulos das duas forças \((|\mathbf{F_c}|=|\mathbf{F_m})|\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\frac{v^2}{R}=qvB \rightarrow R=\frac{mv}{|q|B}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
Um caso particularmente interessante da força de Lorentz verifica-se quando a velocidade da carga é perpendicular tanto ao campo eléctrico como ao magnético. Nesse caso, as duas forças têm a mesma direcção. Adotando uma configuração como a representada na Fig. 8, as forças eléctrica e magnética têm sentidos opostos e podem compensar-se, anulando-se, o que permite que a carga mantenha uma trajectória rectilínea.<br />
<br />
Nesta repetição da experiência de Thomson iremos utilizar estes dois princípios para determinar a razão \(q/m\): <br />
* No primeiro conjunto de medidas, iremos determinar o raio da trajectória de um feixe de raios catódicos na presença de um campo magnético;<br />
* No segundo conjunto de medidas iremos equilibrar as forças de um campo magnético e um eléctrico de modo a que o feixe tenha uma forma aproximadamente rectilínea.<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
|[[file:fig3-ThomsomEquip.jpg|thumb|center|upright=0.63]]||[[file:fig4-Thomson_Electron-Deflection-Tube-D.jpg|thumb|center|upright=0.75]]<br />
|-<br />
| Fig. 9 - Montagem da Experiência de Thomson com tubo de raios catódicos, suporte e par de bobinas de Helmholtz || Fig. 10 - Trajectória dos electrões sujeitos a um campo magnético perpendicular<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento Experimental=<br />
==Material==<br />
<br />
[[file:fig5-TuboTL.jpg|thumb|upright=1.5 |alt=Diagrama do tubo utilizado e geometria das bobinas de Helmholtz. Esquerda: vista lateral, com ligações eléctricas do filamento e da tensão de aceleração. Direita: vista frontal, com ligações das bobinas de Helmholtz. |Fig. 11 - Diagrama do tubo utilizado e geometria das bobinas de Helmholtz. Esquerda: vista lateral, com ligações eléctricas do filamento e da tensão de aceleração. Direita: vista frontal, com ligações das bobinas de Helmholtz.]]<br />
<br />
# Ampola (tubo) de raios catódicos (TRC), [https://www.3bscientific.com/pt/tubo-de-desvio-de-eletrons-d-1000651-u19155-3b-scientific-teltron,p_1003_1349.html modelo TEL 525].<br />
# Fonte de alimentação do TRC, que inclui alimentação de alta tensão contínua (até 5000 V) aplicada aos eléctrodos (cátodo e ânodo) do TRC e alimentação de baixa tensão (6.3 V AC) para o filamento do TRC.<br />
# Par de bobinas que envolvem a parte esférica do TRC na configuração de Helmholtz (para criar um campo magnético aproximadamente homogéneo na região central entre as bobinas, de raio médio\(r\) e afastadas de \(r\)uma da outra).<br />
# Fonte de alimentação de corrente '''contínua''' (em modo DC) para as bobinas.<br />
# Multímetro (como amperímetro) a instalar em '''série''' no circuito das bobinas.<br />
<br />
O tubo TRC tem um filamento alimentado por 6.3 V (em modo AC). Este filamento emite electrões por efeito termiónico. <br />
Entre o ânodo e o cátodo do tubo estabelecem-se diferenças de potencial \( (V_+ - V_-) = U_a\). Os electrões são acelerados entre o cátodo e o ânodo e a sua velocidade à saída do ânodo é função de \(U_a\). <br />
<br />
Ao entrarem na parte esférica do tubo, os electrões podem ser deflectidos por ''campos magnéticos'' provocados por correntes que percorrem as bobinas de Helmholtz e/ou por ''campos eléctricos'' devidos à aplicação de tensão entre duas placas paralelas ligadas aos pontos 1 e 2 do diagrama (ver figura).<br />
<br />
O campo de indução magnética \(B\) devido às bobinas de Helmholtz é aproximadamente uniforme na região central entre as bobinas, e para uma corrente \(I\) é dado por <ref>No sistema SI, a unidade de campo magnético é o Tesla (T), sendo <br />
1 T=1 Weber/m\(^2\).</ref>:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>B = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} \cdot \frac{\mu_0 n I}{r} = \frac{32 \pi n }{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{I}{r} \cdot 10^{-7}\textrm{ Weber/m}^{2}</math>|| \(\quad\quad (14)\)<br />
|}<br />
onde \(n = 320\) espiras, \(r= 0.068\) m e \(r = d/2\). Note que o valor \(d\) nesta fórmula se refere ao ''diâmetro'' das bobinas (ver Fig. 11). Mais abaixo é usada a mesma designação para a distância entre as placas da âmpola, valor que deve ser medido.<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 5 kV) e correntes eléctricas elevadas (até 1 A). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Determinação de \(q/m\) por deflexão magnética==<br />
===Trajectórias de partículas carregadas sujeitas a um campo magnético constante===<br />
Quando se aplica uma tensão \(U_a\)entre o ânodo e o cátodo (sem aplicar tensão entre os pontos 1 e 2 representados na figura acima), pode admitir-se que a velocidade final \(v\) dos electrões ao abandonarem o ânodo é dada pela seguinte expressão <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q\, U_a = \frac{1}{2} m \, v^2</math>|| \(\quad\quad (15)\)<br />
|}<br />
em que \(q\) é a carga do electrão e\(m\)a sua massa.<br />
<br />
Os electrões entram, com velocidade horizontal, na parte esférica do tubo, onde são deflectidos pelo campo magnético \(\mathbf{B}\) (com \(\mathbf{B}\perp\mathbf{v})\). A sua trajectória passa então a ser circular, com raio \(R\) verificando-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>B \, q\, v = \frac{m\,v^2}{R} </math>|| \(\quad\quad (16)\)<br />
|}<br />
As trajectórias dos electrões podem ser visualizadas numa escala graduada feita de material fluorescente. A origem do reticulado está situada aproximadamente no início da zona sujeita ao campo \(\mathbf{B}\). Combinando (15) e (16) obtém-se uma expressão para a relação \(q/m\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\frac{q}{m} = \frac{2\, U_a}{B^2\,R^2} </math>|| \(\quad\quad (17)\)<br />
|}<br />
<br />
em que:<br />
*\(U_a\) – impõe-se e mede-se diretamente no voltímetro da fonte de tensão.<br />
*\(B\) – calcula-se, para uma dada corrente \(I\) a partir da expressão (14).<br />
*\(R\) – determina-se por leitura no écran fluorescente, das coordenadas de posição \(y\) (horizontal) e \(z\) (vertical) de pontos do feixe. Por construção do tubo verifica-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>R = \frac{y^2 + z^2}{2 \, z} </math>|| \(\quad\quad (18)\)<br />
|}<br />
<br />
===Modo de proceder===<br />
<br />
# Montar os circuitos eléctricos de acordo com a Fig. 11 (Secção [[Experiência_de_Thomson#Material|Material]]). Note que as ligações das bobinas devem garantir que a corrente eléctrica é percorrida no mesmo sentido, em ambas: para isso, deve usar os conectores na ordem \(A\rightarrow Z\) numa bobina e na ordem inversa na outra bobina. Chamar o docente para verificação, '''antes de ligar os aparelhos'''.<br />
# Verifique qual é o valor máximo da tensão disponível na fonte de alta tensão. Escolha um valor ligeiramente inferior.<br />
# Ajustar a corrente das bobinas de Helmholtz \(I_+\) de modo a que a circunferência passe por um ponto bem determinado. <ref>Utilize de preferência os maiores valores possíveis para o raio \(R\) de forma a que o feixe se encontre na zona central entre as bobines.</ref> Calcule \(R\). Inverta o sentido da corrente e determine um novo \(I_-\) para o mesmo raio \(R\). Tomando \(I_{\textrm{medio}} = (I_+ + I_-)/2\), calcule o campo magnético \(B_{\textrm{medio}}\). Utilize a semi-diferença, \((I_+ - I_-)/2\) para a estimativa das incertezas \(\delta I_{\textrm{medio}}\) e \(\delta B_{\textrm{medio}}\).<br />
# Repita o ponto 2) para quatro novos valores de\(R\). <br />
# Repetir 1), 2) e 3) e para os mesmos \(R\) para dois valores inferiores de tensão, afastados por exemplo de 500 V entre si.<br />
# Apresente os valores de \(q/m\) para os 15 pares de determinações. Calcule a média desses valores, assim como a incerteza da média.<br />
# Para um dos pares de pontos, estime a contribuição relativa das incertezas das grandezas que mediu para a incerteza total. Compare este erro assim calculado com a incerteza calculada a partir dos 15 valores calculados. Apresente para cada raio o valor de \(q/m\) assim como o erro associado a cada uma das determinações. Compare e comente os resultados.<br />
# Apresente um valor final para \(q/m\), tendo em conta que se trata de uma ''combinação de resultados'' (e não uma média simples). Estime a precisão e a exatidão obtida nas determinações que realizou.<br />
<br />
==Determinação de \(q/m\) por deflexão magnética e eléctrica quase compensada==<br />
<br />
===Situação de equilíbrio entre as interacções eléctrica e magnética===<br />
<br />
Se, na força de Lorentz, os dois termos se equilibrarem — ou seja, se as forças electrostática e magnética forem de igual módulo e de sentidos opostos — a carga \(q\) não é desviada da sua trajectória. No nosso caso, em que \(\mathbf{B} \perp \mathbf{v}\), a condição de equilíbrio é dada por <math> |\mathbf{E}| = v\, |\mathbf{B}|</math>.<br />
<br />
===Montagem a efectuar===<br />
<br />
[[file:fig6-TuboTLE.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Deflexão magnética e eléctrica quase compensada: ligações eléctricas do filamento, da tensão de aceleração e das placas. |Fig. 12 - Deflexão magnética e eléctrica quase compensada: ligações eléctricas do filamento, da tensão de aceleração e das placas.]]<br />
<br />
Aproveitando a montagem já efectuada no ponto anterior, ligue agora os terminais no topo e na base da âmpola (ver figura) à fonte de alta tensão que gera a tensão \(U_a\) produzindo assim na região do écran fluorescente um campo eléctrico. Fazendo com que as bobinas sejam percorridas por uma corrente com intensidade e "sentido" convenientes, podemos obter uma força de origem magnética anti-paralela à provocada pelo campo \(\mathbf{E}\). Deste modo, a trajectória visualizada no écran será aproximadamente retilínea, sendo a condição de equilíbrio dada por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> |\vec{E}| = v\, |\vec{B}| = \frac{U_a}{d}</math>|| \(\quad\quad (19)\)<br />
|}<br />
onde \(d\) é a distância entre as placas do écran fluorescente e \(U_a\) a tensão entre as mesmas, que é como se disse igual à tensão de aceleração. A equação acima permite-nos calcular a velocidade dos electrões, uma vez que podemos conhecer os valores de todas as outras variáveis aí intervenientes. O conhecimento de \(v\) permite-nos calcular \(q/m\) tendo em conta que, segundo <math>qU_a=mv^2/2</math>, deverá ser:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\frac{q}{m} = \frac{v^2}{2} \; \frac{1}{U_a}<br />
</math>|| \(\quad\quad (20)\)<br />
|}<br />
<br />
Eliminando o termo <math>v</math> obtemos finalmente:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\frac{q}{m} = \frac{1}{2} \; \frac{U_a}{B^2d^2}<br />
</math>|| \(\quad\quad (21)\)<br />
|}<br />
<br />
===Modo de proceder===<br />
<br />
# Para cada uma das três tensões de trabalho \(U_a\)já referidas, aplicadas agora também às placas que produzem o campo eléctrico, determine o valor de \(B\) (a partir de \(I\) que conduz ao anulamento das forças de origem eléctrica e magnética.<br />
# Inverta o sentido dos campos eléctricos e magnéticos e repita a determinação do valor de \(B\). Considere que para um dos sentidos obteve \(I_{max}\) e para o outro obteve \(I_{min}\).<br />
# Apresente os valores de \(q/m\). Analise as diferentes contribuições para a incerteza total. Estime o valor da relação carga/massa do electrão, assim como a precisão e a exatidão obtida nas determinações que realizou.<br />
# Observe a trajectória quando as forças de origem eléctrica e magnética não se compensam. Comente.<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=5YYVnHN7xwM Charge to mass ratio of an electron] Animação da experiência de Thomson<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=ZxtPGN8Ipa0 Motion of electric charges in a uniform magnetic field] Animação do movimento de cargas em campos magnéticos uniformes<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=q4Hjqvyv-Ek Deflection of an electron beam in a magnetic field] Deflexão de um feixe de raios catódicos num campo magnético</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Instrumenta%C3%A7%C3%A3o_e_An%C3%A1lise_de_Sinais&diff=6359Instrumentação e Análise de Sinais2026-02-23T17:20:02Z<p>Ist23437: /* Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos */</p>
<hr />
<div>{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
Pretende-se com este trabalho introduzir os principais [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o instrumentos eléctricos] utilizados em laboratório de Física Experimental, desenvolvendo competências básicas de medição, observação e análise de sinais eléctricos. O objectivo central é compreender como medir e interpretar grandezas eléctricas em regimes contínuo (DC) e alternado (AC), bem como reconhecer as limitações e o comportamento não ideal dos dispositivos reais.<br />
<br />
=Introdução=<br />
A instrumentação eléctrica é omnipresente na Física Experimental, sendo fundamental em áreas tão diversas como a física de partículas e nuclear, nanotecnologias e matéria condensada, lasers e fotónica, fusão nuclear, e muitas outras. A grande maioria das experiências laboratoriais envolve, de forma directa ou indirecta, a geração, medição e análise de sinais eléctricos. Por essa razão, é importante adquirir familiaridade e confiança na utilização dos principais instrumentos eléctricos de laboratório, bem como na interpretação crítica das medições realizadas.<br />
<br />
Nesta experiência são utilizados os seguintes instrumentos:<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Oscilosc.C3.B3pio Osciloscópio digital] – permite observar sinais eléctricos dependentes do tempo, medir amplitudes, períodos e frequências, analisar formas de onda e estudar relações de fase entre sinais.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções] – utilizado para produzir sinais eléctricos controlados, com diferentes formas de onda (sinusoidal, quadrada, triangular), frequências e amplitudes, servindo como fonte de excitação para o estudo de circuitos e dispositivos eléctricos.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Mult.C3.ADmetro Multímetro] – instrumento versátil destinado à medição de grandezas eléctricas como tensões contínuas (DC), tensões alternadas (AC) e resistências eléctricas, sendo essencial para a caracterização quantitativa de componentes e sistemas.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Fonte_de_tens.C3.A3o Fonte de alimentação] – fornece tensões ou correntes controladas a um circuito, operando tipicamente em modos de tensão constante (CV) ou corrente constante (CC), permitindo estudar o comportamento de dispositivos reais sob diferentes condições de alimentação.<br />
<br />
Para informações gerais sobre o funcionamento e aplicação em laboratório destes e outros instrumentos, consulte a página [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o Instrumentos eléctricos e de medição].<br />
Para especificações detalhadas e guia de funcionamento dos equipamentos usados em LIFE, deverá ler atentamente (e '''antes da sessão de laboratório''') as instruções de [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias Instrumentos eléctricos - guias].<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety-small.png|upright=0.5]] || '''Conselhos de segurança''' <br />
Embora os instrumentos utilizados operem em regimes de baixa tensão e corrente, devem ser respeitadas algumas precauções básicas:<br />
* Verificar sempre as ligações '''antes de ligar''' a alimentação do circuito<br />
* Evitar curto-circuitos, em particular nas saídas da fonte de alimentação e do gerador de funções<br />
* Começar as medições com tensões e correntes baixas, aumentando-as gradualmente<br />
* Não alterar ligações com a fonte de alimentação ligada<br />
* Utilizar correctamente as escalas e terminais do multímetro<br />
* Evitar o aquecimento excessivo de componentes (por exemplo, lâmpadas ou resistências)<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Introdução==<br />
===Grandezas eléctricas===<br />
A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Eletricidade electricidade] diz respeito ao conjunto de fenómenos associados à presença, distribuição e movimento de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica cargas eléctricas]. <br />
* A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_el%C3%A9trica corrente eléctrica] corresponde ao movimento ordenado dessas cargas num meio material, sendo quantitativamente definida como a quantidade de carga que atravessa uma secção do condutor por unidade de tempo. <br />
* Esse movimento é induzido pela aplicação de uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_el%C3%A9trica tensão eléctrica], ou diferença de potencial eléctrico, que representa o trabalho realizado por unidade de carga entre dois pontos de um circuito. <br />
* A relação entre tensão e corrente depende das propriedades do meio, sendo caracterizada pela [https://pt.wikipedia.org/wiki/Resist%C3%AAncia_el%C3%A9trica resistência eléctrica], que expressa a oposição do material à passagem da corrente. <br />
* Em muitos condutores, para regimes de funcionamento adequados, estas grandezas obedecem à [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Ohm lei de Ohm], constituindo um modelo fundamental para a análise de circuitos eléctricos.<br />
* A potência eléctrica corresponde à taxa de transferência de energia num circuito eléctrico e, em regime contínuo ou resistivo, é dada pelo produto da tensão pela corrente (\(P=V\,I\)), permitindo quantificar a energia dissipada ou fornecida pelos dispositivos eléctricos.<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Grandeza<br />
! style="text-align:center;" | Nome da unidade<br />
! style="text-align:center;" | Símbolo<br />
! style="text-align:center;" | Relação com outras grandezas<br />
|-<br />
| Carga eléctrica (\(Q\))<br />
| style="text-align:center;" | coulomb<br />
| style="text-align:center;" | C<br />
| style="text-align:center;" | \(Q = I\,t\)<br />
|-<br />
| Corrente eléctrica (\(I\))<br />
| style="text-align:center;" | ampere<br />
| style="text-align:center;" | A<br />
| style="text-align:center;" | \(I = Q/t\)<br />
|-<br />
| Tensão eléctrica (\(V\))<br />
| style="text-align:center;" | volt<br />
| style="text-align:center;" | V<br />
| style="text-align:center;" | \(V = R\,I\)<br />
|-<br />
| Resistência eléctrica (\(R\))<br />
| style="text-align:center;" | ohm<br />
| style="text-align:center;" | \(\Omega\)<br />
| style="text-align:center;" | \(R = V/I\)<br />
|-<br />
| Potência eléctrica (\(P\))<br />
| style="text-align:center;" | watt<br />
| style="text-align:center;" | W<br />
| style="text-align:center;" | \(P = V\,I\)<br />
|}<br />
<br />
===Sinais eléctricos===<br />
[[Ficheiro:vpp.png|thumb|upright=1.0|Medição de tensão AC: definições. \(V_{pk}\) - tensão de pico; \(V_{pp}\) - tensão pico-a-pico; \(V_{RMS}\) - tensão eficaz)]]<br />
Um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_cont%C3%ADnua sinal contínuo (DC)] caracteriza-se por manter um valor de tensão constante no tempo. Em [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_alternada sinais alternados (AC)], é importante distinguir entre a tensão pico-a-pico \(V_{pp}\) e a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_eficaz|tensão eficaz] ou \(V_{RMS}\) (''root mean square''), sendo fundamental identificar correctamente qual delas está a ser medida ou ajustada nos instrumentos de laboratório:<br />
* A tensão pico-a-pico corresponde à diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do sinal e descreve apenas a sua variação total em amplitude <br />
* A tensão RMS é uma grandeza fisicamente mais relevante, pois está directamente relacionada com a potência dissipada numa carga resistiva. Em particular, uma tensão alternada com valor RMS igual a uma dada tensão contínua produzirá o mesmo efeito térmico nessa resistência. Para sinais sinusoidais, estas grandezas estão relacionadas por <br />
<br />
\(V_{RMS}=V_{pp}/(2\sqrt{2})\)<br />
<br />
Para outros tipos de onda (quadrada, triangular, etc) a relação de proporcionalidade é diferente. No caso mais geral, o seu valor pode ser obtido a partir do cálculo do integral <br />
<br />
<math><br />
V_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,\mathrm{d}t}<br />
</math><br />
<br />
onde \(v(t)\) é a tensão instantânea e \(T\) é o período do sinal. Ou seja, a relação \(V_{rms}/V_{pp}\) depende da forma da onda.<br />
<br />
Em sinais variáveis, é frequente existir uma componente contínua sobreposta à componente alternada, designada por ''offset'' (desvio). O ''offset'' corresponde ao valor médio do sinal e traduz um deslocamento vertical da forma de onda relativamente ao zero de tensão. Assim, um sinal pode apresentar variações periódicas em torno de um valor não nulo, combinando uma componente AC com uma componente DC. A distinção entre tensão DC, amplitude do sinal e ''offset'' é essencial para a correcta configuração do gerador de funções e para a interpretação das medições realizadas com o osciloscópio e o multímetro.<br />
<br />
===Sinais periódicos===<br />
<br />
[[Ficheiro:ondas-freq-amp-fase.png|thumb|upright=1.0|Características de ondas periódicas.]]<br />
<br />
Sinais periódicos são sinais eléctricos que se repetem regularmente no tempo, podendo ser caracterizados por um período \(T\) e pela frequência correspondente \(f=1/T\). Em laboratório, estes sinais são tipicamente produzidos com um gerador de funções, que permite gerar diferentes formas de onda periódicas — como sinais sinusoidais, quadrados e triangulares — com amplitudes, frequências e ''offset'' ajustáveis. A correcta identificação destes parâmetros é essencial para a análise e comparação de sinais eléctricos.<br />
<br />
Entre os sinais periódicos, o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Senoide sinal sinusoidal] assume um papel particular, por poder ser descrito matematicamente de forma simples e por surgir frequentemente em sistemas físicos. Para um sinal sinusoidal, além da amplitude, do período e da frequência, é introduzido o conceito de fase, que especifica o estado da oscilação num dado instante e permite quantificar o desfasamento entre dois sinais com a mesma frequência.<br />
<br />
[[Ficheiro:lissajous.png|thumb|upright=1.0|Exemplos de figuras de Lissajous.]]<br />
<br />
O osciloscópio é o instrumento adequado para visualizar as propriedades de sinais periódicos. No caso do osciloscópio ter mais do que um canal, podem comparar-se directamente as características dos sinais. O modo XY permite representar a tensão de um canal em função da tensão do outro, substituindo a base de tempos por um eixo de tensão. Quando dois sinais sinusoidais são aplicados aos eixos X e Y, surgem curvas designadas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous figuras de Lissajous], cuja forma depende da razão entre as frequências, da diferença de fase e das amplitudes relativas dos sinais. Estas figuras constituem uma ferramenta útil para a comparação de frequências e para a análise do desfasamento entre sinais periódicos: <br />
* Quando as frequências são iguais, a figura é uma elipse cuja orientação e excentricidade dependem do desfasamento; casos particulares correspondem a uma recta ou a um círculo.<br />
* Para frequências em razão racional simples, surgem figuras fechadas com padrões característicos, enquanto razões irracionais conduzem a figuras não estacionárias. <br />
Estas propriedades permitem utilizar as figuras de Lissajous para comparar frequências e determinar desfasamentos entre sinais.<br />
<br />
==Medições com sinais DC==<br />
===Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente===<br />
Nesta experiência estuda-se o comportamento não-óhmico de uma lâmpada incandescente, isto é, um dispositivo eléctrico cuja corrente ''não é'' proporcional à tensão aplicada. Ao contrário de uma resistência ideal, a lâmpada contém um filamento metálico que aquece significativamente quando percorrido por corrente, o que faz com que a sua resistência varie durante o funcionamento.<br />
<br />
O objectivo principal é caracterizar experimentalmente a relação entre a tensão \(V\) aplicada à lâmpada e a corrente \(I\) que a atravessa, e verificar que essa relação é não linear. Para isso, medem-se vários pares tensão-corrente para diferentes valores da tensão aplicada, calculando-se em cada ponto a resistência efectiva \(R=V/I\).<br />
<br />
Os dados experimentais são depois analisados através da representação gráfica de \(I\) em função de \(V\). Em particular, testa-se se os resultados podem ser descritos por uma lei de potência do tipo \(I\propto V^\alpha\), determinando-se o expoente \(\alpha\) por regressão.<br />
<br />
==Medições com sinais AC==<br />
===Sinais periódicos eléctricos===<br />
Nesta experiência estudam-se várias propriedades dos sinais AC, tais como a diferença entre tensão pico-a-pico e RMS, e a comparação entre sinais de frequências iguais, próximas, ou de quociente racional. Para isso, usam-se o gerador de funções, o multímetro e o osciloscópio.<br />
<br />
Para estudo e comparação de dois sinais periódicos é muito útil o uso do modo XY no osciloscópio e a observação das figuras de Lissajous resultantes. Assim, vamos observar e registar a forma destas curvas para vários quocientes racionais de frequências e diferenças de fase. As figuras de Lissajous são importantes porque permitem visualizar e determinar relações de fase e de frequência entre dois sinais periódicos, sendo amplamente usadas na caracterização de sinais eléctricos, na calibração de instrumentos e no estudo de sistemas oscilatórios.<br />
<br />
Por fim, vamos sobrepor duas frequências muito próximas e observar o aparecimento de batimentos no osciloscópio. Estes ocorrem quando se somam dois sinais periódicos de frequências muito próximas, \(f_1 \approx f_2\). O sinal resultante apresenta uma oscilação rápida, com frequência aproximadamente igual à média das duas frequências, cuja amplitude varia lentamente no tempo. Esta variação lenta da amplitude designa-se por batimento e ocorre com uma frequência igual à diferença das frequências dos dois sinais:<br />
<math><br />
f_{\mathrm{bat}} = |f_1 - f_2|.<br />
</math><br />
Fisicamente, os batimentos resultam da variação lenta da fase relativa entre os dois sinais. O fenómeno dos batimentos é importante porque permite medir pequenas diferenças de frequência e surge em múltiplos contextos, desde a acústica e afinação de instrumentos musicais até sistemas de comunicações, interferometria e metrologia de precisão.<br />
<br />
==Medição com sinais pulsados==<br />
===Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos===<br />
Nesta experiência vamos usar gerador de funções e o osciloscópio digital de dois canais para medir intervalos de tempo entre dois eventos e determinar a velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos. O gerador emite impulsos eléctricos que são transformados em impulsos mecânicos por um transdutor piezoelétrico, bem acoplado a uma das faces de uma dada amostra. Na face oposta coloca-se outro transdutor, que após receber o impulso mecânico o transforma num sinal eléctrico e o envia ao osciloscópio. O tempo de percurso é relativamente curto, já que as velocidades de propagação nos meios sólidos são da ordem de km/s. Para a sua determinação usamos o osciloscópio, observando o impulso emitido e o recebido depois de ter atravessado a amostra. Através do uso de cursores e medições automáticas, é possível realizar as medições de forma rápida e fiável.<br />
<br />
Para uma determinação mais precisa da velocidade, serão medidos os tempos de propagação através de amostras de diferentes comprimentos, efectuando-se um ajuste linear aos pontos tempo vs. comprimento. O declive deste ajuste, com unidades s/m, é o inverso da velocidade.<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# É essencial a '''leitura prévia''' do seguinte material:<br />
#* [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o Instrumentos eléctricos e de medição]<br />
#* [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias Instrumentos eléctricos - guias]<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório.<br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Na secção [[#Ligações externas|Ligações externas]] pode encontrar diversas simulações online que pode usar para praticar os conceitos a usar em laboratório.<br />
<br />
==Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente==<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Fonte_de_alimenta.C3.A7.C3.A3o_DC Fonte de tensão UNI-T modelo UDP1306C]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Mult.C3.ADmetro_de_bancada Multímetro de bancada UNI-T modelo UT8804E]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo banana<br />
* Lâmpada de 24 V<br />
<br />
===Procedimento===<br />
O objectivo é medir experimentalmente a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_caracter%C3%ADstica_corrente-tens%C3%A3o curva característica corrente–tensão] de uma lâmpada e determinar a resistência eléctrica efectiva em função do regime de funcionamento.<br />
<br />
# Antes de fazer qualquer conexão:<br />
#* Ligue a fonte de tensão DC e garanta que o botão "output" está desligado <br />
#* Coloque a fonte no modo CV, com uma tensão de 0.000 V<br />
#* Ajuste a corrente para um limite máximo de 150 mA<br />
#* Na primeira coluna da tabela do relatório preencha 5 valores de tensões entre 0.5 V e 5 V, e outros 5 valores entre 5 V e 24 V. Exemplo: 0.5, 1.0, 2.5, etc<br />
#* Antes de avançar, chame o professor para verificação<br />
# Ligue os terminais da lâmpada à fonte DC.<br />
# Pressione o botão "output" para o apagar e ajuste a tensão de saída da fonte para o primeiro valor da lista. Pressione de novo o botão output para o acender, espere 10 segundos e registe os valores de tensão e corrente indicados, indicando as incertezas respectivas.<br />
# Repita o passo acima para cada um dos valores de tensão escolhidos. No caso de o regime da fonte de tensão mudar de CV para CC, não aumente mais a tensão.<br />
# Insira os dados da tabela no [https://sites.google.com/tecnico.ulisboa.pt/fitteia/home fitteia] e ajuste uma lei de potência do tipo \(I=aV^b\) (no fitteia: "y=a*pow(x, b)"), registando os respectivos coeficientes calculados. Anexe ao relatório uma cópia do gráfico obtido.<br />
<br />
==Sinais periódicos eléctricos==<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções UNI-T modelo UTG1000X]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Mult.C3.ADmetro_de_bancada Multímetro de bancada UNI-T modelo UT8804E]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Oscilosc.C3.B3pio_digital Osciloscópio digital Rohde & Schwarz modelo RTB2002]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo BNC e banana<br />
<br />
===Procedimento===<br />
<br />
'''i) Formas de onda'''<br />
# Desactive ambos os canais do gerador de funções e ligue a saída CH1 ao multímetro digital (entrada \(V\Omega Hz\)) usando um cabo BNC-banana.<br />
# No canal 1 do gerador de sinais, escolha uma onda sinusoidal (botão "Wave", opção "Sine") de frequência \(f_1\) no canal 1, da ordem dos kHz e uma tensão da ordem dos volt. Active o canal.<br />
# Registe a tensão \(V_{rms}\) lida no multímetro. <br />
# Repita a medição da tensão para outras formas de onda: quadrada e dente-de-serra (botão "Wave", opções "Square" ou "Ramp"). Quando terminar, desactive o canal 1.<br />
# Ligue agora a saída CH1 ao osciloscópio (entrada CH1) usando um conector BNC-BNC. Active o canal 1 do gerador.<br />
# Registe a tensão \(V_{pk-pk}\) lida no osciloscópio para as mesmas formas de onda: sinusoidal, quadrada e triangular.<br />
<br />
'''ii) Sinais com a mesma frequência'''<br />
# Ligue as saídas CH1 e CH2 do gerador de funções às respectivas entradas do osciloscópio.<br />
# Seleccione em ambos os canais do gerador uma onda sinusoidal.<br />
# Ajuste as amplitudes dos dois sinais para valores iguais, verificando no osciloscópio em modo temporal.<br />
# Garanta que ambos os canais do osciloscópio estão configurados com o mesmo ganho vertical.<br />
# Verifique que a pen USB está inserida no osciloscópio.<br />
# Ajuste o gerador de funções de modo a que os dois sinais tenham a mesma frequência, \(f_1=f_2\).<br />
# Coloque o osciloscópio em modo XY (Botão Menu: XY), de modo a visualizar simultaneamente a figura de Lissajous e os canais CH1 e CH2.<br />
# Varie a diferença de fase entre os dois sinais de 10 em 10 graus. Para isto, pode por exemplo manter a fase do CH1 (no gerador de funções) em 0 graus, enquanto varia a fase do CH2. Observe como varia a figura de Lissajous e a relação temporal entre os sinais sinusoidais.<br />
# Para os valores \(\phi=\)0, 90, e 180 graus, grave as formas de onda obtidas e anexe ao relatório. Comente sobre a variação observada.<br />
<br />
'''iii) Sinais com quociente racional de frequências'''<br />
# Escolha três quocientes racionais de inteiros baixos (por exemplo: \(3{:}1, 3{:}2, 5{:}4\)).<br />
# Para cada quociente escolhido, ajuste as frequências \(f_1\) e \(f_2\) de modo a respeitar a razão escolhida.<br />
# Como no ponto anterior, varie a diferença de fase entre os dois sinais de 10 em 10 graus. Observe como varia a figura de Lissajous e a relação temporal entre os sinais sinusoidais.<br />
# Para os valores \(\phi=\)0, 45 e 90 graus, grave as formas de onda obtidas e anexe ao relatório.<br />
# Na sua análise, compare o número de lóbulos e a forma da figura com o quociente de frequências utilizado.<br />
<br />
'''iv) Frequências muito próximas — batimentos'''<br />
# Volte a colocar a fase relativa a zero e ajuste os dois sinais do gerador para frequências muito próximas, \(f_1 \approx f_2\), da ordem do kHz e com uma diferença da ordem de 1/10 Hz.<br />
# Com o osciloscópio em modo XY, observe a rotação lenta da figura de Lissajous.<br />
# Meça o tempo \(T\) necessário para que a figura complete uma rotação completa e volte à mesma orientação. No caso de o tempo ser demasiado curto para permitir uma medição fiável, ajuste a diferença entre frequências para um valor mais baixo.<br />
# Use o valor obtido para determinar indirectamente a diferença de frequências usando \(\Delta f = \frac{1}{T}.\)<br />
# Coloque agora o osciloscópio no modo temporal (Botão Menu: Scope) e active a operação de soma dos dois canais (Botão Math: Add C1,C2).<br />
# Meça o período dos batimentos \(T_{bat}\) da onda azul. Terá que ajustar a escala horizontal do osciloscópio, já que o período dos batimentos é muito mais longo do que o período das ondas. Se necessário, pode "congelar" a imagem usando o botão "Run Stop". <br />
# Repita os passos acima para outro par de frequências com uma separação diferente.<br />
<br />
==Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos==<br />
<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções UNI-T modelo UTG1000X]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Oscilosc.C3.B3pio_digital Osciloscópio digital Rohde & Schwarz modelo RTB2002]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo BNC e adaptador-T BNC<br />
* Dois transdutores [https://pt.wikipedia.org/wiki/Piezoeletricidade piezoeléctricos]<br />
* Conjunto de cilindros metálicos de diversos comprimentos<br />
* Craveira<br />
<br />
===Procedimento===<br />
O objectivo é medir experimentalmente a velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos, através da medição do tempo de trajecto para diferentes comprimentos.<br />
[[Ficheiro:Ondas-mecanicas.png|thumb|upright=1.0|Montagem para medição da velocidade de ondas mecânicas.]]<br />
<br />
# Com a [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Craveira craveira], meça e registe o comprimento de cada cilindro metálico.<br />
# Estabeleça as ligações como se indica no esquema da figura. Ajuste o canal 1 do gerador de sinais para emitir uma onda quadrada de frequência 1 kHz e amplitude 20 Vpp. No osciloscópio, ligue essa saída ao canal 1 (usando o adaptador T) e ajuste o trigger para os seguintes parâmetros:<br />
#* Fonte: canal 1<br />
#* Tipo: Edge, sentido ascendente<br />
#* Nível: ajuste de modo a observar uma onda quadrada estável<br />
# Ligue o outro conector do adaptador T a um dos transdutores piezoeléctricos (T1 na figura). Ligue o outro transdutor (T2) ao canal 2 do osciloscópio e visualize os dois canais. Ajuste a ampliação temporal de modo a ver a região na vizinhança do sentido ascendente da onda quadrada, numa escala da ordem dos \(\mu\)s/div. A ampliação vertical deverá ser diferente da do canal 1, da ordem de 10-100 mV por divisão.<br />
# Para um melhor contacto entre os transdutores e os cilindros, espalhe uma pequena gota de líquido acoplante na face de cada transdutor. Evite contaminar outros objectos com o líquido, já que é bastante viscoso.<br />
# No osciloscópio, observe num canal o sinal emitido e noutro o sinal recebido (depois de ter atravessado o cilindro).<br />
# Para a medição do intervalo de tempo entre os dois sinais, é usada a função [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Instru.C3.A7.C3.B5es_de_opera.C3.A7.C3.A3o_4 Cursor do osciloscópio]. Usando os cursores verticais do osciloscópio (Botão Cursor: Type=Vertical), leia e registe o atraso entre os dois sinais. Repita para os outros cilindros. Estime o erro das observações, tendo em conta a escala e a forma dos sinais observados. Grave e anexe uma imagem que capte os dois sinais obtidos.<br />
# Quando terminar as medições, limpe os resíduos de líquido acoplante das faces dos sensores e das amostras e volte a colocá-los na caixa.<br />
# No fitteia, represente graficamente o tempo de propagação vs. comprimento e, por regressão linear, obtenha o melhor ajuste a uma recta. A partir desta, obtenha a velocidade de propagação da onda. Anexe ao relatório o gráfico obtido.<br />
<br />
===Registo de dados===<br />
No final de todas as experiências, copie para o seu computador os ficheiros que foram gravados na pen USB. Quando terminar, assegure-se de que volta a ligar a pen no osciloscópio.<br />
<br />
Em cada uma das imagens que anexar ao relatório, assegure-se de que é incluída a respectiva descrição.<br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://physics-zone.com/virtual-oscilloscope/ Virtual Oscilloscope] Simulador de gerador de sinais e osciloscópio<br />
* [https://academo.org/demos/wave-interference-beat-frequency/ Wave interference beat frequency] Simulador de interferência de duas ondas e batimentos<br />
* [https://academo.org/demos/lissajous-curves/ Lissajous curves] Simulador de figuras de Lissajous</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=F%C3%ADsica_Experimental&diff=6358Física Experimental2026-02-16T15:56:06Z<p>Ist23437: /* Material de apoio */</p>
<hr />
<div>=Laboratório de Introdução à Física Experimental=<br />
<br />
==Guias de Experiências==<br />
# [[Experiência de Thomson]]<br />
# [[Experiência de Millikan]]<br />
# [[Instrumentação e Análise de Sinais]]<br />
# [[Óptica Geométrica]]<br />
# [[Espectroscopia e Efeito Fotoeléctrico]]<br />
<br />
==Material de apoio==<br />
===Teoria===<br />
* [[Erros e incertezas experimentais]]<br />
* [[Óptica geométrica e lentes]]<br />
* [[Notas de apoio às aulas teóricas]]<br />
===Guias práticos===<br />
* [[Segurança no laboratório]]<br />
* [[Elaboração do relatório]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos e de medição]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos - guias]]<br />
<!-- * [[Instrumentos eléctricos e de medição - exercícios]] --><br />
===Vídeos de apoio===<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v&#61;p1pybe5wQQk Precisão e incerteza]<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v&#61;ZzpFVnzxtiM Multímetro digital]<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v&#61;_aXec2-54jI Gerador de sinais]<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v&#61;RfhsMucUdMM Osciloscópio]</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=F%C3%ADsica_Experimental&diff=6357Física Experimental2026-02-16T15:55:03Z<p>Ist23437: </p>
<hr />
<div>=Laboratório de Introdução à Física Experimental=<br />
<br />
==Guias de Experiências==<br />
# [[Experiência de Thomson]]<br />
# [[Experiência de Millikan]]<br />
# [[Instrumentação e Análise de Sinais]]<br />
# [[Óptica Geométrica]]<br />
# [[Espectroscopia e Efeito Fotoeléctrico]]<br />
<br />
==Material de apoio==<br />
===Teoria===<br />
* [[Erros e incertezas experimentais]]<br />
* [[Óptica geométrica e lentes]]<br />
* [[Notas de apoio às aulas teóricas]]<br />
===Guias práticos===<br />
* [[Segurança no laboratório]]<br />
* [[Elaboração do relatório]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos e de medição]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos - guias]]<br />
<br />
<!-- * [[Instrumentos eléctricos e de medição - exercícios]] --><br />
<br />
===Vídeos de apoio===<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v&#61;p1pybe5wQQk Precisão e incerteza]<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v&#61;ZzpFVnzxtiM Multímetro digital]<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v&#61;_aXec2-54jI Gerador de sinais]<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v&#61;RfhsMucUdMM Osciloscópio]</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=F%C3%ADsica_Experimental&diff=6356Física Experimental2026-02-16T15:53:47Z<p>Ist23437: /* Material de apoio */</p>
<hr />
<div>=Laboratório de Introdução à Física Experimental=<br />
<br />
==Guias de Experiências==<br />
# [[Experiência de Thomson]]<br />
# [[Experiência de Millikan]]<br />
# [[Instrumentação e Análise de Sinais]]<br />
# [[Óptica Geométrica]]<br />
# [[Espectroscopia e Efeito Fotoeléctrico]]<br />
<br />
==Material de apoio==<br />
===Teoria===<br />
* [[Erros e incertezas experimentais]]<br />
* [[Óptica geométrica e lentes]]<br />
* [[Notas de apoio às aulas teóricas]]<br />
===Guias práticos===<br />
* [[Segurança no laboratório]]<br />
* [[Elaboração do relatório]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos e de medição]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos - guias]]<br />
<br />
<!-- * [[Instrumentos eléctricos e de medição - exercícios]] --><br />
<br />
===Vídeos de apoio===<br />
<ul><br />
<li><br />
<a href="https://www.youtube.com/watch?v&#61;p1pybe5wQQk">Precisão e incerteza</a></li><br />
<li><a href="https://www.youtube.com/watch?v&#61;ZzpFVnzxtiM">Multímetro digital</a></li><br />
<li><a href="https://www.youtube.com/watch?v&#61;_aXec2-54jI">Gerador de sinais</a></li><br />
<li><a href="https://www.youtube.com/watch?v&#61;RfhsMucUdMM">Osciloscópio</a></li><br />
</ul></div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Fisica_Experimental&diff=6355Fisica Experimental2026-02-16T15:49:16Z<p>Ist23437: Criou a página com "=Laboratório de Introdução à Física Experimental= ==Guias de Experiências== # Experiência de Thomson # Experiência de Millikan # Instrumentação e Análi..."</p>
<hr />
<div>=Laboratório de Introdução à Física Experimental=<br />
<br />
==Guias de Experiências==<br />
# [[Experiência de Thomson]]<br />
# [[Experiência de Millikan]]<br />
# [[Instrumentação e Análise de Sinais]]<br />
# [[Óptica Geométrica]]<br />
# [[Espectroscopia e Efeito Fotoeléctrico]]<br />
<br />
==Material de apoio==<br />
===Teoria===<br />
* [[Erros e incertezas experimentais]]<br />
* [[Óptica geométrica e lentes]]<br />
* [[Notas de apoio às aulas teóricas]]<br />
===Guias práticos===<br />
* [[Segurança no laboratório]]<br />
* [[Elaboração do relatório]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos e de medição]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos - guias]]<br />
<br />
<!-- * [[Instrumentos eléctricos e de medição - exercícios]] --></div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Instrumenta%C3%A7%C3%A3o_e_An%C3%A1lise_de_Sinais&diff=6354Instrumentação e Análise de Sinais2026-02-13T17:21:28Z<p>Ist23437: /* Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente */</p>
<hr />
<div>{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
Pretende-se com este trabalho introduzir os principais [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o instrumentos eléctricos] utilizados em laboratório de Física Experimental, desenvolvendo competências básicas de medição, observação e análise de sinais eléctricos. O objectivo central é compreender como medir e interpretar grandezas eléctricas em regimes contínuo (DC) e alternado (AC), bem como reconhecer as limitações e o comportamento não ideal dos dispositivos reais.<br />
<br />
=Introdução=<br />
A instrumentação eléctrica é omnipresente na Física Experimental, sendo fundamental em áreas tão diversas como a física de partículas e nuclear, nanotecnologias e matéria condensada, lasers e fotónica, fusão nuclear, e muitas outras. A grande maioria das experiências laboratoriais envolve, de forma directa ou indirecta, a geração, medição e análise de sinais eléctricos. Por essa razão, é importante adquirir familiaridade e confiança na utilização dos principais instrumentos eléctricos de laboratório, bem como na interpretação crítica das medições realizadas.<br />
<br />
Nesta experiência são utilizados os seguintes instrumentos:<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Oscilosc.C3.B3pio Osciloscópio digital] – permite observar sinais eléctricos dependentes do tempo, medir amplitudes, períodos e frequências, analisar formas de onda e estudar relações de fase entre sinais.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções] – utilizado para produzir sinais eléctricos controlados, com diferentes formas de onda (sinusoidal, quadrada, triangular), frequências e amplitudes, servindo como fonte de excitação para o estudo de circuitos e dispositivos eléctricos.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Mult.C3.ADmetro Multímetro] – instrumento versátil destinado à medição de grandezas eléctricas como tensões contínuas (DC), tensões alternadas (AC) e resistências eléctricas, sendo essencial para a caracterização quantitativa de componentes e sistemas.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Fonte_de_tens.C3.A3o Fonte de alimentação] – fornece tensões ou correntes controladas a um circuito, operando tipicamente em modos de tensão constante (CV) ou corrente constante (CC), permitindo estudar o comportamento de dispositivos reais sob diferentes condições de alimentação.<br />
<br />
Para informações gerais sobre o funcionamento e aplicação em laboratório destes e outros instrumentos, consulte a página [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o Instrumentos eléctricos e de medição].<br />
Para especificações detalhadas e guia de funcionamento dos equipamentos usados em LIFE, deverá ler atentamente (e '''antes da sessão de laboratório''') as instruções de [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias Instrumentos eléctricos - guias].<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety-small.png|upright=0.5]] || '''Conselhos de segurança''' <br />
Embora os instrumentos utilizados operem em regimes de baixa tensão e corrente, devem ser respeitadas algumas precauções básicas:<br />
* Verificar sempre as ligações '''antes de ligar''' a alimentação do circuito<br />
* Evitar curto-circuitos, em particular nas saídas da fonte de alimentação e do gerador de funções<br />
* Começar as medições com tensões e correntes baixas, aumentando-as gradualmente<br />
* Não alterar ligações com a fonte de alimentação ligada<br />
* Utilizar correctamente as escalas e terminais do multímetro<br />
* Evitar o aquecimento excessivo de componentes (por exemplo, lâmpadas ou resistências)<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Introdução==<br />
===Grandezas eléctricas===<br />
A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Eletricidade electricidade] diz respeito ao conjunto de fenómenos associados à presença, distribuição e movimento de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica cargas eléctricas]. <br />
* A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_el%C3%A9trica corrente eléctrica] corresponde ao movimento ordenado dessas cargas num meio material, sendo quantitativamente definida como a quantidade de carga que atravessa uma secção do condutor por unidade de tempo. <br />
* Esse movimento é induzido pela aplicação de uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_el%C3%A9trica tensão eléctrica], ou diferença de potencial eléctrico, que representa o trabalho realizado por unidade de carga entre dois pontos de um circuito. <br />
* A relação entre tensão e corrente depende das propriedades do meio, sendo caracterizada pela [https://pt.wikipedia.org/wiki/Resist%C3%AAncia_el%C3%A9trica resistência eléctrica], que expressa a oposição do material à passagem da corrente. <br />
* Em muitos condutores, para regimes de funcionamento adequados, estas grandezas obedecem à [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Ohm lei de Ohm], constituindo um modelo fundamental para a análise de circuitos eléctricos.<br />
* A potência eléctrica corresponde à taxa de transferência de energia num circuito eléctrico e, em regime contínuo ou resistivo, é dada pelo produto da tensão pela corrente (\(P=V\,I\)), permitindo quantificar a energia dissipada ou fornecida pelos dispositivos eléctricos.<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Grandeza<br />
! style="text-align:center;" | Nome da unidade<br />
! style="text-align:center;" | Símbolo<br />
! style="text-align:center;" | Relação com outras grandezas<br />
|-<br />
| Carga eléctrica (\(Q\))<br />
| style="text-align:center;" | coulomb<br />
| style="text-align:center;" | C<br />
| style="text-align:center;" | \(Q = I\,t\)<br />
|-<br />
| Corrente eléctrica (\(I\))<br />
| style="text-align:center;" | ampere<br />
| style="text-align:center;" | A<br />
| style="text-align:center;" | \(I = Q/t\)<br />
|-<br />
| Tensão eléctrica (\(V\))<br />
| style="text-align:center;" | volt<br />
| style="text-align:center;" | V<br />
| style="text-align:center;" | \(V = R\,I\)<br />
|-<br />
| Resistência eléctrica (\(R\))<br />
| style="text-align:center;" | ohm<br />
| style="text-align:center;" | \(\Omega\)<br />
| style="text-align:center;" | \(R = V/I\)<br />
|-<br />
| Potência eléctrica (\(P\))<br />
| style="text-align:center;" | watt<br />
| style="text-align:center;" | W<br />
| style="text-align:center;" | \(P = V\,I\)<br />
|}<br />
<br />
===Sinais eléctricos===<br />
[[Ficheiro:vpp.png|thumb|upright=1.0|Medição de tensão AC: definições. \(V_{pk}\) - tensão de pico; \(V_{pp}\) - tensão pico-a-pico; \(V_{RMS}\) - tensão eficaz)]]<br />
Um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_cont%C3%ADnua sinal contínuo (DC)] caracteriza-se por manter um valor de tensão constante no tempo. Em [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_alternada sinais alternados (AC)], é importante distinguir entre a tensão pico-a-pico \(V_{pp}\) e a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_eficaz|tensão eficaz] ou \(V_{RMS}\) (''root mean square''), sendo fundamental identificar correctamente qual delas está a ser medida ou ajustada nos instrumentos de laboratório:<br />
* A tensão pico-a-pico corresponde à diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do sinal e descreve apenas a sua variação total em amplitude <br />
* A tensão RMS é uma grandeza fisicamente mais relevante, pois está directamente relacionada com a potência dissipada numa carga resistiva. Em particular, uma tensão alternada com valor RMS igual a uma dada tensão contínua produzirá o mesmo efeito térmico nessa resistência. Para sinais sinusoidais, estas grandezas estão relacionadas por <br />
<br />
\(V_{RMS}=V_{pp}/(2\sqrt{2})\)<br />
<br />
Para outros tipos de onda (quadrada, triangular, etc) a relação de proporcionalidade é diferente. No caso mais geral, o seu valor pode ser obtido a partir do cálculo do integral <br />
<br />
<math><br />
V_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,\mathrm{d}t}<br />
</math><br />
<br />
onde \(v(t)\) é a tensão instantânea e \(T\) é o período do sinal. Ou seja, a relação \(V_{rms}/V_{pp}\) depende da forma da onda.<br />
<br />
Em sinais variáveis, é frequente existir uma componente contínua sobreposta à componente alternada, designada por ''offset'' (desvio). O ''offset'' corresponde ao valor médio do sinal e traduz um deslocamento vertical da forma de onda relativamente ao zero de tensão. Assim, um sinal pode apresentar variações periódicas em torno de um valor não nulo, combinando uma componente AC com uma componente DC. A distinção entre tensão DC, amplitude do sinal e ''offset'' é essencial para a correcta configuração do gerador de funções e para a interpretação das medições realizadas com o osciloscópio e o multímetro.<br />
<br />
===Sinais periódicos===<br />
<br />
[[Ficheiro:ondas-freq-amp-fase.png|thumb|upright=1.0|Características de ondas periódicas.]]<br />
<br />
Sinais periódicos são sinais eléctricos que se repetem regularmente no tempo, podendo ser caracterizados por um período \(T\) e pela frequência correspondente \(f=1/T\). Em laboratório, estes sinais são tipicamente produzidos com um gerador de funções, que permite gerar diferentes formas de onda periódicas — como sinais sinusoidais, quadrados e triangulares — com amplitudes, frequências e ''offset'' ajustáveis. A correcta identificação destes parâmetros é essencial para a análise e comparação de sinais eléctricos.<br />
<br />
Entre os sinais periódicos, o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Senoide sinal sinusoidal] assume um papel particular, por poder ser descrito matematicamente de forma simples e por surgir frequentemente em sistemas físicos. Para um sinal sinusoidal, além da amplitude, do período e da frequência, é introduzido o conceito de fase, que especifica o estado da oscilação num dado instante e permite quantificar o desfasamento entre dois sinais com a mesma frequência.<br />
<br />
[[Ficheiro:lissajous.png|thumb|upright=1.0|Exemplos de figuras de Lissajous.]]<br />
<br />
O osciloscópio é o instrumento adequado para visualizar as propriedades de sinais periódicos. No caso do osciloscópio ter mais do que um canal, podem comparar-se directamente as características dos sinais. O modo XY permite representar a tensão de um canal em função da tensão do outro, substituindo a base de tempos por um eixo de tensão. Quando dois sinais sinusoidais são aplicados aos eixos X e Y, surgem curvas designadas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous figuras de Lissajous], cuja forma depende da razão entre as frequências, da diferença de fase e das amplitudes relativas dos sinais. Estas figuras constituem uma ferramenta útil para a comparação de frequências e para a análise do desfasamento entre sinais periódicos: <br />
* Quando as frequências são iguais, a figura é uma elipse cuja orientação e excentricidade dependem do desfasamento; casos particulares correspondem a uma recta ou a um círculo.<br />
* Para frequências em razão racional simples, surgem figuras fechadas com padrões característicos, enquanto razões irracionais conduzem a figuras não estacionárias. <br />
Estas propriedades permitem utilizar as figuras de Lissajous para comparar frequências e determinar desfasamentos entre sinais.<br />
<br />
==Medições com sinais DC==<br />
===Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente===<br />
Nesta experiência estuda-se o comportamento não-óhmico de uma lâmpada incandescente, isto é, um dispositivo eléctrico cuja corrente ''não é'' proporcional à tensão aplicada. Ao contrário de uma resistência ideal, a lâmpada contém um filamento metálico que aquece significativamente quando percorrido por corrente, o que faz com que a sua resistência varie durante o funcionamento.<br />
<br />
O objectivo principal é caracterizar experimentalmente a relação entre a tensão \(V\) aplicada à lâmpada e a corrente \(I\) que a atravessa, e verificar que essa relação é não linear. Para isso, medem-se vários pares tensão-corrente para diferentes valores da tensão aplicada, calculando-se em cada ponto a resistência efectiva \(R=V/I\).<br />
<br />
Os dados experimentais são depois analisados através da representação gráfica de \(I\) em função de \(V\). Em particular, testa-se se os resultados podem ser descritos por uma lei de potência do tipo \(I\propto V^\alpha\), determinando-se o expoente \(\alpha\) por regressão.<br />
<br />
==Medições com sinais AC==<br />
===Sinais periódicos eléctricos===<br />
Nesta experiência estudam-se várias propriedades dos sinais AC, tais como a diferença entre tensão pico-a-pico e RMS, e a comparação entre sinais de frequências iguais, próximas, ou de quociente racional. Para isso, usam-se o gerador de funções, o multímetro e o osciloscópio.<br />
<br />
Para estudo e comparação de dois sinais periódicos é muito útil o uso do modo XY no osciloscópio e a observação das figuras de Lissajous resultantes. Assim, vamos observar e registar a forma destas curvas para vários quocientes racionais de frequências e diferenças de fase. As figuras de Lissajous são importantes porque permitem visualizar e determinar relações de fase e de frequência entre dois sinais periódicos, sendo amplamente usadas na caracterização de sinais eléctricos, na calibração de instrumentos e no estudo de sistemas oscilatórios.<br />
<br />
Por fim, vamos sobrepor duas frequências muito próximas e observar o aparecimento de batimentos no osciloscópio. Estes ocorrem quando se somam dois sinais periódicos de frequências muito próximas, \(f_1 \approx f_2\). O sinal resultante apresenta uma oscilação rápida, com frequência aproximadamente igual à média das duas frequências, cuja amplitude varia lentamente no tempo. Esta variação lenta da amplitude designa-se por batimento e ocorre com uma frequência igual à diferença das frequências dos dois sinais:<br />
<math><br />
f_{\mathrm{bat}} = |f_1 - f_2|.<br />
</math><br />
Fisicamente, os batimentos resultam da variação lenta da fase relativa entre os dois sinais. O fenómeno dos batimentos é importante porque permite medir pequenas diferenças de frequência e surge em múltiplos contextos, desde a acústica e afinação de instrumentos musicais até sistemas de comunicações, interferometria e metrologia de precisão.<br />
<br />
==Medição com sinais pulsados==<br />
===Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos===<br />
Nesta experiência vamos usar gerador de funções e o osciloscópio digital de dois canais para medir intervalos de tempo entre dois eventos e determinar a velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos. O gerador emite impulsos eléctricos que são transformados em impulsos mecânicos por um transdutor piezoelétrico, bem acoplado a uma das faces de uma dada amostra. Na face oposta coloca-se outro transdutor, que após receber o impulso mecânico o transforma num sinal eléctrico e o envia ao osciloscópio. O tempo de percurso é relativamente curto, já que as velocidades de propagação nos meios sólidos são da ordem de km/s. Para a sua determinação usamos o osciloscópio, observando o impulso emitido e o recebido depois de ter atravessado a amostra. Através do uso de cursores e medições automáticas, é possível realizar as medições de forma rápida e fiável.<br />
<br />
Para uma determinação mais precisa da velocidade, serão medidos os tempos de propagação através de amostras de diferentes comprimentos, efectuando-se um ajuste linear aos pontos tempo vs. comprimento. O declive deste ajuste, com unidades s/m, é o inverso da velocidade.<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# É essencial a '''leitura prévia''' do seguinte material:<br />
#* [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o Instrumentos eléctricos e de medição]<br />
#* [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias Instrumentos eléctricos - guias]<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório.<br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Na secção [[#Ligações externas|Ligações externas]] pode encontrar diversas simulações online que pode usar para praticar os conceitos a usar em laboratório.<br />
<br />
==Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente==<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Fonte_de_alimenta.C3.A7.C3.A3o_DC Fonte de tensão UNI-T modelo UDP1306C]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Mult.C3.ADmetro_de_bancada Multímetro de bancada UNI-T modelo UT8804E]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo banana<br />
* Lâmpada de 24 V<br />
<br />
===Procedimento===<br />
O objectivo é medir experimentalmente a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_caracter%C3%ADstica_corrente-tens%C3%A3o curva característica corrente–tensão] de uma lâmpada e determinar a resistência eléctrica efectiva em função do regime de funcionamento.<br />
<br />
# Antes de fazer qualquer conexão:<br />
#* Ligue a fonte de tensão DC e garanta que o botão "output" está desligado <br />
#* Coloque a fonte no modo CV, com uma tensão de 0.000 V<br />
#* Ajuste a corrente para um limite máximo de 150 mA<br />
#* Na primeira coluna da tabela do relatório preencha 5 valores de tensões entre 0.5 V e 5 V, e outros 5 valores entre 5 V e 24 V. Exemplo: 0.5, 1.0, 2.5, etc<br />
#* Antes de avançar, chame o professor para verificação<br />
# Ligue os terminais da lâmpada à fonte DC.<br />
# Pressione o botão "output" para o apagar e ajuste a tensão de saída da fonte para o primeiro valor da lista. Pressione de novo o botão output para o acender, espere 10 segundos e registe os valores de tensão e corrente indicados, indicando as incertezas respectivas.<br />
# Repita o passo acima para cada um dos valores de tensão escolhidos. No caso de o regime da fonte de tensão mudar de CV para CC, não aumente mais a tensão.<br />
# Insira os dados da tabela no [https://sites.google.com/tecnico.ulisboa.pt/fitteia/home fitteia] e ajuste uma lei de potência do tipo \(I=aV^b\) (no fitteia: "y=a*pow(x, b)"), registando os respectivos coeficientes calculados. Anexe ao relatório uma cópia do gráfico obtido.<br />
<br />
==Sinais periódicos eléctricos==<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções UNI-T modelo UTG1000X]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Mult.C3.ADmetro_de_bancada Multímetro de bancada UNI-T modelo UT8804E]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Oscilosc.C3.B3pio_digital Osciloscópio digital Rohde & Schwarz modelo RTB2002]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo BNC e banana<br />
<br />
===Procedimento===<br />
<br />
'''i) Formas de onda'''<br />
# Desactive ambos os canais do gerador de funções e ligue a saída CH1 ao multímetro digital (entrada \(V\Omega Hz\)) usando um cabo BNC-banana.<br />
# No canal 1 do gerador de sinais, escolha uma onda sinusoidal (botão "Wave", opção "Sine") de frequência \(f_1\) no canal 1, da ordem dos kHz e uma tensão da ordem dos volt. Active o canal.<br />
# Registe a tensão \(V_{rms}\) lida no multímetro. <br />
# Repita a medição da tensão para outras formas de onda: quadrada e dente-de-serra (botão "Wave", opções "Square" ou "Ramp"). Quando terminar, desactive o canal 1.<br />
# Ligue agora a saída CH1 ao osciloscópio (entrada CH1) usando um conector BNC-BNC. Active o canal 1 do gerador.<br />
# Registe a tensão \(V_{pk-pk}\) lida no osciloscópio para as mesmas formas de onda: sinusoidal, quadrada e triangular.<br />
<br />
'''ii) Sinais com a mesma frequência'''<br />
# Ligue as saídas CH1 e CH2 do gerador de funções às respectivas entradas do osciloscópio.<br />
# Seleccione em ambos os canais do gerador uma onda sinusoidal.<br />
# Ajuste as amplitudes dos dois sinais para valores iguais, verificando no osciloscópio em modo temporal.<br />
# Garanta que ambos os canais do osciloscópio estão configurados com o mesmo ganho vertical.<br />
# Verifique que a pen USB está inserida no osciloscópio.<br />
# Ajuste o gerador de funções de modo a que os dois sinais tenham a mesma frequência, \(f_1=f_2\).<br />
# Coloque o osciloscópio em modo XY (Botão Menu: XY), de modo a visualizar simultaneamente a figura de Lissajous e os canais CH1 e CH2.<br />
# Varie a diferença de fase entre os dois sinais de 10 em 10 graus. Para isto, pode por exemplo manter a fase do CH1 (no gerador de funções) em 0 graus, enquanto varia a fase do CH2. Observe como varia a figura de Lissajous e a relação temporal entre os sinais sinusoidais.<br />
# Para os valores \(\phi=\)0, 90, e 180 graus, grave as formas de onda obtidas e anexe ao relatório. Comente sobre a variação observada.<br />
<br />
'''iii) Sinais com quociente racional de frequências'''<br />
# Escolha três quocientes racionais de inteiros baixos (por exemplo: \(3{:}1, 3{:}2, 5{:}4\)).<br />
# Para cada quociente escolhido, ajuste as frequências \(f_1\) e \(f_2\) de modo a respeitar a razão escolhida.<br />
# Como no ponto anterior, varie a diferença de fase entre os dois sinais de 10 em 10 graus. Observe como varia a figura de Lissajous e a relação temporal entre os sinais sinusoidais.<br />
# Para os valores \(\phi=\)0, 45 e 90 graus, grave as formas de onda obtidas e anexe ao relatório.<br />
# Na sua análise, compare o número de lóbulos e a forma da figura com o quociente de frequências utilizado.<br />
<br />
'''iv) Frequências muito próximas — batimentos'''<br />
# Volte a colocar a fase relativa a zero e ajuste os dois sinais do gerador para frequências muito próximas, \(f_1 \approx f_2\), da ordem do kHz e com uma diferença da ordem de 1/10 Hz.<br />
# Com o osciloscópio em modo XY, observe a rotação lenta da figura de Lissajous.<br />
# Meça o tempo \(T\) necessário para que a figura complete uma rotação completa e volte à mesma orientação. No caso de o tempo ser demasiado curto para permitir uma medição fiável, ajuste a diferença entre frequências para um valor mais baixo.<br />
# Use o valor obtido para determinar indirectamente a diferença de frequências usando \(\Delta f = \frac{1}{T}.\)<br />
# Coloque agora o osciloscópio no modo temporal (Botão Menu: Scope) e active a operação de soma dos dois canais (Botão Math: Add C1,C2).<br />
# Meça o período dos batimentos \(T_{bat}\) da onda azul. Terá que ajustar a escala horizontal do osciloscópio, já que o período dos batimentos é muito mais longo do que o período das ondas. Se necessário, pode "congelar" a imagem usando o botão "Run Stop". <br />
# Repita os passos acima para outro par de frequências com uma separação diferente.<br />
<br />
==Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos==<br />
<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções UNI-T modelo UTG1000X]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Oscilosc.C3.B3pio_digital Osciloscópio digital Rohde & Schwarz modelo RTB2002]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo BNC e adaptador-T BNC<br />
* Dois transdutores [https://pt.wikipedia.org/wiki/Piezoeletricidade piezoeléctricos]<br />
* Conjunto de cilindros metálicos de diversos comprimentos<br />
* Craveira<br />
<br />
===Procedimento===<br />
O objectivo é medir experimentalmente a velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos, através da medição do tempo de trajecto para diferentes comprimentos.<br />
[[Ficheiro:Ondas-mecanicas.png|thumb|upright=1.0|Montagem para medição da velocidade de ondas mecânicas.]]<br />
<br />
# Com a [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Craveira craveira], meça e registe o comprimento de cada cilindro metálico.<br />
# Estabeleça as ligações como se indica no esquema da figura. Ajuste o canal 1 do gerador de sinais para emitir uma onda quadrada de frequência 100 Hz e amplitude 5 V. No osciloscópio, ligue essa saída ao canal 1 (usando o adaptador T) e ajuste o trigger para os seguintes parâmetros:<br />
#* Fonte: canal 1<br />
#* Tipo: Edge, sentido ascendente<br />
#* Nível: ajuste de modo a observar uma onda quadrada estável<br />
# Ligue o outro conector do adaptador T a um dos transdutores piezoeléctricos (T1 na figura). Ligue o outro transdutor (T2) ao canal 2 do osciloscópio e visualize os dois canais. Ajuste a ampliação temporal de modo a ver a região na vizinhança do sentido ascendente da onda quadrada, numa escala da ordem dos \(\mu\)s/div.<br />
# Para um melhor contacto entre os transdutores e os cilindros, espalhe uma gota de líquido acoplante na face de cada transdutor. No osciloscópio, observe num canal o sinal emitido e noutro o sinal recebido (depois de ter atravessado o cilindro).<br />
# Para a medição do intervalo de tempo entre os dois sinais, é usada a função [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Instru.C3.A7.C3.B5es_de_opera.C3.A7.C3.A3o_4 Cursor do osciloscópio]. Usando os cursores verticais do osciloscópio (Botão Cursor: Type=Vertical), leia e registe o atraso entre os dois sinais. Repita para os outros cilindros. Estime o erro das observações, tendo em conta a escala e a forma dos sinais observados. Grave e anexe uma imagem que capte os dois sinais obtidos.<br />
# No fitteia, represente graficamente o tempo de propagação vs. comprimento e, por regressão linear, obtenha o melhor ajuste a uma recta. A partir desta, obtenha a velocidade de propagação da onda. Anexe ao relatório o gráfico obtido.<br />
<br />
===Registo de dados===<br />
No final de todas as experiências, copie para o seu computador os ficheiros que foram gravados na pen USB. Quando terminar, assegure-se de que volta a ligar a pen no osciloscópio.<br />
<br />
Em cada uma das imagens que anexar ao relatório, assegure-se de que é incluída a respectiva descrição.<br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://physics-zone.com/virtual-oscilloscope/ Virtual Oscilloscope] Simulador de gerador de sinais e osciloscópio<br />
* [https://academo.org/demos/wave-interference-beat-frequency/ Wave interference beat frequency] Simulador de interferência de duas ondas e batimentos<br />
* [https://academo.org/demos/lissajous-curves/ Lissajous curves] Simulador de figuras de Lissajous</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6353Experiência de Millikan2026-02-13T16:13:31Z<p>Ist23437: /* Determinação da velocidade limite e da carga */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccffcc;"<br />
| '''Atenção:''' A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
* caso não consiga ver gotas com qualidade suficiente, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, que deverá ser o majorante entre (i) o maior dos desvios ao valor médio e (ii) a maior das incertezas individuais.</li><br />
<li> Use os valores obtidos para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6352Experiência de Millikan2026-02-13T14:58:19Z<p>Ist23437: /* Determinação da velocidade limite e da carga */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccffcc;"<br />
| '''Atenção:''' A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
* caso não consiga ver gotas com qualidade suficiente, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6351Experiência de Millikan2026-02-13T14:56:51Z<p>Ist23437: /* Determinação da velocidade limite e da carga */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccffcc;"<br />
| '''Atenção:''' A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
|}<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6350Experiência de Millikan2026-02-13T14:56:29Z<p>Ist23437: /* Determinação da velocidade limite e da carga */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccffccc;"<br />
| '''Atenção:''' A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
|}<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6349Experiência de Millikan2026-02-13T14:55:16Z<p>Ist23437: /* Determinação da velocidade limite e da carga */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
A observação das cargas requer concentração visual prolongada:<br />
* distribuam o trabalho de observação por todos os membros do grupo, de modo a evitar fadiga visual<br />
* durante as medições, um dos membros poderá apenas visualizar as gotas e controlar a tensão, enquanto outro pressiona o botão "Start" do contador e regista os tempos<br />
<br />
<ol><br />
<li value="7"> Active o botão "start" do contador. Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite).</li><br />
<li> Quando a gota tiver percorrido a distância prevista, volte a ligar a tensão, parando-a, e registe o tempo do contador. Note que, uma vez registado, deve voltar a activar o botão "Start".</li><br />
<li> Ajustando o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com um colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6348Experiência de Millikan2026-02-13T14:47:05Z<p>Ist23437: /* Material */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar digital, por exemplo app de telemóvel ("bubble level meter")<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Ficheiro:Esquema-Millikan1.jpg&diff=6347Ficheiro:Esquema-Millikan1.jpg2026-02-13T14:45:42Z<p>Ist23437: </p>
<hr />
<div></div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6346Experiência de Millikan2026-02-13T14:45:24Z<p>Ist23437: /* Procedimento experimental */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6345Experiência de Millikan2026-02-13T14:40:17Z<p>Ist23437: /* Procedimento experimental */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6344Experiência de Millikan2026-02-13T14:40:02Z<p>Ist23437: /* Procedimento experimental */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan1.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=F%C3%ADsica_Experimental&diff=6343Física Experimental2026-02-13T10:29:37Z<p>Ist23437: /* Guias de Experiências */</p>
<hr />
<div>=Laboratório de Introdução à Física Experimental=<br />
<br />
==Guias de Experiências==<br />
# [[Experiência de Thomson]]<br />
# [[Experiência de Millikan]]<br />
# [[Instrumentação e Análise de Sinais]]<br />
# [[Óptica Geométrica]]<br />
# [[Espectroscopia e Efeito Fotoeléctrico]]<br />
<br />
==Material de apoio==<br />
===Teoria===<br />
* [[Erros e incertezas experimentais]]<br />
* [[Óptica geométrica e lentes]]<br />
* [[Notas de apoio às aulas teóricas]]<br />
===Guias práticos===<br />
* [[Segurança no laboratório]]<br />
* [[Elaboração do relatório]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos e de medição]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos - guias]]<br />
<br />
<!-- * [[Instrumentos eléctricos e de medição - exercícios]] --></div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=F%C3%ADsica_Experimental&diff=6342Física Experimental2026-02-13T10:27:25Z<p>Ist23437: </p>
<hr />
<div>=Laboratório de Introdução à Física Experimental=<br />
<br />
==Guias de Experiências==<br />
# [[Experiência de Thomson]]<br />
# [[http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan Experiência de Millikan]]<br />
# [[Instrumentação e Análise de Sinais]]<br />
# [[Óptica Geométrica]]<br />
# [[Espectroscopia e Efeito Fotoeléctrico]]<br />
<br />
==Material de apoio==<br />
===Teoria===<br />
* [[Erros e incertezas experimentais]]<br />
* [[Óptica geométrica e lentes]]<br />
* [[Notas de apoio às aulas teóricas]]<br />
===Guias práticos===<br />
* [[Segurança no laboratório]]<br />
* [[Elaboração do relatório]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos e de medição]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos - guias]]<br />
<br />
<!-- * [[Instrumentos eléctricos e de medição - exercícios]] --></div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6341Experiência de Millikan2026-02-12T20:11:31Z<p>Ist23437: /* Tratamento de dados */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07; \sigma_i=0.16/1.6=0.1; n_i=2; \Delta_i =0.07\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6340Experiência de Millikan2026-02-12T20:10:18Z<p>Ist23437: /* Tratamento de dados */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<ul><li>''Exemplo:'' Para \(q_i=(3.32+0.16)\times10^{-19}\) C, temos \(x_i=3.32/1.602=2.07, \sigma_i=0.16/1.6=0.1, n_i=2\).<br />
</li><br />
</ul><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Instrumenta%C3%A7%C3%A3o_e_An%C3%A1lise_de_Sinais&diff=6339Instrumentação e Análise de Sinais2026-02-12T17:38:21Z<p>Ist23437: </p>
<hr />
<div>{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
Pretende-se com este trabalho introduzir os principais [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o instrumentos eléctricos] utilizados em laboratório de Física Experimental, desenvolvendo competências básicas de medição, observação e análise de sinais eléctricos. O objectivo central é compreender como medir e interpretar grandezas eléctricas em regimes contínuo (DC) e alternado (AC), bem como reconhecer as limitações e o comportamento não ideal dos dispositivos reais.<br />
<br />
=Introdução=<br />
A instrumentação eléctrica é omnipresente na Física Experimental, sendo fundamental em áreas tão diversas como a física de partículas e nuclear, nanotecnologias e matéria condensada, lasers e fotónica, fusão nuclear, e muitas outras. A grande maioria das experiências laboratoriais envolve, de forma directa ou indirecta, a geração, medição e análise de sinais eléctricos. Por essa razão, é importante adquirir familiaridade e confiança na utilização dos principais instrumentos eléctricos de laboratório, bem como na interpretação crítica das medições realizadas.<br />
<br />
Nesta experiência são utilizados os seguintes instrumentos:<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Oscilosc.C3.B3pio Osciloscópio digital] – permite observar sinais eléctricos dependentes do tempo, medir amplitudes, períodos e frequências, analisar formas de onda e estudar relações de fase entre sinais.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções] – utilizado para produzir sinais eléctricos controlados, com diferentes formas de onda (sinusoidal, quadrada, triangular), frequências e amplitudes, servindo como fonte de excitação para o estudo de circuitos e dispositivos eléctricos.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Mult.C3.ADmetro Multímetro] – instrumento versátil destinado à medição de grandezas eléctricas como tensões contínuas (DC), tensões alternadas (AC) e resistências eléctricas, sendo essencial para a caracterização quantitativa de componentes e sistemas.<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Fonte_de_tens.C3.A3o Fonte de alimentação] – fornece tensões ou correntes controladas a um circuito, operando tipicamente em modos de tensão constante (CV) ou corrente constante (CC), permitindo estudar o comportamento de dispositivos reais sob diferentes condições de alimentação.<br />
<br />
Para informações gerais sobre o funcionamento e aplicação em laboratório destes e outros instrumentos, consulte a página [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o Instrumentos eléctricos e de medição].<br />
Para especificações detalhadas e guia de funcionamento dos equipamentos usados em LIFE, deverá ler atentamente (e '''antes da sessão de laboratório''') as instruções de [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias Instrumentos eléctricos - guias].<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety-small.png|upright=0.5]] || '''Conselhos de segurança''' <br />
Embora os instrumentos utilizados operem em regimes de baixa tensão e corrente, devem ser respeitadas algumas precauções básicas:<br />
* Verificar sempre as ligações '''antes de ligar''' a alimentação do circuito<br />
* Evitar curto-circuitos, em particular nas saídas da fonte de alimentação e do gerador de funções<br />
* Começar as medições com tensões e correntes baixas, aumentando-as gradualmente<br />
* Não alterar ligações com a fonte de alimentação ligada<br />
* Utilizar correctamente as escalas e terminais do multímetro<br />
* Evitar o aquecimento excessivo de componentes (por exemplo, lâmpadas ou resistências)<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Introdução==<br />
===Grandezas eléctricas===<br />
A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Eletricidade electricidade] diz respeito ao conjunto de fenómenos associados à presença, distribuição e movimento de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica cargas eléctricas]. <br />
* A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_el%C3%A9trica corrente eléctrica] corresponde ao movimento ordenado dessas cargas num meio material, sendo quantitativamente definida como a quantidade de carga que atravessa uma secção do condutor por unidade de tempo. <br />
* Esse movimento é induzido pela aplicação de uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_el%C3%A9trica tensão eléctrica], ou diferença de potencial eléctrico, que representa o trabalho realizado por unidade de carga entre dois pontos de um circuito. <br />
* A relação entre tensão e corrente depende das propriedades do meio, sendo caracterizada pela [https://pt.wikipedia.org/wiki/Resist%C3%AAncia_el%C3%A9trica resistência eléctrica], que expressa a oposição do material à passagem da corrente. <br />
* Em muitos condutores, para regimes de funcionamento adequados, estas grandezas obedecem à [https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Ohm lei de Ohm], constituindo um modelo fundamental para a análise de circuitos eléctricos.<br />
* A potência eléctrica corresponde à taxa de transferência de energia num circuito eléctrico e, em regime contínuo ou resistivo, é dada pelo produto da tensão pela corrente (\(P=V\,I\)), permitindo quantificar a energia dissipada ou fornecida pelos dispositivos eléctricos.<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! Grandeza<br />
! style="text-align:center;" | Nome da unidade<br />
! style="text-align:center;" | Símbolo<br />
! style="text-align:center;" | Relação com outras grandezas<br />
|-<br />
| Carga eléctrica (\(Q\))<br />
| style="text-align:center;" | coulomb<br />
| style="text-align:center;" | C<br />
| style="text-align:center;" | \(Q = I\,t\)<br />
|-<br />
| Corrente eléctrica (\(I\))<br />
| style="text-align:center;" | ampere<br />
| style="text-align:center;" | A<br />
| style="text-align:center;" | \(I = Q/t\)<br />
|-<br />
| Tensão eléctrica (\(V\))<br />
| style="text-align:center;" | volt<br />
| style="text-align:center;" | V<br />
| style="text-align:center;" | \(V = R\,I\)<br />
|-<br />
| Resistência eléctrica (\(R\))<br />
| style="text-align:center;" | ohm<br />
| style="text-align:center;" | \(\Omega\)<br />
| style="text-align:center;" | \(R = V/I\)<br />
|-<br />
| Potência eléctrica (\(P\))<br />
| style="text-align:center;" | watt<br />
| style="text-align:center;" | W<br />
| style="text-align:center;" | \(P = V\,I\)<br />
|}<br />
<br />
===Sinais eléctricos===<br />
[[Ficheiro:vpp.png|thumb|upright=1.0|Medição de tensão AC: definições. \(V_{pk}\) - tensão de pico; \(V_{pp}\) - tensão pico-a-pico; \(V_{RMS}\) - tensão eficaz)]]<br />
Um [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_cont%C3%ADnua sinal contínuo (DC)] caracteriza-se por manter um valor de tensão constante no tempo. Em [https://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_alternada sinais alternados (AC)], é importante distinguir entre a tensão pico-a-pico \(V_{pp}\) e a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_eficaz|tensão eficaz] ou \(V_{RMS}\) (''root mean square''), sendo fundamental identificar correctamente qual delas está a ser medida ou ajustada nos instrumentos de laboratório:<br />
* A tensão pico-a-pico corresponde à diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do sinal e descreve apenas a sua variação total em amplitude <br />
* A tensão RMS é uma grandeza fisicamente mais relevante, pois está directamente relacionada com a potência dissipada numa carga resistiva. Em particular, uma tensão alternada com valor RMS igual a uma dada tensão contínua produzirá o mesmo efeito térmico nessa resistência. Para sinais sinusoidais, estas grandezas estão relacionadas por <br />
<br />
\(V_{RMS}=V_{pp}/(2\sqrt{2})\)<br />
<br />
Para outros tipos de onda (quadrada, triangular, etc) a relação de proporcionalidade é diferente. No caso mais geral, o seu valor pode ser obtido a partir do cálculo do integral <br />
<br />
<math><br />
V_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^2(t)\,\mathrm{d}t}<br />
</math><br />
<br />
onde \(v(t)\) é a tensão instantânea e \(T\) é o período do sinal. Ou seja, a relação \(V_{rms}/V_{pp}\) depende da forma da onda.<br />
<br />
Em sinais variáveis, é frequente existir uma componente contínua sobreposta à componente alternada, designada por ''offset'' (desvio). O ''offset'' corresponde ao valor médio do sinal e traduz um deslocamento vertical da forma de onda relativamente ao zero de tensão. Assim, um sinal pode apresentar variações periódicas em torno de um valor não nulo, combinando uma componente AC com uma componente DC. A distinção entre tensão DC, amplitude do sinal e ''offset'' é essencial para a correcta configuração do gerador de funções e para a interpretação das medições realizadas com o osciloscópio e o multímetro.<br />
<br />
===Sinais periódicos===<br />
<br />
[[Ficheiro:ondas-freq-amp-fase.png|thumb|upright=1.0|Características de ondas periódicas.]]<br />
<br />
Sinais periódicos são sinais eléctricos que se repetem regularmente no tempo, podendo ser caracterizados por um período \(T\) e pela frequência correspondente \(f=1/T\). Em laboratório, estes sinais são tipicamente produzidos com um gerador de funções, que permite gerar diferentes formas de onda periódicas — como sinais sinusoidais, quadrados e triangulares — com amplitudes, frequências e ''offset'' ajustáveis. A correcta identificação destes parâmetros é essencial para a análise e comparação de sinais eléctricos.<br />
<br />
Entre os sinais periódicos, o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Senoide sinal sinusoidal] assume um papel particular, por poder ser descrito matematicamente de forma simples e por surgir frequentemente em sistemas físicos. Para um sinal sinusoidal, além da amplitude, do período e da frequência, é introduzido o conceito de fase, que especifica o estado da oscilação num dado instante e permite quantificar o desfasamento entre dois sinais com a mesma frequência.<br />
<br />
[[Ficheiro:lissajous.png|thumb|upright=1.0|Exemplos de figuras de Lissajous.]]<br />
<br />
O osciloscópio é o instrumento adequado para visualizar as propriedades de sinais periódicos. No caso do osciloscópio ter mais do que um canal, podem comparar-se directamente as características dos sinais. O modo XY permite representar a tensão de um canal em função da tensão do outro, substituindo a base de tempos por um eixo de tensão. Quando dois sinais sinusoidais são aplicados aos eixos X e Y, surgem curvas designadas [https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous figuras de Lissajous], cuja forma depende da razão entre as frequências, da diferença de fase e das amplitudes relativas dos sinais. Estas figuras constituem uma ferramenta útil para a comparação de frequências e para a análise do desfasamento entre sinais periódicos: <br />
* Quando as frequências são iguais, a figura é uma elipse cuja orientação e excentricidade dependem do desfasamento; casos particulares correspondem a uma recta ou a um círculo.<br />
* Para frequências em razão racional simples, surgem figuras fechadas com padrões característicos, enquanto razões irracionais conduzem a figuras não estacionárias. <br />
Estas propriedades permitem utilizar as figuras de Lissajous para comparar frequências e determinar desfasamentos entre sinais.<br />
<br />
==Medições com sinais DC==<br />
===Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente===<br />
Nesta experiência estuda-se o comportamento não-óhmico de uma lâmpada incandescente, isto é, um dispositivo eléctrico cuja corrente ''não é'' proporcional à tensão aplicada. Ao contrário de uma resistência ideal, a lâmpada contém um filamento metálico que aquece significativamente quando percorrido por corrente, o que faz com que a sua resistência varie durante o funcionamento.<br />
<br />
O objectivo principal é caracterizar experimentalmente a relação entre a tensão \(V\) aplicada à lâmpada e a corrente \(I\) que a atravessa, e verificar que essa relação é não linear. Para isso, medem-se vários pares tensão-corrente para diferentes valores da tensão aplicada, calculando-se em cada ponto a resistência efectiva \(R=V/I\).<br />
<br />
Os dados experimentais são depois analisados através da representação gráfica de \(I\) em função de \(V\). Em particular, testa-se se os resultados podem ser descritos por uma lei de potência do tipo \(I\propto V^\alpha\), determinando-se o expoente \(\alpha\) por regressão.<br />
<br />
==Medições com sinais AC==<br />
===Sinais periódicos eléctricos===<br />
Nesta experiência estudam-se várias propriedades dos sinais AC, tais como a diferença entre tensão pico-a-pico e RMS, e a comparação entre sinais de frequências iguais, próximas, ou de quociente racional. Para isso, usam-se o gerador de funções, o multímetro e o osciloscópio.<br />
<br />
Para estudo e comparação de dois sinais periódicos é muito útil o uso do modo XY no osciloscópio e a observação das figuras de Lissajous resultantes. Assim, vamos observar e registar a forma destas curvas para vários quocientes racionais de frequências e diferenças de fase. As figuras de Lissajous são importantes porque permitem visualizar e determinar relações de fase e de frequência entre dois sinais periódicos, sendo amplamente usadas na caracterização de sinais eléctricos, na calibração de instrumentos e no estudo de sistemas oscilatórios.<br />
<br />
Por fim, vamos sobrepor duas frequências muito próximas e observar o aparecimento de batimentos no osciloscópio. Estes ocorrem quando se somam dois sinais periódicos de frequências muito próximas, \(f_1 \approx f_2\). O sinal resultante apresenta uma oscilação rápida, com frequência aproximadamente igual à média das duas frequências, cuja amplitude varia lentamente no tempo. Esta variação lenta da amplitude designa-se por batimento e ocorre com uma frequência igual à diferença das frequências dos dois sinais:<br />
<math><br />
f_{\mathrm{bat}} = |f_1 - f_2|.<br />
</math><br />
Fisicamente, os batimentos resultam da variação lenta da fase relativa entre os dois sinais. O fenómeno dos batimentos é importante porque permite medir pequenas diferenças de frequência e surge em múltiplos contextos, desde a acústica e afinação de instrumentos musicais até sistemas de comunicações, interferometria e metrologia de precisão.<br />
<br />
==Medição com sinais pulsados==<br />
===Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos===<br />
Nesta experiência vamos usar gerador de funções e o osciloscópio digital de dois canais para medir intervalos de tempo entre dois eventos e determinar a velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos. O gerador emite impulsos eléctricos que são transformados em impulsos mecânicos por um transdutor piezoelétrico, bem acoplado a uma das faces de uma dada amostra. Na face oposta coloca-se outro transdutor, que após receber o impulso mecânico o transforma num sinal eléctrico e o envia ao osciloscópio. O tempo de percurso é relativamente curto, já que as velocidades de propagação nos meios sólidos são da ordem de km/s. Para a sua determinação usamos o osciloscópio, observando o impulso emitido e o recebido depois de ter atravessado a amostra. Através do uso de cursores e medições automáticas, é possível realizar as medições de forma rápida e fiável.<br />
<br />
Para uma determinação mais precisa da velocidade, serão medidos os tempos de propagação através de amostras de diferentes comprimentos, efectuando-se um ajuste linear aos pontos tempo vs. comprimento. O declive deste ajuste, com unidades s/m, é o inverso da velocidade.<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# É essencial a '''leitura prévia''' do seguinte material:<br />
#* [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o Instrumentos eléctricos e de medição]<br />
#* [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias Instrumentos eléctricos - guias]<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório.<br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Na secção [[#Ligações externas|Ligações externas]] pode encontrar diversas simulações online que pode usar para praticar os conceitos a usar em laboratório.<br />
<br />
==Característica corrente-tensão de uma lâmpada incandescente==<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Fonte_de_alimenta.C3.A7.C3.A3o_DC Fonte de tensão UNI-T modelo UDP1306C]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Mult.C3.ADmetro_de_bancada Multímetro de bancada UNI-T modelo UT8804E]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo banana<br />
* Lâmpada de 24 V<br />
<br />
<br />
<br />
===Procedimento===<br />
O objectivo é medir experimentalmente a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_caracter%C3%ADstica_corrente-tens%C3%A3o curva característica corrente–tensão] de uma lâmpada e determinar a resistência eléctrica efectiva em função do regime de funcionamento.<br />
<br />
# Antes de fazer qualquer conexão:<br />
#* Ligue a fonte de tensão DC e garanta que o botão "output" está desligado <br />
#* Coloque a fonte no modo CV, com uma tensão de 0.000 V<br />
#* Ajuste a corrente para um limite máximo de 150 mA<br />
#* Na primeira coluna da tabela do relatório preencha 5 valores de tensões entre 0.5 V e 5 V, e outros 5 valores entre 5 V e 24 V. Exemplo: 0.5, 1.0, 2.5, etc<br />
#* Antes de avançar, chame o professor para verificação<br />
# Ligue os terminais da lâmpada à fonte DC.<br />
# Pressione o botão "output" para o apagar e ajuste a tensão de saída da fonte para o primeiro valor da lista. Pressione de novo o botão output para o acender, espere 10 segundos e registe os valores de tensão e corrente indicados, indicando as incertezas respectivas.<br />
# Repita o passo acima para cada um dos valores de tensão escolhidos. No caso de o regime da fonte de tensão mudar de CV para CC, não aumente mais a tensão.<br />
# Insira os dados da tabela no [https://sites.google.com/tecnico.ulisboa.pt/fitteia/home fitteia] e ajuste uma lei de potência do tipo \(I=aV^b\) (no fitteia: "y=a*pow(x, b)"), registando os respectivos coeficientes calculados. Anexe ao relatório uma cópia do gráfico obtido.<br />
<br />
==Sinais periódicos eléctricos==<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções UNI-T modelo UTG1000X]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Mult.C3.ADmetro_de_bancada Multímetro de bancada UNI-T modelo UT8804E]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Oscilosc.C3.B3pio_digital Osciloscópio digital Rohde & Schwarz modelo RTB2002]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo BNC e banana<br />
<br />
===Procedimento===<br />
<br />
'''i) Formas de onda'''<br />
# Desactive ambos os canais do gerador de funções e ligue a saída CH1 ao multímetro digital (entrada \(V\Omega Hz\)) usando um cabo BNC-banana.<br />
# No canal 1 do gerador de sinais, escolha uma onda sinusoidal (botão "Wave", opção "Sine") de frequência \(f_1\) no canal 1, da ordem dos kHz e uma tensão da ordem dos volt. Active o canal.<br />
# Registe a tensão \(V_{rms}\) lida no multímetro. <br />
# Repita a medição da tensão para outras formas de onda: quadrada e dente-de-serra (botão "Wave", opções "Square" ou "Ramp"). Quando terminar, desactive o canal 1.<br />
# Ligue agora a saída CH1 ao osciloscópio (entrada CH1) usando um conector BNC-BNC. Active o canal 1 do gerador.<br />
# Registe a tensão \(V_{pk-pk}\) lida no osciloscópio para as mesmas formas de onda: sinusoidal, quadrada e triangular.<br />
<br />
'''ii) Sinais com a mesma frequência'''<br />
# Ligue as saídas CH1 e CH2 do gerador de funções às respectivas entradas do osciloscópio.<br />
# Seleccione em ambos os canais do gerador uma onda sinusoidal.<br />
# Ajuste as amplitudes dos dois sinais para valores iguais, verificando no osciloscópio em modo temporal.<br />
# Garanta que ambos os canais do osciloscópio estão configurados com o mesmo ganho vertical.<br />
# Verifique que a pen USB está inserida no osciloscópio.<br />
# Ajuste o gerador de funções de modo a que os dois sinais tenham a mesma frequência, \(f_1=f_2\).<br />
# Coloque o osciloscópio em modo XY (Botão Menu: XY), de modo a visualizar simultaneamente a figura de Lissajous e os canais CH1 e CH2.<br />
# Varie a diferença de fase entre os dois sinais de 10 em 10 graus. Para isto, pode por exemplo manter a fase do CH1 (no gerador de funções) em 0 graus, enquanto varia a fase do CH2. Observe como varia a figura de Lissajous e a relação temporal entre os sinais sinusoidais.<br />
# Para os valores \(\phi=\)0, 90, e 180 graus, grave as formas de onda obtidas e anexe ao relatório. Comente sobre a variação observada.<br />
<br />
'''iii) Sinais com quociente racional de frequências'''<br />
# Escolha três quocientes racionais de inteiros baixos (por exemplo: \(3{:}1, 3{:}2, 5{:}4\)).<br />
# Para cada quociente escolhido, ajuste as frequências \(f_1\) e \(f_2\) de modo a respeitar a razão escolhida.<br />
# Como no ponto anterior, varie a diferença de fase entre os dois sinais de 10 em 10 graus. Observe como varia a figura de Lissajous e a relação temporal entre os sinais sinusoidais.<br />
# Para os valores \(\phi=\)0, 45 e 90 graus, grave as formas de onda obtidas e anexe ao relatório.<br />
# Na sua análise, compare o número de lóbulos e a forma da figura com o quociente de frequências utilizado.<br />
<br />
'''iv) Frequências muito próximas — batimentos'''<br />
# Volte a colocar a fase relativa a zero e ajuste os dois sinais do gerador para frequências muito próximas, \(f_1 \approx f_2\), da ordem do kHz e com uma diferença da ordem de 1/10 Hz.<br />
# Com o osciloscópio em modo XY, observe a rotação lenta da figura de Lissajous.<br />
# Meça o tempo \(T\) necessário para que a figura complete uma rotação completa e volte à mesma orientação. No caso de o tempo ser demasiado curto para permitir uma medição fiável, ajuste a diferença entre frequências para um valor mais baixo.<br />
# Use o valor obtido para determinar indirectamente a diferença de frequências usando \(\Delta f = \frac{1}{T}.\)<br />
# Coloque agora o osciloscópio no modo temporal (Botão Menu: Scope) e active a operação de soma dos dois canais (Botão Math: Add C1,C2).<br />
# Meça o período dos batimentos \(T_{bat}\) da onda azul. Terá que ajustar a escala horizontal do osciloscópio, já que o período dos batimentos é muito mais longo do que o período das ondas. Se necessário, pode "congelar" a imagem usando o botão "Run Stop". <br />
# Repita os passos acima para outro par de frequências com uma separação diferente.<br />
<br />
==Velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos==<br />
<br />
===Material===<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Gerador_de_fun.C3.A7.C3.B5es Gerador de funções UNI-T modelo UTG1000X]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Oscilosc.C3.B3pio_digital Osciloscópio digital Rohde & Schwarz modelo RTB2002]<br />
* [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Cabos_e_conectores Cabos de ligação] tipo BNC e adaptador-T BNC<br />
* Dois transdutores [https://pt.wikipedia.org/wiki/Piezoeletricidade piezoeléctricos]<br />
* Conjunto de cilindros metálicos de diversos comprimentos<br />
* Craveira<br />
<br />
===Procedimento===<br />
O objectivo é medir experimentalmente a velocidade de propagação de ondas mecânicas em sólidos, através da medição do tempo de trajecto para diferentes comprimentos.<br />
[[Ficheiro:Ondas-mecanicas.png|thumb|upright=1.0|Montagem para medição da velocidade de ondas mecânicas.]]<br />
<br />
# Com a [https://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt/wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_e_de_medi%C3%A7%C3%A3o#Craveira craveira], meça e registe o comprimento de cada cilindro metálico.<br />
# Estabeleça as ligações como se indica no esquema da figura. Ajuste o canal 1 do gerador de sinais para emitir uma onda quadrada de frequência 100 Hz e amplitude 5 V. No osciloscópio, ligue essa saída ao canal 1 (usando o adaptador T) e ajuste o trigger para os seguintes parâmetros:<br />
#* Fonte: canal 1<br />
#* Tipo: Edge, sentido ascendente<br />
#* Nível: ajuste de modo a observar uma onda quadrada estável<br />
# Ligue o outro conector do adaptador T a um dos transdutores piezoeléctricos (T1 na figura). Ligue o outro transdutor (T2) ao canal 2 do osciloscópio e visualize os dois canais. Ajuste a ampliação temporal de modo a ver a região na vizinhança do sentido ascendente da onda quadrada, numa escala da ordem dos \(\mu\)s/div.<br />
# Para um melhor contacto entre os transdutores e os cilindros, espalhe uma gota de líquido acoplante na face de cada transdutor. No osciloscópio, observe num canal o sinal emitido e noutro o sinal recebido (depois de ter atravessado o cilindro).<br />
# Para a medição do intervalo de tempo entre os dois sinais, é usada a função [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Instrumentos_el%C3%A9ctricos_-_guias#Instru.C3.A7.C3.B5es_de_opera.C3.A7.C3.A3o_4 Cursor do osciloscópio]. Usando os cursores verticais do osciloscópio (Botão Cursor: Type=Vertical), leia e registe o atraso entre os dois sinais. Repita para os outros cilindros. Estime o erro das observações, tendo em conta a escala e a forma dos sinais observados. Grave e anexe uma imagem que capte os dois sinais obtidos.<br />
# No fitteia, represente graficamente o tempo de propagação vs. comprimento e, por regressão linear, obtenha o melhor ajuste a uma recta. A partir desta, obtenha a velocidade de propagação da onda. Anexe ao relatório o gráfico obtido.<br />
<br />
===Registo de dados===<br />
No final de todas as experiências, copie para o seu computador os ficheiros que foram gravados na pen USB. Quando terminar, assegure-se de que volta a ligar a pen no osciloscópio.<br />
<br />
Em cada uma das imagens que anexar ao relatório, assegure-se de que é incluída a respectiva descrição.<br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://physics-zone.com/virtual-oscilloscope/ Virtual Oscilloscope] Simulador de gerador de sinais e osciloscópio<br />
* [https://academo.org/demos/wave-interference-beat-frequency/ Wave interference beat frequency] Simulador de interferência de duas ondas e batimentos<br />
* [https://academo.org/demos/lissajous-curves/ Lissajous curves] Simulador de figuras de Lissajous</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Notas_de_apoio_%C3%A0s_aulas_te%C3%B3ricas&diff=6338Notas de apoio às aulas teóricas2026-02-12T17:37:51Z<p>Ist23437: </p>
<hr />
<div>{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Derivadas parciais=<br />
Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função \(f \equiv f(x, y)\) que depende das variáveis \(x\) e \(y\) tem duas derivadas parciais:<br />
<br />
* Derivada parcial segundo \(x:\,\frac{\partial f}{\partial x}\)<br />
* Derivada parcial segundo \(y:\,\frac{\partial f}{\partial y}\)<br />
<br />
Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo \(\partial\) em vez de \(d\).<br />
<br />
Exemplos:<br />
<center><br />
\begin{array}{rl}<br />
f(x, y)=x^3y^2 &\implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\<br />
f(x, y)=e^{-y}\sin(x) &\implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)<br />
\end{array}<br />
</center><br />
<br />
=Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=<br />
Este tipo de equações aparece, por exemplo, em situações em que uma força (tipicamente o atrito) é proporcional à velocidade, tais como a queda de uma gotícula de óleo na [[Experiência de Millikan]]. A equação envolve a primeira derivada, um termo linear e um termo constante, e podemos escrever a seguinte expressão genérica:<br />
<br />
<center><math><br />
a \frac{df}{dt} = b - cf<br />
</math></center><br />
<br />
em que \(f \equiv f(t)\) é uma função que só depende de uma variável \(t\) (por exemplo, o tempo) e \(a, b\) e \(c\) são constantes. Para resolver esta equação, vamos recorrer a uma função auxiliar \(g(t)\) definida como:<br />
<br />
<center><math><br />
g(t) = f(t) - \frac{b}{c}<br />
</math></center><br />
<br />
Se derivarmos esta igualdade verificamos que as derivadas de ambas as funções são iguais:<br />
<br />
<center><math><br />
\frac{dg}{dt} = \frac{df}{dt}<br />
</math></center><br />
<br />
Inserindo estas duas igualdades na primeira equação, podemos escrevê-la na forma<br />
<br />
<center><math><br />
a \frac{dg}{dt} = c \left( \frac{b}{c} - f(t) \right) = -cg(t)<br />
\implies \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a} g(t)<br />
</math></center><br />
<br />
A última igualdade apresenta-nos então a questão: ''qual a função cuja derivada é igual à própria função, multiplicada por uma constante''? Não é difícil concluir que é a função exponencial, mais concretamente:<br />
<br />
<center><math><br />
g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t}<br />
</math></center><br />
<br />
é a solução daquela equação, em que \(A\) é uma constante que é necessário introduzir, e que depende das condições iniciais do sistema. Agora que determinámos a solução para \(g(t)\), podemos calcular a função \(f(t)\) original:<br />
<br />
<center><math><br />
f(t) = g(t) + \frac{b}{c} = A e^{-\frac{c}{a}t} + \frac{b}{c}<br />
</math></center><br />
<br />
Para determinar o valor de \(A\), temos que ter alguma informação sobre o sistema. Por exemplo, sabendo que o valor inicial da função \(f(t)\) é \(f(0) = f_0\), podemos escrever:<br />
<br />
<center><math><br />
f(0) \equiv f_0 = A + \frac{b}{c} \implies A = f_0 - \frac{b}{c}<br />
</math></center><br />
<br />
Inserindo esta expressão no valor de \(A\) e simplificando, temos finalmente a solução geral da equação original:<br />
<br />
<center><math><br />
f(t)=f_0e^{-\frac{c}{a}t}+\frac{b}{c}\left(1-e^{-\frac{c}{a}t}\right)<br />
</math></center><br />
<br />
Quando \(t\rightarrow\infty\) a função atinge um valor limite \(f_{lim}=b/c\), independentemente do valor da<br />
velocidade inicial. Podemos ainda definir um “tempo médio” \(\tau=a/c\) para a função exponencial. <br />
<br />
A tabela em baixo mostra a aplicação da resolução acima à Experiência de Millikan. A figura mostra a evolução de uma função \(v(t)\), solução de uma equação deste tipo, e resume a interligação entre todos os parâmetros apresentados. Note que os eixos são normalizados, isto é, os seus valores são divididos por constantes características do problema (neste caso, o tempo médio \(\tau\) e a velocidade limite \(v_{lim}\).<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
! !! Exp. Millikan<br />
|-<br />
| Eq. diferencial || \(m \frac{dv}{dt} = mg - knv\)<br />
|-<br />
| Função \(f(t)\) || Velocidade \(v(t)\)<br />
|-<br />
| \(df/dt\) || Aceleração \(a(t) = dv/dt\)<br />
|-<br />
| \(a\) || \(m\)<br />
|-<br />
| \(b\) || \(mg\)<br />
|-<br />
| \(c\) || \(kn\)<br />
|-<br />
| \(A\) || \(f_0 = \text{Vel. inicial} = 0 \, \text{m/s}\)<br />
|-<br />
| Expressão || \(\frac{mg}{kn} \left[ 1 - \exp\left(-\frac{kn}{m}t\right) \right]\)<br />
|-<br />
| \(f_{\text{lim}}\) || \(v_{\text{lim}} = \frac{mg}{kn}\)<br />
|-<br />
| \(\tau\) || \(\frac{m}{kn}\)<br />
|}<br />
<br />
=Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau=<br />
Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito), que descreve o comportamento de sistemas físicos como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo pêndulo] (no limite de pequenas oscilações) ou o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_massa-mola sistema massa-mola]. Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo<br />
<br />
<center><math><br />
a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0<br />
</math></center><br />
<br />
em que \(f \equiv f(t)\) é uma função que só depende de uma variável \(t\) (por exemplo, o tempo) e \(a\) e \(b\) são constantes positivas. Reescrevendo:<br />
<br />
<center><math><br />
\frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f<br />
</math></center><br />
<br />
Podemos exprimir a questão desta forma: ''qual a função (ou funções) cuja segunda derivada é igual à primeira, multiplicada por uma constante negativa''? É fácil verificar que há duas soluções possíveis: as funções seno e cosseno, ou seja, genericamente \(f(t)\) pode ter a forma geral<br />
<br />
<center><math><br />
f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right)<br />
</math></center><br />
<br />
onde \(A\) e \(B\) são duas constantes que é necessário introduzir; por enquanto são desconhecidas, mas podemos determiná-las se soubermos as condições iniciais do sistema – a posição inicial, a velocidade inicial, etc.<br />
<br />
Vamos verificar que esta expressão é, de facto, a solução da equação diferencial acima. Para simplificar a escrita, definimos \(\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}\). Temos assim:<br />
<br />
<center><math><br />
f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t)<br />
</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\frac{df}{dt} = A \omega_0 \cos(\omega_0 t) - B \omega_0 \sin(\omega_0 t)<br />
</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\frac{d^2f}{dt^2} = -A \omega_0^2 \sin(\omega_0 t) - B \omega_0^2 \cos(\omega_0 t) = -\omega_0^2 f(t) = -\frac{b}{a}f<br />
</math></center><br />
<br />
Vemos assim que a expressão encontrada é a solução da equação diferencial. É no entanto possível escrever esta expressão numa forma mais prática usando a seguinte igualdade trigonométrica<br />
<br />
<center><math><br />
\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v<br />
</math></center><br />
<br />
Fazendo isto, a solução geral da equação pode ser escrita numa forma muito simples, e em vez de 𝐴 e 𝐵 ficamos com outras duas constantes mais intuitivas<ref>Pode verificar que é possível escrever a expressão deste modo, por exemplo calculando os valores de \(A_0\) e \(\phi_0\) a partir dos valores de \(A\) e \(B\). Sugestão: considere as expressões para \(f(0)\) e \(f'(0)\) num caso e noutro, e iguale-as respectivamente.</ref>:<br />
<br />
<center><math><br />
f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0)<br />
</math></center><br />
<br />
Esta expressão permite verificar que a solução geral do oscilador harmónico livre tem as seguintes características:<br />
* Varia no tempo de forma sinusoidal<br />
* Tem uma frequência angular \(\omega\) e consequentemente um período \(T=2\pi/\omega\)<br />
* A constante \(A_0\) é a amplitude máxima do movimento<br />
* A constante \(\phi_0\) é a fase inicial do movimento<br />
<br />
A tabela seguinte lista o valor de alguns dos principais parâmetros para o caso do pêndulo e do sistema massa-mola.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
! !! Pêndulo !! Massa-mola<br />
|-<br />
| '''Equação diferencial''' || \(\ddot{\theta} = -\frac{g}{\ell}\theta\) || \(\ddot{x} = -\frac{k}{m}x\)<br />
|-<br />
| '''Função \(f(t)\)''' || Ângulo \(\theta(t)\) || Posição \(x(t)\)<br />
|-<br />
| '''\(\ddot{f}\)''' || Acel. angular \(\alpha(t) = \ddot{\theta}\) || Aceleração \(a(t) = \ddot{x}\)<br />
|-<br />
| '''\(a\)''' || \(\ell\) || \(m\)<br />
|-<br />
| '''\(b\)''' || \(g\) || \(k\)<br />
|-<br />
| '''\(A_0\)''' || Amplitude máxima \(\theta_0\) || Amplitude máxima \(A_0\)<br />
|-<br />
| '''\(\phi_0\)''' || (fase inicial) || (fase inicial)<br />
|-<br />
| '''\(\omega_0\)''' || \(\sqrt{g/\ell}\) || \(\sqrt{k/m}\)<br />
|}<br />
<br />
=Notas=</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=F%C3%ADsica_Experimental&diff=6337Física Experimental2026-02-12T17:36:51Z<p>Ist23437: /* Laboratório de Introdução à Física Experimental */</p>
<hr />
<div>=Laboratório de Introdução à Física Experimental=<br />
<br />
==Guias de Experiências==<br />
# [[Experiência de Thomson]]<br />
# [[Experiência de Millikan]]<br />
# [[Instrumentação e Análise de Sinais]]<br />
# [[Óptica Geométrica]]<br />
# [[Espectroscopia e Efeito Fotoeléctrico]]<br />
<br />
==Material de apoio==<br />
===Teoria===<br />
* [[Erros e incertezas experimentais]]<br />
* [[Óptica geométrica e lentes]]<br />
* [[Notas de apoio às aulas teóricas]]<br />
===Guias práticos===<br />
* [[Segurança no laboratório]]<br />
* [[Elaboração do relatório]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos e de medição]]<br />
* [[Instrumentos eléctricos - guias]]<br />
<br />
<!-- * [[Instrumentos eléctricos e de medição - exercícios]] --></div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Seguran%C3%A7a_no_laborat%C3%B3rio&diff=6336Segurança no laboratório2026-02-12T17:34:42Z<p>Ist23437: </p>
<hr />
<div><!--= Planta da sala =<br />
[[File:LFE-Planta-legendas.png|thumb|upright=1.0|Planta da sala]]<br />
A imagem à direita apresenta uma planta da sala do laboratório, indicando a localização dos principais elementos de segurança.<br />
--><br />
<br />
= Riscos humanos =<br />
A lista abaixo identifica os principais riscos humanos presentes no laboratório, bem como as medidas de segurança correspondentes.<br />
<br />
==Choques elétricos==<br />
'''Contacto directo com cabos ou terminais sob tensão'''<br />
* Inspecionar os cabos e equipamentos antes de cada utilização para identificar danos ou ligações defeituosas.<br />
* Garantir que todos os cabos estão devidamente isolados e conectados corretamente.<br />
* Desligar sempre as fontes de alimentação antes de realizar ajustes ou trocar componentes nos circuitos.<br />
'''Utilização incorrecta de fontes de alimentação'''<br />
* Compreender as instruções de operação das fontes de alimentação.<br />
* Certificar-se de que a tensão e a corrente estão ajustadas adequadamente antes de ligar os dispositivos.<br />
<br />
==Quedas e lesões==<br />
'''Presença de cabos ou outros objectos no chão ou em áreas de passagem'''<br />
* Garantir que as áreas de passagem estão desimpedidas.<br />
* Colocar mochilas, casacos e outros objetos pessoais em locais designados, fora das áreas de trabalho e passagem.<br />
'''Movimentação em condições de baixa luminosidade (laboratórios escuros)'''<br />
* Utilizar iluminação auxiliar temporária para facilitar a movimentação em zonas escuras.<br />
<br />
==Danos visuais==<br />
'''Exposição prolongada a luzes intensas, como lâmpadas espectrais'''<br />
* Reduzir o tempo de exposição direta às lâmpadas espectrais ao mínimo necessário.<br />
<br />
==Problemas de postura==<br />
<br />
'''Trabalhar em posições inadequadas durante longos períodos'''<br />
* Garantir que as bancadas e cadeiras estão ajustadas a alturas ergonómicas.<br />
* Realizar pausas regulares no caso de tarefas fisicamente exigentes como observação ao microscópio.<br />
<br />
= Riscos relacionados com equipamentos =<br />
==Sobrecarga eléctrica==<br />
'''A utilização inadequada de fontes de alimentação pode danificar os dispositivos'''<br />
* Evitar ligar múltiplos dispositivos em paralelo na mesma fonte.<br />
<br />
'''Conexões erradas ou mal feitas'''<br />
* Garantir que as ligações elétricas são realizadas de acordo com os esquemas fornecidos e verificadas por um docente antes de ligar a fonte.<br />
* Utilizar cabos e conectores de boa qualidade, evitando conexões improvisadas.<br />
<br />
==Risco de quebra==<br />
'''Queda de equipamentos e instrumentos delicados'''<br />
* Posicionar os equipamentos em superfícies estáveis e longe das bordas das mesas de trabalho.<br />
* Garantir que as áreas de trabalho estão organizadas e livres de obstáculos que possam causar quedas acidentais.<br />
<br />
==Sobreaquecimento==<br />
'''Fontes de alimentação ou dispositivos usados continuamente podem aquecer excessivamente'''<br />
* Assegurar-se de que as fontes de alimentação e outros equipamentos estão posicionados em áreas com boa ventilação, longe de materiais inflamáveis.<br />
<br />
= Riscos ambientais e outros =<br />
==Ventilação inadequada==<br />
'''A presença contínua de pessoas na sala pode aquecer o ambiente e degradar o ar'''<br />
* Realizar pelo menos uma pausa para sair do laboratório para evitar a acumulação de calor e dióxido de carbono.<br />
<br />
==Falta de organização==<br />
'''Ferramentas, equipamentos ou cabos deixados fora de lugar podem causar incidentes'''<br />
* Colocar os equipamentos e cabos em posições seguras, onde não obstruam a passagem nem possam acidentalmente ser empurrados ou puxados.<br />
<br />
==Risco de fogo==<br />
'''A má utilização de dispositivos eléctricos pode causar curtos-circuitos'''<br />
* Não sobrecarregar as tomadas.<br />
* Não utilizar extensões ou cabos em más condições, quer os presentes no laboratório, quer os de equipamentos pessoais.<br />
<br />
==Distracções==<br />
'''Fontes de distração como a utilização de telemóveis podem resultar em erros ou acidentes'''<br />
* Durante a execução de atividades experimentais, os telemóveis devem exclusivamente ser usados como ferramentas (e.g., cronómetro, calculadora ou registo fotográfico das montagens).<br />
<br />
= Notas para utilizadores do laboratório =<br />
* Assegure-se de que leu e compreendeu os riscos de segurança do laboratório. <br />
* Utilize sempre os equipamentos de acordo com as instruções fornecidas. <br />
* Em caso de dúvidas, consulte o professor antes de proceder. <br />
* Relate imediatamente qualquer incidente ou equipamento danificado.</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6335Experiência de Millikan2026-02-12T15:40:38Z<p>Ist23437: /* Tratamento de dados */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> e os residuais em função do índice da medição, tal como ilustrado no exemplo do desvio quadrático normalizado.<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6334Experiência de Millikan2026-02-12T15:39:09Z<p>Ist23437: /* Tratamento de dados */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> em função do índice da medição;<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6333Experiência de Millikan2026-02-12T15:38:39Z<p>Ist23437: /* Tratamento de dados */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}\quad\quad\quad\quad\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math>|<br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> em função do índice da medição;<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6332Experiência de Millikan2026-02-12T15:38:16Z<p>Ist23437: /* Tratamento de dados */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}</math>\quad\quad\quad\quad<math>\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math>|<br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> em função do índice da medição;<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6331Experiência de Millikan2026-02-12T15:37:45Z<p>Ist23437: /* Tratamento de dados */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;"|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}</math>|<br />
|<math>\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math>|<br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> em função do índice da medição;<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Experi%C3%AAncia_de_Millikan&diff=6330Experiência de Millikan2026-02-12T15:37:22Z<p>Ist23437: /* Tratamento de dados */</p>
<hr />
<div><big>Estimativa da carga eléctrica de gotículas de óleo electrizadas em suspensão num fluido</big><br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Objectivo do trabalho=<br />
[[File:MI-RAMillikan.jpeg|thumb|upright=0.5|Robert A. Millikan]]<br />
Pretende-se com este trabalho determinar a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica carga eléctrica] de pequenas gotas de óleo, tendo como objetivo final mostrar que a carga eléctrica não aparece com uma quantidade qualquer mas sempre como um múltiplo de uma unidade fundamental: a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_do_el%C3%A9tron carga do electrão]. Deste modo, um corpo electrizado apresenta um excesso de carga de sinal positivo ou negativo, mas cuja valor é sempre um múltiplo do valor da carga elementar <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ddffdd;" |\(q_{ele}= -1,602176634\cdot 10^{-19}\) \(\mathrm{C}\).<br />
|}<br />
<br />
Traduz-se este facto dizendo-se que a carga eléctrica é ''quantizada''.<br />
<br />
Dentro das várias experiências elaboradas para mostrar este facto, uma montagem clássica é a do físico americano [https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan Robert A. Millikan] (1869-1953), que recebeu o prémio Nobel da Física em 1923 pelos seus trabalhos sobre a determinação da carga do electrão e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_fotoel%C3%A9trico efeito fotoeléctrico]. Esta experiência é também chamada [https://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo experiência da gota de óleo]. O método usado na experiência pode ser resumido nos seguintes passos:<br />
* Estudar a queda de pequenas gotículas de óleo electrizadas sob acção simultânea da gravidade e de um campo eléctrico uniforme<br />
* Determinar a força de gravidade (calcular a velocidade limite)<br />
* Determinar a força eléctrica (cancelar com força de gravidade)<br />
<br />
=Conceitos fundamentais=<br />
==Corpo esférico em queda livre num fluido==<br />
[[file:MI-gotas-chuva.png|thumb|upright=1.0 |alt=Gotas de chuva. |As gotas de chuva em queda livre adquirem naturalmente uma forma esférica.]]<br />
[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]<br />
Um corpo de dimensões muito pequenas<ref>Com [https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Reynolds número de Reynolds] \(Re= \frac{\rho v L}{\eta}\) inferior a \(\simeq 100\)</ref>, ao mover-se com uma velocidade relativamente baixa através de um fluido (líquido ou gás), fica sujeito a uma [https://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito força de atrito] aproximadamente proporcional à sua velocidade, modelada pela expressão:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathbf{F}_{at} = - k \, \eta \mathbf{v}</math>|| \(\quad\quad (1)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\eta\) é o coeficiente de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade viscosidade] do fluido, \(\mathbf{v}\) é a velocidade do corpo e \(k\) é um coeficiente que depende da forma do corpo, que no caso deste ser uma esfera de raio \(R\) toma o valor ([https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Stokes lei de Stokes]): <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math> k = 6 \pi R</math>|| \(\quad\quad (2)\)<br />
|}<br />
<br />
O coeficiente \(k\) virá assim expresso em ''metro'' no Sistema Internacional (SI) e o coeficiente de viscosidade em Pa\(\cdot\)s (ou N\(\cdot\)s/m\(^2\)).<br />
Normalmente a unidade de viscosidade que aparece na literatura é a unidade do sistema C.G.S. (g/cm\(\cdot\)s) que é designada por Poise (abreviatura P), verificando-se então a equivalência:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>1 \, \mathrm{P} = 0,1\, \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando um corpo de massa \(m\) cai em queda livre sob a ação do seu peso \(\mathbf{P}=m\mathbf{g}\) através de um fluido, o seu movimento de queda será abrandado pela força de atrito, e a equação do movimento escreve-se<ref>Uma vez que o movimento de queda ocorre unicamente ao longo do eixo vertical, podemos implicitamente passar da descrição vectorial para uma escalar.</ref>:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>ma \equiv m\frac{dv}{dt} = mg - k\eta v</math>|| \(\quad\quad (3)\)<br />
|}<br />
<br />
A partir de uma velocidade inicial nula, e sendo o peso do corpo constante, a aceleração \(a\) produz um aumento em \(v(t)\) e, por consequência, um aumento na força de atrito \(F_{at}\). Para uma determinada velocidade limite \(v_L\), o segundo membro de (3) anula-se e o corpo passará a deslocar-se com movimento uniforme. A [https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_terminal velocidade limite] \(v_L\) será então obtida fazendo \(a= 0\) na equação (3):<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{m\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (4)\)<br />
|}<br />
<br />
o que poderá ser facilmente constatado pela resolução <ref>Ver notas de apoio às aulas teóricas.</ref> da equação (3), cuja solução é da forma:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v(t) = \frac{m\,g}{k \, \eta} (1 - e^{- (k\,\eta / m) t}) = v_L (1-e^{-t/\tau})</math>|| \(\quad\quad (5)\)<br />
|}<br />
<br />
à qual corresponde o gráfico da Fig. 1, e onde se definiu o tempo característico \(\tau=k\eta/m\). Quando \(t \to \infty\) temos \(v(t) \to v_L = \frac{mg}{k \eta}\).<br />
<br />
==Impulsão e peso aparente==<br />
[[file:MI-Archimedes-principle.png|thumb|upright=1 |alt=Princípio de Arquimedes. |Fig. 2 - Princípio de Arquimedes.]]<br />
Se pretendermos ser mais rigorosos, devemos substituir em (4) o peso do corpo pelo seu''peso aparente'' no fluido. De facto, um corpo em queda livre através de um fluido experimenta, além da ação da força de atrito, outra força de baixo para cima cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, de acordo com o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Impuls%C3%A3o Princípio de Arquimedes]. A Fig. 2 ilustra este princípio: uma massa \(m=\)5 kg mergulhada em água desloca \(m_a=\)2 kg de água, pelo que o seu peso aparente é \(P=(m-m_a)g\).<br />
<br />
Assim, as equações (3) e (4) deverão ser modificadas para:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = m\,g - m_f\,g - k \, \eta \, v</math>|| \(\quad\quad (6)\)<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{(m - m_f)\,g}{k \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (7)\)<br />
|}<br />
<br />
onde \(m_f\)é a massa do fluido deslocado. No caso de um corpo esférico de raio \(R\), introduzindo a equação (2) em (7) e atendendo a que:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad \textrm{ e } \quad m_f = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_f</math><br />
|}<br />
<br />
obtemos a expressão corrigida para a velocidade limite<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L = \frac{2\,R^2\, (\rho - \rho_f)\,g}{9 \, \eta}</math>|| \(\quad\quad (8)\)<br />
|}<br />
<br />
em que \(\rho\) e \(\rho_f\)são as massas específicas do corpo e do fluido. Note-se que conhecendo o raio do corpo é pois possível determinar a sua velocidade limite de queda, e vice-versa.<br />
<br />
==Equilíbrio dum corpo carregado, imerso num fluido, através de um campo eléctrico vertical==<br />
[[file:f_equil.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico. |Fig. 3 - Equilíbrio de forças numa gota sujeita a campos gravítico e eléctrico.]]<br />
Considere o esquema representado na Fig. 3, em que um fluido não condutor se encontra entre duas placas condutoras paralelas separadas de uma distância \(d\). Ao aplicar-se uma diferença de potencial \(U = V_1 -V_2 > 0\) com a polaridade indicada na figura, é criado um campo eléctrico ascendente. Se entre as placas se encontrar uma partícula de massa \(m\)e carga positiva <ref>No caso da partícula estar carregada negativamente obteríamos o mesmo resultado invertendo o sentido do campo eléctrico.</ref> \(q\) esta ficará sujeita a uma força eléctrica que contrariará a sua queda.<br />
Na hipótese do campo eléctrico ser uniforme <ref>Nomeadamente, se a distância entre as placas for muito menor que as suas dimensões laterais.</ref> o módulo de \(\mathbf{E}\)e o módulo da força eléctrica \(\mathbf{F}_e\) que atua na partícula serão dados por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>E = \frac{U}{d}, \qquad F_e = |q| \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, a queda da partícula será agora contrariada pela força eléctrica e pela força de atrito.<br />
A equação (6) passa a escrever-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>m\,a = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d} - k \, \eta_{ar} \, v</math>|| \(\quad\quad (9)\)<br />
|}<br />
<br />
Variando a diferença de potencial (ddp) \(U\), pode-se estabelecer o equilíbrio entre o peso da partícula e a força eléctrica, conseguindo-se a sua paragem entre as placas. Nessa situação, tem-se simultaneamente \(F_{at}=0\), \(a=0\) e \(v\) \(=0\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>0 = (m - m_f)\,g - q \frac{U}{d}</math>|| \(\quad\quad (10)\)<br />
|}<br />
<br />
Nesta equação a expressão \((m - m_f)\,g\) pode ser substituída usando a equação (7), obtendo-se:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>v_L\, k\, \eta_{ar} = q \frac{U}{d}</math><br />
|}<br />
<br />
E entrando também com a eq. (2) no caso de a partícula ser esférica, obtemos por fim:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q = \frac{6 \pi \, R \, \eta_{ar} \, d\, v_L}{U}</math>|| \(\quad\quad (11)\)<br />
|}<br />
<br />
onde entram as seguintes grandezas<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Símbolo !! Valor !! Descrição<br />
|-<br />
| \(v_L\) || A medir || Velocidade limite de queda da partícula através do fluido, na ausência de campo eléctrico<br />
|-<br />
| \(\eta_{ar}\) || 18,52\(\cdot\)10\(^{-5}\) P =18,52\(\cdot\)10\(^{-6}\) Pa\(\cdot\)s || Viscosidade do ar a 23\(^{\circ}\) C<br />
|-<br />
| \(\rho\) || 973 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do óleo de silicone<br />
|-<br />
| \(\rho_f\) || 1 kg/m\(^{3}\) || Massa específica do ar<br />
|-<br />
| \(g\) || 9,80 m/s\(^{2}\) || Aceleração gravítica em Lisboa<br />
|-<br />
| \(d\) || A medir || Distância entre placas<br />
|}<br />
<br />
==Correções==<br />
===Temperatura ambiente===<br />
<br />
No caso da temperatura ambiente se afastar muito de 23\(^{\circ}\) C, o valor da viscosidade do ar terá de ser corrigido.<ref>Utilize por exemplo a calculadora ''online'': http://www.lmnoeng.com/Flow/GasViscosity.htm</ref><br />
<br />
===Dimensão das gotas===<br />
<br />
A Lei de Stokes não é exata quando as dimensões dos corpos esféricos forem comparáveis à distância média entre as moléculas do ar. Nestas condições, Millikan verificou que a viscosidade \(\eta_{ar}\)deveria ser substituída por:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\eta_{ar}' = \frac{\eta_{ar}}{1 + b/(p\,R)}</math>|| \(\quad\quad (12)\)<br />
|}<br />
<br />
em que a constante \(b=7,88\cdot 10^{-3}\) Pa\(\cdot\)m, \(p\) é pressão atmosférica expressa em pascal e \(R\) é o raio da gota em metros. O valor corrigido \(q'\) será determinado a partir do valor experimental \(q\) por<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>q' = q\, \left(\frac{\eta_{ar}'}{\eta_{ar}}\right)^{3/2} =q\, \left(\frac{1}{1 + b/(p\,R)}\right)^{3/2}</math>|| \(\quad\quad (13)\)<br />
|}<br />
<br />
=Figuras dos aparelhos da montagem experimental=<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Vista do aparelho de Millikan<br />
|-<br />
| [[file:U131001_01_Aparelho-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Equipamento para determinação da carga das gotas.]] <br />
|| [[file:U13105-230_01_Aparelho-operacional-de-Millikan.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Gerador de alta tensão DC regulável.]]<br />
|| [[file:575471-contador.jpg|thumb|upright=1.0 |alt=Contador/medidor de tempo.]]<br />
|-<br />
| Fig. 4 - Equipamento para determinação da carga das gotas. || Fig. 5 - Gerador de alta tensão DC regulável. || Fig. 6 - Contador/medidor de tempo.<br />
|}<br />
<br />
=Procedimento experimental=<br />
<br />
==Material==<br />
<br />
* Célula de Millikan com gerador de alta tensão DC regulável<br />
* Atomizador e óleo de silicone<br />
* Cronómetro<br />
* Nível de bolha de ar<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffcccc;"<br />
| [[file:Electrocution-Safety.png|thumb|upright=0.5]] || '''Atenção:''' Este trabalho envolve o uso de fontes de alta tensão (até 500 V DC). Assegure-se de que cumpre rigorosamente as medidas de segurança com equipamentos eléctricos, em particular:<br />
* Compreenda os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Choque_el%C3%A9trico riscos inerentes] a tensões e correntes elevadas<br />
* Não pegue nos cabos ou conectores pela partes condutoras, apenas pelas partes isoladas<br />
* Assegure-se de que as fontes de tensão e corrente estão dsligadas antes de efectuar qualquer alteração nas montagens eléctricas<br />
* Em caso de dúvida, chame o docente<br />
|}<br />
<br />
==Trabalho preparatório==<br />
# Preencha os objectivos do trabalho que irá realizar na sessão de laboratório. <br />
# Preencha o quadro com as equações necessárias para o cálculo das grandezas, bem como as suas incertezas.<br />
# Desenhe um diagrama das forças a que uma gota está sujeita durante a experiência. Após a experiência, acrescente uma estimativa dos valores dessas forças usando valores típicos obtidos durante a experiência, e anexe tudo ao relatório final.<br />
<br />
==Montagem experimental==<br />
Efectue a montagem de acordo com a Fig. 6. No contador, ligue os cabos à entrada E. Chame o professor antes de ligar os aparelhos à corrente eléctrica.<br />
<br />
[[file:Esquema-Millikan.jpg|thumb|Fig. 6 - Esquema da montagem da experiência de Millikan. 1 - Célula de Millikan; 2 - lâmpada; 3 - gerador de alta tensão regulável; 4 - cronómetro.]]<br />
<br />
==Determinação da tensão de equilíbrio==<br />
# Depois de verificar que a célula está horizontal, meça o distância entre placas, \(d\). Tente focar o microscópio na zona onde as gotas irão "flutuar". Atenção: o microscópio amplia a imagem e a escala por 2\(\times\).<br />
# Coloque o potenciómetro que controla a alimentação das placas do condensador no valor mínimo de tensão eléctrica. <br />
# Verifique se o interruptor de inversão da alimentação do condensador está na posição "Neutra". Rode o potenciómetro para uma posição que permita, quando ligar o interruptor de inversão, estabelecer um campo eléctrico entre as placas do condensador. <br />
# No contador, seleccione o modo (Mode) tE.<br />
# Utilizando o pulverizador junto do orifício da célula, produza uma pequena "nuvem" de gotículas de óleo. Observe através do microscópio o movimento das gotículas em frente do retículo, ajustando a focagem se necessário.<br />
# Ligando o interruptor e variando a intensidade e o sentido do campo eléctrico, verifique se existem gotículas eletrizadas. <br />
# Escolha uma das gotas e, ajustando a tensão, manipule a sua posição vertical de modo a que esta fique colocada numa determinada divisão do topo do retículo, imobilizando-a de seguida. Registe o valor da tensão.<br />
<br />
==Determinação da velocidade limite e da carga==<br />
<ol><br />
<li value="7"> Anule o campo eléctrico e verifique que a gota cai sob acção da gravidade (com velocidade limite). <br />
Com um cronómetro, meça o tempo necessário para que a gota percorra \(N>4\) divisões do retículo. </li><br />
<li> Repondo o campo eléctrico, conduza a gota para a posição inicial para medir o tempo pelo menos duas vezes.</li><br />
<li> Troque de posição com o colega para repetir este processo para várias gotas, tentando escolher as gotas de menor carga.</li><br />
<li> Para cada gota, calcule a velocidade limite média e a respectiva incerteza, usando esse valor para estimar o raio e a carga. Calcule a carga corrigida pela viscosidade.</li><br />
<li> De modo a obter resultados mais fiáveis, tente assegurar-se de que as diversas gotas apresentam valores experimentais diferentes. Duas gotas com valores da velocidade limite e raio muito semelhantes têm provavelmente a mesma carga, pelo que deverá repetir as medições para uma gota diferente.</li><br />
<li> Considere a expressão acima (Eq. 11) para a carga da gota e pondere quais as características ideais para obter resultados significativos, isto é, que contribuam para os objectivos da experiência. As gotas deverão ter \(R\) grande ou pequeno? A velocidade-limite deve ser grande ou pequena? E a tensão aplicada? Use estes critérios para decidir se vale a pena completar as medições para uma dada gota, após as medições preliminares.<br />
</ol><br />
<br />
==Tratamento de dados==<br />
Para cada um dos valores de carga que obteve:<br />
<ol><br />
<li>Comece por normalizar pelo valor tabelado da carga elementar: <math>x_i = q_i/e</math>.</li><br />
<li>A incerteza também é normalizada: <math>\sigma_i = \delta q_i/e</math>.</li><br />
<li>Para cada valor <math>x_i</math>, determine o inteiro mais próximo: <math>n_i = \operatorname{round}(x_i).</math></li><br />
<li>Calcule o desvio de cada medição em relação ao múltiplo inteiro mais próximo: <math>\Delta_i = x_i - n_i.</math></li><br />
<li>Repita para todas as cargas, preenchendo os valores na tabela.</li><br />
<li>Para quantificar globalmente a proximidade das medições a valores inteiros, calcule o [http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais#Qualidade_do_ajuste:_desvio_quadr.C3.A1tico_normalizado desvio quadrático normalizado] e o desvio quadrático reduzido<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" <br />
|<math>\chi^2 = \sum_i \frac{\Delta_i^2}{\sigma_i^2}</math>|<br />
|<math>\chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{N}</math>|<br />
|}<br />
<li value="7"> <br />
Como complemento à análise numérica, represente graficamente os valores <math>x_i</math> em função do índice da medição;<br />
</li><br />
</ol><br />
<br />
==Análise, conclusões e comentários finais==<br />
Discuta a qualidade dos dados obtidos e as conclusões que pode retirar desta experiência, em particular considerando o valor obtido para <math>\chi^2</math>. Comente também sobre as condições de realização da experiência, dos equipamentos utilizados e a influência de erros aleatórios e sistemáticos, identificando-os. Supondo que não conhecia o valor tabelado da carga do electrão, e apenas a partir dos resultados obtidos, poderá tirar conclusões sobre a quantificação da carga eléctrica?<br />
<br />
<br />
=Notas=<br />
<references /><br />
<br />
=Ligações externas=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=tPeXBrzsnxg The Millikan Experiment] Visualização das gotas de óleo numa experiência de Millikan<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=nwnjYERS66U Millikan Oil Drop Experiment Animation] Animação da experiência de Thomson</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais&diff=6329Erros e incertezas experimentais2026-02-12T15:33:00Z<p>Ist23437: /* Qualidade do ajuste: desvio quadrático normalizado */</p>
<hr />
<div>{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Grandezas físicas=<br />
Um dos principais objectivos da Física Experimental consiste na medição quantitativa de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Grandeza_f%C3%ADsica grandezas físicas]. A palavra ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Medi%C3%A7%C3%A3o medição]'' designa o acto de medir, do qual resulta uma ''medida'' (ou mais do que uma, no caso de se repetir o processo). É fundamental classificar os principais tipos de grandezas encontradas:<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
|+ Tipos de grandezas físicas<br />
| style="width: 15%"| '''Directas''' || São aquelas cujo valor se obtém com uma medição, não sendo necessário envolver os valores de outras grandezas físicas. Exemplos:<br />
*comprimento \(L\)<br />
*tempo \(t\)<br />
*temperatura \(T\)<br />
*massa \(m\)<br />
|-<br />
| '''Indirectas''' || São aquelas que envolvem a medição de duas ou mais grandezas, que por sua vez podem ser directas (D) ou indirectas (I). Exemplos:<br />
*velocidade (escalar) \(v\) - envolve comprimento (D) e tempo (D)<br />
*área \(A\) - envolve comprimento (D) e largura (D)<br />
*densidade \(\rho\) - envolve massa (D) e volume (I)<br />
<br />
|-<br />
| '''Escalares''' || São caracterizadas por um número e pela unidade de medida que a define. Exemplos:<br />
*temperatura \(T\) (K)<br />
*tempo \(t\) (s)<br />
*massa \(m\) (kg)<br />
|-<br />
| '''Vectoriais''' || Além de um número e uma unidade de medida, é necessário também saber a direção e o sentido destas grandezas. Exemplos:<br />
*posição espacial \(\vec{r}\) (m)<br />
*velocidade \(\vec{v}\) (m/s)<br />
*força \(\vec{F}\) (N)<br />
|}<br />
<br />
=Definições fundamentais=<br />
<br />
==Incerteza==<br />
Em física experimental, um dos conceitos mais importantes é a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Incerteza_de_medi%C3%A7%C3%A3o incerteza] de uma medição. A incerteza é uma expressão quantitativa da dúvida que existe na medição, reflectindo aspectos como os limites dos instrumentos e dos métodos experimentais. Em qualquer resultado experimental é indispensável indicar a incerteza associada, uma vez que esta mede a fiabilidade dos resultados e permite comparar medições. Assim, contabilizar correctamente as incertezas é essencial para garantir a validade das conclusões tiradas a partir dos dados experimentais.<br />
<br />
==Precisão e exactidão==<br />
Na linguagem coloquial os termos [https://pt.wikipedia.org/wiki/Precis%C3%A3o precisão] e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Exatid%C3%A3o exactidão] <ref>em inglês, ''precision'' e ''accuracy''.</ref> usam-se como sinónimos, mas no método científico experimental traduzem conceitos muito diferentes. Pode existir uma medida '''exacta e não precisa''', ou outra '''precisa mas não exacta''' (ver ilustração). O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor precisão e a melhor exactidão possíveis.<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
|<br />
*A '''precisão''' de uma medição é o grau da concordância entre determinações repetidas: está relacionado com a ''variação'' das sucessivas medidas <br />
<br />
*A '''exactidão''' é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média de determinações repetidas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “aceite”. <br />
<br />
*O '''erro experimental''' ou incerteza da medida é precisamente esse desvio, a distância, entre o valor aceite e o valor da medida.<br />
|-<br />
| <br />
[[File:Exactidao-precisao.png|thumb|center|upright=1.5]]<br />
|}<br />
<br />
Numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro das grandezas físicas não é conhecido ''a priori'', pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do [https://pt.wikipedia.org/wiki/Erro_observacional erro experimental]. Nas actividades laboratoriais de LIFE existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro/referência” é conhecido com grande precisão/exactidão (e.g Exp. Thomson, Exp. Millikan, Velocidade da Luz, etc). Outras há em que não se conhece o valor verdadeiro (e.g. carga de uma gota de óleo electrizada, temperatura da sala, índice de refração de um material transparente, etc).<br />
<br />
==Erros sistemáticos e aleatórios==<br />
As fontes para a incerteza experimental podem ser muito variadas, mas podem ser classificadas dois tipos principais: os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Erro_observacional erros] de natureza sistemática e os de natureza aleatória. Note-se que em física experimental um ''erro'' não significa um engano ou uma falsidade, mas sim a diferença entre um valor medido para uma grandeza e o seu valor "verdadeiro".<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
! Erros sistemáticos !! Erros aleatórios<br />
|-<br />
| style="width: 50%"|<br />
*Conduzem em geral a valores sistematicamente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma '''menor exactidão'''. <br />
*Podem ser originados por <br />
**más condições de calibração dos instrumentos de medida<br />
**o uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas<br />
**leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe)<br />
**utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. <br />
*Devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. <br />
*Só a comparação dos resultados obtidos com outros instrumentos de referência (calibração) pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos.<br />
|| <br />
*Resultam das flutuações aleatórias que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras, contribuindo para uma '''menor precisão'''. <br />
*Podem ser originados por<br />
**falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador<br />
**leituras incorrectas (mas não sistemáticas)<br />
**ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas)<br />
**processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo declínio radioactivo). <br />
*A análise estatística das flutuações está fora do âmbito da LIFE, mas importa referir que, habitualmente, considera-se o valor médio dos erros aleatórios como zero. Isto é importante pois, ao repetirem-se as medições e fazendo a média aos \(N\) resultados, os erros aleatórios compensam-se, reduzindo-se assim a contribuição aleatória.<br />
*Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados, mas dado o seu carácter estocástico, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma incerteza experimental.<br />
|}<br />
<br />
Em conclusão, podemos resumir todos estes conceitos nestes pontos:<br />
#Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br />
#Antes da experiência, devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o '''desvio à exactidão''' do valor obtido, que pode ser estimado em percentagem como<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathrm{desvio}(\%)=\left|\frac{\text { valor }_{\text {conhecido }}-\text { valor }_{\text {medido }}}{\text { valor }_{\text {conhecido }}}\right| \cdot 100</math><br />
|}<br />
#<li value="3">Porque existem sempre erros aleatórios, toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de se apresentar sempre o '''valor mais provável''' da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da incerteza. Exemplo: \(v_{\mathrm{som(ar)}} =\) 343.5 ± 0.6 m/s</li><br />
#Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas, utilizando as equações físicas, as incertezas '''propagam-se''', gerando uma incerteza do resultado final.<br />
Veremos nas próximas secções como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indirectas e as respectivas incertezas.<br />
<br />
==Resolução e sensibilidade==<br />
A '''resolução''' de um instrumento de medição é o menor intervalo mensurável com esse instrumento. É uma característica do seu desempenho em termos de qual o menor detalhe ou mudança que o instrumento consegue detectar. Por exemplo, na linguagem comum emprega-se o termo "resolução de um écran" para designar o nível de detalhe com que um aparelho reproduz imagens digitais. Em física experimental a resolução é estimada tendo em conta a menor escala ou algarismo exibido pelo instrumento e varia consoante este seja analógico ou digital:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
| '''Instrumentos analógicos''' || Considera-se que a resolução é '''metade da menor escala''' do instrumento. <br/><br />
''Exemplo:'' um voltímetro com uma escala graduada com divisões de 1 V tem uma resolução de 0,5 V, uma vez que a olho nu é possível perceber se uma dada medida está mais próxima de um traço (por exemplo, 10,0 V) ou do ponto médio entre dois traços (por exemplo 9,5 V).<br />
|[[File:MD-volt-analog.png|thumb|upright=0.5|A resolução desta escala analógica é 0,5 V.]]<br />
|-<br />
| '''Instrumentos digitais''' || Considera-se que a resolução corresponde '''à útima casa decimal''' exibida pelo instrumento, uma vez que essa é a incerteza sobre qual o arrendondamento que foi feito. <br/><br />
''Exemplo:'' Um voltímetro digital que mostre uma leitura de 12,6 V pode corresponder a um valor real contido entre 12,55 V e 12,65 V, pelo que a resolução é 0,1 V<br />
|[[File:MD-volt-digital.png|thumb|upright=0.5|A resolução desta escala digital é 0,1 V.]]<br />
|}<br />
<br />
Por regra, a '''incerteza de uma medida (única) realizada com um instrumento é igual à sua resolução'''. No entanto, se a leitura do instrumento não permanecer constante – por exemplo, se a agulha de um voltímetro digital oscilar ou se os dígitos de um voltímetro digital variarem – a regra já não é válida e a incerteza deve ser estimada, usando bom senso, a partir do intervalo de variação.<br />
<br />
A '''sensibilidade''', por outro lado, é uma indicação do mínimo sinal detectável pelo instrumento, isto é, qual o valor mínimo que é necessário atingir para que uma leitura seja registada. Por exemplo, qual a menor massa que é necessário colocar no prato de uma balança para que esta registe o seu peso? Esse valor é a sua ''sensibilidade''. Qual a menor divisão da escala da balança? Esse valor é a sua ''resolução''.<br />
<br />
=Valor médio e incerteza nas medições experimentais=<br />
Normalmente, numa medição não se adquire apenas uma única medida de uma dada grandeza, mas sim um dado número \(N\) que pode ser pequeno ou grande, consoante a importância de se conhecer o valor da grandeza com boa precisão e/ou exactidão. Tomando o valor médio de um conjunto de medidas, o efeito dos erros aleatórios pode ser atenuado, uma vez que os desvios de sinal oposto irão cancelar-se. No entanto, o efeito dos erros sistemáticos não é afectado pelo número de medições, permanencendo constantes. Para corrigir estes erros é preciso investigar as suas causas e corrigi-las.<br />
<br />
==Valor médio==<br />
A repetição de uma medição da variável \(x\) nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um '''valor médio''' \(\bar{x}\) ([https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia média aritmética]), que pode ser considerado como o '''melhor valor''' obtido nesta medida. Por exemplo, para \(N\) medidas \(x_1,x_2,...\) da grandeza \(x\) temos<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N}=\frac{\sum_i x_i}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Valor médio)<br />
|}<br />
<br />
Num grande número de situações, esta repetição realizada \(N\) vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro” valor da grandeza à medida que \(N\) aumenta. Para o cálculo da incerteza associada a esse valor médio devemos distinguir se se trata de uma grandeza directa ou indirecta.<br />
<br />
==Grandezas directas: determinação da incerteza==<br />
Devemos distinguir duas situações, dependendo do valor de \(N\):<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
| '''\(N\) pequeno'''<br/>\((1<N<10)\) || <br />
Para um número reduzido de medições, a incerteza deve ser estimada usando um majorante \(\Delta x\), que será o ''maior desvio em relação ao valor médio''. Define-se o desvio de cada medida individual \(x_i\) como a diferença absoluta \(\Delta x_i=|\bar{x}-x_i|\), pelo que a incerteza da medição é<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta x=\max|\bar{x}-x_i|</math>|| Majorante dos desvios<br />
|}<br />
<br />
O resultado final neste caso pode apresentar-se numa das seguintes formas:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm\Delta x</math>|| Resultado final, incerteza absoluta<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm\Delta x/\bar{x}</math>|| Resultado final, incerteza relativa<br />
|}<br />
<br />
No caso da incerteza relativa, o resultado é expresso em percentagem. <br />
'''Importante''': se a incerteza calculada por este método for menor do que a incerteza intrínseca do instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br />
<br />
|-<br />
| '''\(N\) grande''' <br/>\((N\gg 10)\) || <br />
No caso de se dispôr de um número elevado de medidas é mais adequado empregar métodos estatísticos. Pode calcular-se o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o desvio padrão] \(s\), que exprime a dispersão dos resultados:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>s=\sqrt{\frac{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N-1}}</math>|| \(\quad\quad\) (Desvio padrão)<br />
|}<br />
<br />
O melhor valor para a '''incerteza do valor médio''' \(u\), é dado pelo '''desvio padrão da média''', \(u=s/\sqrt{N}\), também chamado '''erro padrão''' ou '''erro padrão da média''':<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>u=\sqrt{\frac{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N(N-1)}}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm u</math>|| \(\quad\quad\) (Apresentação de resultado final)<br />
|}<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
| <br />
''Exemplo.'' Nos trabalhos experimentais de LIFE tipicamente lida-se com um número pequeno de medições \((1<N<10)\), efectuadas manualmente. Considere-se o seguinte conjunto de cinco medidas de uma dada grandeza:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center;"<br />
! # !! \(t\,[\mathrm{s}]\,(±0,1\,\mathrm{s})\) !! \(\bar{t}\,[\mathrm{s}]\) !! \(\Delta t_i\,[\mathrm{s}]\)<br />
|-<br />
| 1 || \(31,0\) || rowspan="5" | \(31,4\) || |\(|31,4-31,0|=0,4\)<br />
|-<br />
| 2 || \(31,8\) || |\(|31,4-31,8|=0,4\)<br />
|-<br />
| 3 || \(30,6\) || |\(|31,4-30,6|=0,8\)<br />
|-<br />
| 4 || \(32,2\) || |\(|31,4-32,2|=0,8\)<br />
|-<br />
| 5 || \(31,4\) || |\(|31,4-31,4|=0,0\)<br />
|}<br />
<br />
O maior dos desvios é 0,8 s, pelo que o resultado deve ser apresentado na forma<br />
<br />
*<math> t=31,4\pm 0,8\,\mathrm{s}</math> (incerteza absoluta)<br />
*<math> t=31,4\,\mathrm{s}\pm 2,6\%</math> (incerteza relativa)|}<br />
|}<br />
<br />
==Grandezas indirectas: determinação da incerteza==<br />
Para uma grandeza indirecta \(F(X,Y,Z,…)\) sendo \(X,Y,Z,…\) grandezas medidas directas, com incertezas que foram estimadas pelas equações acima como sendo \(u_X , u_Y, u_Z\) pode estimar-se a incerteza \(u_F\) da grandeza \(F\) a partir das respectivas ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial derivadas parciais]'':<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>u_F=\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial X} u_X\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial Y} u_Y\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial Z} u_Z\right)^2 \cdots}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando não é possível fazer uma análise estatística \((1<N<4)\), um majorante do erro da grandeza indirecta \(\Delta F\) é calculável a partir de<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta F=\left|\frac{\partial F}{\partial X}\right| \Delta X+\left|\frac{\partial F}{\partial Y}\right| \Delta Y+\left|\frac{\partial F}{\partial Z}\right| \Delta Z</math><br />
|}<br />
<br />
onde \(\Delta X,\Delta Y,\Delta Z\), são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. Caso estas incertezas sejam relevantes, as derivadas deverão ser calculadas ''por majoração''.<br />
<br />
''Caso particular:'' para uma função racional (por ex. \(F(X,Y,Z)=cte∙X^a Y^b Z^c\), com \(a,b,c\) inteiros) o majorante do erro relativo pode ser dado simplesmente pela soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta F/F=|a|\cdot\frac{\Delta X}{X}+|b|\cdot\frac{\Delta Y}{Y}+|c|\cdot\frac{\Delta Z}{Z}</math><br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
| <br />
''Exemplo.'' Consideremos a velocidade escalar \(v=x/t\). É uma grandeza indirecta cujo medição envolve a medição das grandezas directas ''comprimento'' \(\bar{x}\pm\Delta x\) e ''tempo'' \(\bar{t}\pm\Delta t\). Para calcular a incerteza associada à velocidade, calculamos as respectivas derivadas parciais:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\left|\frac{\partial v}{\partial x}\right|=\frac{1}{t}\quad\quad\left|\frac{\partial v}{\partial t}\right|=\frac{x}{t^2}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
A majoração das derivadas faz-se calculando os seus valores na "pior" (maior valor numérico) situação, ou seja, maximizando os numeradores e minimizando os denominadores: <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\left|\frac{\partial v}{\partial x}\right|_\mathrm{maj}=\frac{1}{t-\Delta t}\quad\quad\left|\frac{\partial v}{\partial t}\right|_\mathrm{maj}=\frac{x+\Delta x}{(t-\Delta t)^2}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
Para um número pequeno de medições obtemos a expressão para a incerteza do valor médio,<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta v=\frac{1}{t-\Delta t} \Delta x+\frac{x+\Delta x}{(t-\Delta t)^2} \Delta t</math><br />
|}<br />
<br />
Usando o "método expresso" do caso particular, uma vez que \(v=x^1t^{-1}\) podemos escrever<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta t}{t}\rightarrow\Delta v=\frac{\Delta x}{t}+\frac{x\Delta t}{t^2}<br />
</math><br />
|}<br />
Majorando os quocientes, voltamos a obter a expressão calculada explicitamente pelas derivadas parciais. Assim, este método é muito mais prático e rápido.<br />
<br />
Aplicando a valores concretos, suponhamos que a tabela usada no exemplo anterior lista os tempos medidos para a duração de um percurso \(\bar{x}=10,0±0,1\,\mathrm{mm}\), com duração média \(\bar{t}=31,4±0,8\,\mathrm{s}\). A tabela abaixo indica as velocidades e respectivas incertezas, calculadas usando o método de propagação de incertezas.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center;margin: auto;"<br />
! # !! \(t/\mathrm{s}\,(±0,1\,\mathrm{s})\) !! \(v/(\mathrm{mm/s})\) !! \(\bar{v}/(\mathrm{mm/s})\) !! \(\Delta\bar{v}/(\mathrm{mm/s})\)<br />
|-<br />
| 1 || \(31,0\) || \(0,318\) || rowspan="5"| \(0,318\) || rowspan="5"| <math>\frac{1}{31,4-0,8}\times 0,1+\frac{10+0,1}{(31,4-0,8)^2}\times 0,8=0,012</math><br />
<br />
|-<br />
| 2 || \(31,8\) || \(0,314\)<br />
|-<br />
| 3 || \(30,6\) || \(0,327\)<br />
|-<br />
| 4 || \(32,2\) || \(0,311\)<br />
|-<br />
| 5 || \(31,4\) || \(0,311\)<br />
|}<br />
Usando a regra (ver [[Erros_e_incertezas_experimentais#Representa.C3.A7.C3.A3o_de_resultados_da_medi.C3.A7.C3.A3o_de_grandezas|Representação de resultados]] mais abaixo) de apresentar o resultado final em unidades SI e com dois algarismos significativos na incerteza, temos<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>v=0,318±0,012\,\mathrm{mm}=(3,18±0,12)\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}</math><br />
|}<br />
<br />
|}<br />
<br />
==Combinação de resultados==<br />
As situações descritas acima aplicam-se no caso de medições repetidas ''usando os mesmos parâmetros''. No entanto, em muitas ocasiões pretende-se determinar o valor de uma dada grandeza física que é medida ''usando diferentes parâmetros'', como forma de aumentar a gama de observações e minimizar as incertezas. Por exemplo, constantes físicas (velocidade da luz no vácuo, carga do electrão, constante de Planck, etc) ou propriedades materiais (índice de refracção de um vidro, etc) ou de um sistema físico (período de oscilação de um pêndulo, etc) podem ser medidas usando diferentes parâmetros experimentais: diferentes valores de tensão, corrente, comprimento, ângulo, etc. <br />
<br />
Neste casos, o último passo consiste em combinar os resultados obtidos no conjunto de medições na forma de um "valor final" (e respectiva incerteza) para a experiência. Este processo pode ser feito através da [https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica média simples] ou da [https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica média ponderada].<br />
<br />
===Média simples===<br />
Tendo os resultados de \(N\) medições na forma \(x_1±\Delta x_1,x_2±\Delta x_2,…x_N±\Delta x_N\), no caso de as incertezas \(\Delta x_1, … \Delta x_N\) serem comparáveis podemos usar a média simples,<ref>Esta definição é idêntica à usada no cálculo do valor médio de uma grandeza directa.</ref><br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N}=\frac{\sum_i x_i}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Média simples)<br />
|}<br />
<br />
A incerteza do valor médio é dada pela regra de propagação de incertezas para medições independentes:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta\bar{x}=\frac{\sqrt{\Delta x_1^2+\Delta x_2^2+...+\Delta x_N^2}}{N}=\frac{\sqrt{\sum_i \Delta x_i^2}}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' Considere-se o seguinte conjunto de medições: <math>x_1=1,0±0,1; x_2=1,1±0,2; x_3=1,2±0,2</math>. Como as incertezas são comparáveis, podemos aplicar as expressões acima e obter o valor da média simples e a sua incerteza:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\bar{x}=\frac{1,0+1,1+1,2}{3}=1,1</math><br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta\bar{x}=\frac{\sqrt{0,1^2+0,2^2+0,2^2}}{3}=0,1</math><br />
|}<br />
O resultado final é apresentado na forma \(x=1,1±0,1\)<br />
|}<br />
<br />
===Média ponderada===<br />
No caso de as incertezas \(\Delta x_1, … \Delta x_N\) serem significativamente diferentes deverá ter-se esse facto em consideração no cálculo do valor final; isto é, uma medição com uma incerteza pequena deverá ter mais peso no resultado final do que uma medição com uma incerteza grande. Nestes casos usamos a média ponderada, em que o peso de cada contribuição é dado por \(w_i=1/\Delta x_i^2\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1 w_1+x_2 w_2+...+x_N w_N}{w_1+w_2+…+w_N}=\frac{\sum_i x_iw_i}{\sum_i w_i}</math>|| \(\quad\quad\) (Média ponderada)<br />
|}<br />
<br />
A incerteza do valor médio é dada pelo inverso da soma dos pesos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta\bar{x}=\sqrt{\frac{1}{w_1+w_2+…+w_N}}=\sqrt{\frac{1}{\sum_i w_i}}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' Considere-se o mesmo conjunto de medições do exemplo acima. Comecemos por calcular os pesos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>w_1=\frac{1}{0,1^2}=100\quad\quad w_2=\frac{1}{0,2^2}=25\quad\quad w_3=\frac{1}{0,3^2}=25</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, o resultado cujo incerteza é metade das outras tem um peso quatro vezes superior. Aplicando as expressões acima para a média ponderada obtemos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\bar{x}=\frac{1,0\times 100+1,1\times 25+1,2\times 25}{100+25+25}=1,05</math><br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta\bar{x}=\sqrt{\frac{1}{100+25+25}}≈0,08</math><br />
|}<br />
O resultado final é apresentado na forma \(x=1,05±0,08\)<br />
<br />
|}<br />
<br />
=Representação de resultados da medição de grandezas=<br />
Regras fundamentais: <br />
*O resultado de qualquer medição deve ser apresentado na seguinte forma:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<u>valor mais provável</u> <math>\pm</math> <u>incerteza</u> <u>unidades físicas</u><br />
|}<br />
*Como normalmente o valor da incerteza é determinado aproximadamente, em regra deverá ser indicado apenas com um ou dois [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algarismo_significativo algarismos significativos]. ''Exemplo:'' 0,2 ou 0,21 é correcto, mas 0,213 não é.<br />
*Por sua vez, o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita. ''Exemplo:'' \(x=2,25±0,15\, \mathrm{m}\) é uma representação correcta, mas \(x=2,255±0,15\, \mathrm{m}\) não é.<br />
*O uso de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3o_cient%C3%ADfica notação científica] facilita o seguimento das regras acima e evita ambiguidades. Exemplo: em vez de apresentar o resultado na forma \(x=2346±14\,\mathrm{m}\), deve-se apresentar na forma \(x=(2,35\pm0,01)\times 10^2\,\mathrm{m}\)<br />
*Para as unidades físicas deverá usar-se o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades Sistema Internacional de Unidades]. As unidades são apresentadas em tipo de letra romano (isto é, nem itálico, nem negrito) e separadas dos valores numéricos por um espaço. ''Exemplo:'' \(x=(2,35\pm0,01)\times 10^2m\) apresenta os dois tipos de erros a evitar.<br />
* Para o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Separador_decimal separador decimal], apesar de em Portugal vigorar o uso da vírgula (,) também é aceitável utilizar o ponto (.).<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
| Bons exemplos || \(R = 0.185\pm 0.030\, \mathrm{m}\)<br />
<br />
\(Temp = 297.0\pm 0.5\,\mathrm{K}\)<br />
<br />
\(v = 344.3\pm 0.4 \,\mathrm{m\cdot s}^{-1}\)<br />
<br />
\(B = (5.92\pm 0.08)\times10^{-4}\,\mathrm{ T}\)<br />
<br />
\(q/m = (1.77\pm 0.07)\times10^{11}\,\mathrm{ C\cdot kg}^{-1}\)<br />
<br />
\(e = 0.050\pm 0.001 \,\mathrm{mm}\) ou \(e=50\pm 1 \,\mathrm{m}\)<br />
|-<br />
| Maus exemplos || \(B = (5.9297887668888668898\pm 0.08) 10^{-4} \,\mathrm{ T}\)<br />
<br />
\(Temp = 297\pm 0.0005\)<br />
<br />
\(q/m = (1.8\pm 0.07789) 10^{11}\,\mathrm{ C\cdot kg}^{-1}\)<br />
|}<br />
<br />
<br />
=Algarismos significativos=<br />
Com excepção do caso em que todos os números envolvidos são inteiros, não é possível representar o valor de uma grandeza com exactidão ilimitada. Diz-se que uma representação de um número tem \(n\) algarismos significativos quando se admite um erro na casa decimal seguinte. Por exemplo:<br />
<br />
*1/7 = 0,<span style="color:#0000FF">14</span> tem dois algarismos significativos<br />
*1/30 = 0,0<span style="color:#0000FF">333</span> tem três algarismos significativos<br />
<br />
Note-se que a posição da vírgula não afecta o número de a.s.<br />
<br />
==Regras==<br />
*Algarismos zero à esquerda não contam para o total de a.s. – exemplo: 0,000<span style="color:#0000FF">44</span> ( 2 a.s.)<br />
*Algarismos zero à direita contam para o total de a.s. – exemplo: <span style="color:#0000FF">12,00</span> (4 a.s.)<br />
*Algarismos 1–9 e zeros entre eles são sempre a.s. – exemplo: <span style="color:#0000FF">1203,4</span> (5 a.s.)<br />
*Potências de dez são ambíguas, e devem ser representadas usando notação decimal – exemplo: 800 é ambíguo, <span style="color:#0000FF">8,00</span>\(\times\)10\(^2\) é correcto (3 a.s.)<br />
*As constantes têm um número arbitrário de a.s.<br />
<br />
==Soma e subtracção==<br />
O resultado deve manter o número de casas decimais do operando com o ''menor número de casas decimais''<br />
<br />
''Exemplo:'' <span style="color:#0000FF">105,4</span>+0,2869+34,27 = 139,9569 = <span style="color:#0000FF">140,0</span>=1,400\(\times\)10\(^2\)<br />
<br />
==Multiplicação e divisão==<br />
O resultado deve manter o mesmo número de algarismos significativos do operando com o ''menor número de algarismos significativos''.<br />
<br />
''Exemplo:'' 7,325\(\times\)<span style="color:#0000FF">8,14</span> = <span style="color:#0000FF">59,6</span>255 = <span style="color:#0000FF">59,6</span><br />
<br />
==Raízes quadradas==<br />
O número de a.s. é igual ao de partida.<br />
<br />
''Exemplo:'' √<span style="color:#0000FF">92</span> = 9,59166 = <span style="color:#0000FF">9,6</span><br />
<br />
=Incertezas nas representações gráficas: ajuste linear=<br />
Já vimos que no caso de medições obtidas com parâmetros diferentes se devem empregar as regras de combinação de resultados. Esse método é válido e suficiente no caso de apenas estarmos interessados em obter um valor final e a respectiva incerteza. No entanto, é possível obter muito mais informação se usarmos uma representação gráfica que mostre a evolução da grandeza ao longo do intervalo de parâmetros utilizados. Por exemplo, no cálculo de uma velocidade resultante da medição de diversos comprimentos \(x\) e os correspondentes tempos de percurso \(t\), a informação seria representada na forma de pontos num gráfico \((x,t)\). Esta abordagem tem várias vantagens:<br />
<br />
*A representação gráfica permite uma visualização clara da relação entre os parâmetros, facilitando a compreensão de como os dados se distribuem e comportam.<br />
*Ao utilizar todos os pares de medições, obtém-se uma análise mais robusta e representativa do comportamento global dos dados.<br />
*Através da [https://pt.wikipedia.org/wiki/Regress%C3%A3o_linear linha de regressão], pode-se identificar padrões ou tendências nos dados, confirmar modelos físicos, e atenuar o efeito de dados com ruído ou com erros.<br />
*Além disso, a regressão linear fornece automaticamente a incerteza associada ao cálculo da grandeza, permitindo uma avaliação mais completa da precisão do resultado.<br />
*O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br />
<br />
De uma forma mais sistemática deve usar-se o '''[https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados método dos mínimos quadrados]''', que consiste na determinação analítica de qual a recta \(y=a+b\cdot x_i\) que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples<ref>Se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais, ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos.</ref>, sendo \((x_i,y_i)\) as coordenadas dos \(N\) pontos pretende-se determinar \((a,b)\) tal que<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\chi^2=\sum_{i=0}^N\left(y_i-y\right)^2=\sum_{i=0}^N\left(y_i-a-b \cdot x_i\right)^2</math><br />
|}<br />
<br />
seja mínimo. As condições de estacionariedade desta função \(χ^2=F(a,b)\), dependente dos dois parâmetros \((a,b)\), podem ser descritas como \(\partial(χ^2)/\partial a=0,\partial(χ^2)/\partial b=0\) e \(\partial(χ^2)/\partial b^2=0\). As duas primeiras equações resultam em<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math><br />
\begin{aligned}<br />
& \sum_{i=0}^N\left(y_i-a-b x_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum y_i-N a-b \sum x_i=0 \\<br />
& \sum_{i=0}^N x_i\left(y_i-a-b x_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum x_i y_i-a \sum x_i-b \sum x_i^2=0<br />
\end{aligned}<br />
</math><br />
|}<br />
A resolução deste sistema de duas equações permite obter os valores de \(a\) e \(b\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>a=\frac{\left(\sum x_i\right)^2 \sum y_i-\sum x_i \sum x_i y_i}{N \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2} \quad b=\frac{N \sum x_i y_i-\sum x_i \sum y_i}{N \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2}</math><br />
|}<br />
<br />
A grande maioria dos programas de cálculo e as calculadoras científicas incorporam estas expressões para calcular os parâmetros de ajuste \(a\) e \(b\). Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g [https://www.originlab.com/ Origin] , [https://sites.google.com/tecnico.ulisboa.pt/fitteia Fitteia] ou [https://www.qtiplot.com/ Qtiplot] ) permitem também calcular as estimativas das incertezas \(u_a\) e \(u_b\).<br />
<br />
==Ajuste linear manual==<br />
É possível também obter um ajuste linear aproximado fazendo um traçado manual, com o rigor possível. Podemos usar como ponto de partida o ponto médio por onde passa a recta. Consideremos o sistema de duas equações acima; tomando a primeira e dividindo por \(N\),<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\frac{\sum y_i}{N}-a-b \frac{\sum x_i}{N}=0 \Leftrightarrow \bar{y}=a+b \bar{x}</math><br />
|}<br />
<br />
em que \(\bar{y}\) e \(\bar{x}\) são respectivamente as médias de cada um dos conjuntos de valores. Daqui conclui-se que a recta que corresponde ao melhor ajuste passa pelo ponto médio \((\bar{x},\bar{y})\). <br />
<br />
O passo seguinte consiste em traçar as rectas de maior \((y=a_1+b_1 x)\) e menor \((y=a_2+b_2 x)\) inclinação que, passando por este ponto, melhor se ajustam aos pontos medidos e suas incertezas. Por fim, a recta do melhor ajuste e o respectivo erro é obtida pela média desta duas rectas, de acordo com <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>a=\frac{a_1+a_2}{2} \quad \varepsilon_a=\frac{\left|a_1-a_2\right|}{2} \quad b=\frac{b_1+b_2}{2} \quad \varepsilon_b=\frac{\left|b_1-b_2\right|}{2}</math><br />
|}<br />
<br />
''Exemplo:'' Considere-se o conjunto de pontos da tabela abaixo e a sua representação no gráfico.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
| <br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
! \(x\) !! \(y\) !! \(\epsilon_y\)<br />
|-<br />
| 1 || 2,4 || 1,1<br />
|-<br />
| 2 || 5 || 0,5<br />
|-<br />
| 3 || 6 || 0,7<br />
|-<br />
| 4 || 7,7 || 0,8<br />
|-<br />
| 5 || 10,4 || 0,9<br />
|-<br />
| 6 || 10,5 || 1,5<br />
|-<br />
|colspan="3"|Ponto médio: \(\bar{x}=3,5; \bar{y}=7,0\)<br />
|} <br />
|| [[File:MM-Graph1.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Traçamos duas rectas que passem pelo ponto médio (3,5; 7,0) e que correspondam visualmente (e com bom senso) ao maior e menor declive que contenham os pontos da medição.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: left;"<br />
| <br />
<span style="color:#365B8C">Recta 1 (azul)</span>: <br/>\(y=1,4x+2,05\)<br/><br />
<span style="color:#EA4025">Recta 2 (verm.)</span>:<br/>\(y=2,0x-0,05\)<br />
|| [[File:MM-Graph2.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
Por fim, calculam-se os coeficientes da recta que bissecta estas duas, dados pelas expressões acima.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: left;"<br />
| <br />
Melhor ajuste:<br/><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
a &=\frac{2,05+(-0,05)}{2}=1,0\\<br />
ϵ_a &=\frac{|2,05-(-0,05)|}{2}=1,05\\<br />
b &=\frac{1,4+2}{2}=1,7\\<br />
ϵ_b &=\frac{|1,4-2}{2}=0,35<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br/><br />
<span style="color:#3E8D28">Recta final (verde):</span> <br/><br />
\(y=1,7x+1,0\)<br />
|| [[File:MM-Graph3.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
Como comparação, os valores calculados pelo método dos mínimos quadrados dão para a mesma recta o resultado \(y=1,67x+1,16\).<br />
<br />
==Qualidade do ajuste: desvio quadrático normalizado==<br />
Quando se realiza um ajuste linear do tipo <math>y = ax + b</math> aos dados experimentais \((x_i, y_i)\), é necessário avaliar se a recta obtida é compatível com as incertezas experimentais atribuídas aos pontos. Para esse efeito utiliza-se o desvio quadrático normalizado, também designado por estatística \(\chi^2\).<br />
Sendo \(y_i\) os valores medidos, \(Y_i\) os valores previstos pelo modelo ajustado e \(\sigma_i\) as incertezas associadas a cada medição, definem-se o desvio quadrático normalizado \(\chi^2\) e o desvio quadrático normalizado reduzido \(\chi^2_\nu\) por:<ref>Note-se que este conceito é diferente do método dos mínimos quadrados descrito mais acima: o desvio quadrático normalizado é a soma dos desvios quadráticos onde cada um é ponderado pela incerteza respectiva.</ref><br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\chi^2 = \sum_{i=1}^{N}\frac{\left(y_i - Y_i\right)^2}{\sigma_i^2} \quad\quad\quad\quad \chi_\nu^2=\frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<br />
onde \(N\) é o número total de pontos experimentais. O valor de \(\chi_\nu^2\) permite interpretar a qualidade do ajuste:<br />
<br />
* <math>\chi_\nu^2 \approx 1</math> → o modelo é compatível com os dados dentro das incertezas atribuídas;<br />
* <math>\chi_\nu^2 \gg 1</math> → as discrepâncias são maiores do que o esperado (modelo inadequado ou incertezas subestimadas);<br />
* <math>\chi_\nu^2 \ll 1</math> → as incertezas podem estar sobrestimadas.<br />
<br />
Assim, o desvio quadrático normalizado constitui um critério quantitativo para avaliar a consistência entre os dados experimentais, as incertezas estimadas e o modelo linear adoptado.<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' A tabela abaixo mostra o resultado da medição do período \(T\) de um pêndulo em função do seu comprimento \(L\), que foi variado entre 0,20 m e 1,10 m. Para pequenas amplitudes, o modelo teórico prevê que o quadrado do período do pêndulo é proporcional ao seu comprimento, <math> T^2 = aL </math> com <math> a = 4\pi^2/g. </math><br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
| <br />
{| class="wikitable"<br />
! style="text-align:right;" | L (m)<br />
! style="text-align:right;" | T (s)<br />
! style="text-align:right;" | σ<sub>T</sub> (s)<br />
! style="text-align:right;" | T<sup>2</sup> (s<sup>2</sup>)<br />
! style="text-align:right;" | σ<sub>T²</sub> (s<sup>2</sup>)<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,20<br />
| style="text-align:right;" | 0,9011<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 0,8121<br />
| style="text-align:right;" | 0,0144<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,30<br />
| style="text-align:right;" | 1,0928<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 1,1941<br />
| style="text-align:right;" | 0,0175<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,40<br />
| style="text-align:right;" | 1,2777<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 1,6326<br />
| style="text-align:right;" | 0,0204<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,50<br />
| style="text-align:right;" | 1,4155<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,0036<br />
| style="text-align:right;" | 0,0226<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,60<br />
| style="text-align:right;" | 1,5659<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,4520<br />
| style="text-align:right;" | 0,0251<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,70<br />
| style="text-align:right;" | 1,6704<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,7902<br />
| style="text-align:right;" | 0,0267<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,80<br />
| style="text-align:right;" | 1,7993<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 3,2374<br />
| style="text-align:right;" | 0,0288<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,90<br />
| style="text-align:right;" | 1,8921<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 3,5801<br />
| style="text-align:right;" | 0,0303<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 1,00<br />
| style="text-align:right;" | 2,0131<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 4,0524<br />
| style="text-align:right;" | 0,0322<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 1,10<br />
| style="text-align:right;" | 2,1000<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 4,4099<br />
| style="text-align:right;" | 0,0336<br />
|}<br />
|| [[File:Mill-graph1.png|thumb|center|upright=1]] Gráfico de \(T^2\) vs. \(L\)<br />
|| [[File:Mill-graph2.png|thumb|center|upright=1]] Gráfico da diferença residual (\(T^2-aL_i\)) vs. \(L\)<br />
|}<br />
<br />
Vamos supôr que se conhece, por exemplo, <math> a = 4,025\ \mathrm{s^2/m}. </math> O desvio quadrático normalizado é dado por:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math> \chi^2 = \sum_{i=1}^{N} \frac{(T_i^2 - aL_i)^2}{\sigma_{T_i^2}^2} = 8,744. </math><br />
|}<br />
Para \(N=10\) o desvio quadrático reduzido é<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math> \chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{10}=0,8744. </math><br />
|}<br />
Como <math> \chi^2_\nu \approx 1, </math> conclui-se que o modelo é compatível com os dados dentro das incertezas experimentais atribuídas.<br />
|}<br />
<br />
=Bibliografia=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=p1pybe5wQQk Vídeos de apoio LIFE: Precisão e incerteza]<br />
*John R. Taylor, ''An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements'', University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br />
*V. Thomsen, Precision and The Terminology of Measurement. ''The Physics Teacher'' Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.<br />
*Ifan Hughes and Thomas Hase, ''Measurements and their Uncertainties: A practical guide to modern error analysis'', Oxford University Press (July 1, 2010)<br />
<br />
=Notas=</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais&diff=6328Erros e incertezas experimentais2026-02-12T15:32:10Z<p>Ist23437: /* Qualidade do ajuste: desvio quadrático normalizado */</p>
<hr />
<div>{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Grandezas físicas=<br />
Um dos principais objectivos da Física Experimental consiste na medição quantitativa de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Grandeza_f%C3%ADsica grandezas físicas]. A palavra ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Medi%C3%A7%C3%A3o medição]'' designa o acto de medir, do qual resulta uma ''medida'' (ou mais do que uma, no caso de se repetir o processo). É fundamental classificar os principais tipos de grandezas encontradas:<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
|+ Tipos de grandezas físicas<br />
| style="width: 15%"| '''Directas''' || São aquelas cujo valor se obtém com uma medição, não sendo necessário envolver os valores de outras grandezas físicas. Exemplos:<br />
*comprimento \(L\)<br />
*tempo \(t\)<br />
*temperatura \(T\)<br />
*massa \(m\)<br />
|-<br />
| '''Indirectas''' || São aquelas que envolvem a medição de duas ou mais grandezas, que por sua vez podem ser directas (D) ou indirectas (I). Exemplos:<br />
*velocidade (escalar) \(v\) - envolve comprimento (D) e tempo (D)<br />
*área \(A\) - envolve comprimento (D) e largura (D)<br />
*densidade \(\rho\) - envolve massa (D) e volume (I)<br />
<br />
|-<br />
| '''Escalares''' || São caracterizadas por um número e pela unidade de medida que a define. Exemplos:<br />
*temperatura \(T\) (K)<br />
*tempo \(t\) (s)<br />
*massa \(m\) (kg)<br />
|-<br />
| '''Vectoriais''' || Além de um número e uma unidade de medida, é necessário também saber a direção e o sentido destas grandezas. Exemplos:<br />
*posição espacial \(\vec{r}\) (m)<br />
*velocidade \(\vec{v}\) (m/s)<br />
*força \(\vec{F}\) (N)<br />
|}<br />
<br />
=Definições fundamentais=<br />
<br />
==Incerteza==<br />
Em física experimental, um dos conceitos mais importantes é a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Incerteza_de_medi%C3%A7%C3%A3o incerteza] de uma medição. A incerteza é uma expressão quantitativa da dúvida que existe na medição, reflectindo aspectos como os limites dos instrumentos e dos métodos experimentais. Em qualquer resultado experimental é indispensável indicar a incerteza associada, uma vez que esta mede a fiabilidade dos resultados e permite comparar medições. Assim, contabilizar correctamente as incertezas é essencial para garantir a validade das conclusões tiradas a partir dos dados experimentais.<br />
<br />
==Precisão e exactidão==<br />
Na linguagem coloquial os termos [https://pt.wikipedia.org/wiki/Precis%C3%A3o precisão] e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Exatid%C3%A3o exactidão] <ref>em inglês, ''precision'' e ''accuracy''.</ref> usam-se como sinónimos, mas no método científico experimental traduzem conceitos muito diferentes. Pode existir uma medida '''exacta e não precisa''', ou outra '''precisa mas não exacta''' (ver ilustração). O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor precisão e a melhor exactidão possíveis.<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
|<br />
*A '''precisão''' de uma medição é o grau da concordância entre determinações repetidas: está relacionado com a ''variação'' das sucessivas medidas <br />
<br />
*A '''exactidão''' é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média de determinações repetidas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “aceite”. <br />
<br />
*O '''erro experimental''' ou incerteza da medida é precisamente esse desvio, a distância, entre o valor aceite e o valor da medida.<br />
|-<br />
| <br />
[[File:Exactidao-precisao.png|thumb|center|upright=1.5]]<br />
|}<br />
<br />
Numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro das grandezas físicas não é conhecido ''a priori'', pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do [https://pt.wikipedia.org/wiki/Erro_observacional erro experimental]. Nas actividades laboratoriais de LIFE existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro/referência” é conhecido com grande precisão/exactidão (e.g Exp. Thomson, Exp. Millikan, Velocidade da Luz, etc). Outras há em que não se conhece o valor verdadeiro (e.g. carga de uma gota de óleo electrizada, temperatura da sala, índice de refração de um material transparente, etc).<br />
<br />
==Erros sistemáticos e aleatórios==<br />
As fontes para a incerteza experimental podem ser muito variadas, mas podem ser classificadas dois tipos principais: os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Erro_observacional erros] de natureza sistemática e os de natureza aleatória. Note-se que em física experimental um ''erro'' não significa um engano ou uma falsidade, mas sim a diferença entre um valor medido para uma grandeza e o seu valor "verdadeiro".<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
! Erros sistemáticos !! Erros aleatórios<br />
|-<br />
| style="width: 50%"|<br />
*Conduzem em geral a valores sistematicamente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma '''menor exactidão'''. <br />
*Podem ser originados por <br />
**más condições de calibração dos instrumentos de medida<br />
**o uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas<br />
**leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe)<br />
**utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. <br />
*Devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. <br />
*Só a comparação dos resultados obtidos com outros instrumentos de referência (calibração) pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos.<br />
|| <br />
*Resultam das flutuações aleatórias que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras, contribuindo para uma '''menor precisão'''. <br />
*Podem ser originados por<br />
**falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador<br />
**leituras incorrectas (mas não sistemáticas)<br />
**ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas)<br />
**processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo declínio radioactivo). <br />
*A análise estatística das flutuações está fora do âmbito da LIFE, mas importa referir que, habitualmente, considera-se o valor médio dos erros aleatórios como zero. Isto é importante pois, ao repetirem-se as medições e fazendo a média aos \(N\) resultados, os erros aleatórios compensam-se, reduzindo-se assim a contribuição aleatória.<br />
*Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados, mas dado o seu carácter estocástico, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma incerteza experimental.<br />
|}<br />
<br />
Em conclusão, podemos resumir todos estes conceitos nestes pontos:<br />
#Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br />
#Antes da experiência, devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o '''desvio à exactidão''' do valor obtido, que pode ser estimado em percentagem como<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathrm{desvio}(\%)=\left|\frac{\text { valor }_{\text {conhecido }}-\text { valor }_{\text {medido }}}{\text { valor }_{\text {conhecido }}}\right| \cdot 100</math><br />
|}<br />
#<li value="3">Porque existem sempre erros aleatórios, toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de se apresentar sempre o '''valor mais provável''' da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da incerteza. Exemplo: \(v_{\mathrm{som(ar)}} =\) 343.5 ± 0.6 m/s</li><br />
#Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas, utilizando as equações físicas, as incertezas '''propagam-se''', gerando uma incerteza do resultado final.<br />
Veremos nas próximas secções como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indirectas e as respectivas incertezas.<br />
<br />
==Resolução e sensibilidade==<br />
A '''resolução''' de um instrumento de medição é o menor intervalo mensurável com esse instrumento. É uma característica do seu desempenho em termos de qual o menor detalhe ou mudança que o instrumento consegue detectar. Por exemplo, na linguagem comum emprega-se o termo "resolução de um écran" para designar o nível de detalhe com que um aparelho reproduz imagens digitais. Em física experimental a resolução é estimada tendo em conta a menor escala ou algarismo exibido pelo instrumento e varia consoante este seja analógico ou digital:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
| '''Instrumentos analógicos''' || Considera-se que a resolução é '''metade da menor escala''' do instrumento. <br/><br />
''Exemplo:'' um voltímetro com uma escala graduada com divisões de 1 V tem uma resolução de 0,5 V, uma vez que a olho nu é possível perceber se uma dada medida está mais próxima de um traço (por exemplo, 10,0 V) ou do ponto médio entre dois traços (por exemplo 9,5 V).<br />
|[[File:MD-volt-analog.png|thumb|upright=0.5|A resolução desta escala analógica é 0,5 V.]]<br />
|-<br />
| '''Instrumentos digitais''' || Considera-se que a resolução corresponde '''à útima casa decimal''' exibida pelo instrumento, uma vez que essa é a incerteza sobre qual o arrendondamento que foi feito. <br/><br />
''Exemplo:'' Um voltímetro digital que mostre uma leitura de 12,6 V pode corresponder a um valor real contido entre 12,55 V e 12,65 V, pelo que a resolução é 0,1 V<br />
|[[File:MD-volt-digital.png|thumb|upright=0.5|A resolução desta escala digital é 0,1 V.]]<br />
|}<br />
<br />
Por regra, a '''incerteza de uma medida (única) realizada com um instrumento é igual à sua resolução'''. No entanto, se a leitura do instrumento não permanecer constante – por exemplo, se a agulha de um voltímetro digital oscilar ou se os dígitos de um voltímetro digital variarem – a regra já não é válida e a incerteza deve ser estimada, usando bom senso, a partir do intervalo de variação.<br />
<br />
A '''sensibilidade''', por outro lado, é uma indicação do mínimo sinal detectável pelo instrumento, isto é, qual o valor mínimo que é necessário atingir para que uma leitura seja registada. Por exemplo, qual a menor massa que é necessário colocar no prato de uma balança para que esta registe o seu peso? Esse valor é a sua ''sensibilidade''. Qual a menor divisão da escala da balança? Esse valor é a sua ''resolução''.<br />
<br />
=Valor médio e incerteza nas medições experimentais=<br />
Normalmente, numa medição não se adquire apenas uma única medida de uma dada grandeza, mas sim um dado número \(N\) que pode ser pequeno ou grande, consoante a importância de se conhecer o valor da grandeza com boa precisão e/ou exactidão. Tomando o valor médio de um conjunto de medidas, o efeito dos erros aleatórios pode ser atenuado, uma vez que os desvios de sinal oposto irão cancelar-se. No entanto, o efeito dos erros sistemáticos não é afectado pelo número de medições, permanencendo constantes. Para corrigir estes erros é preciso investigar as suas causas e corrigi-las.<br />
<br />
==Valor médio==<br />
A repetição de uma medição da variável \(x\) nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um '''valor médio''' \(\bar{x}\) ([https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia média aritmética]), que pode ser considerado como o '''melhor valor''' obtido nesta medida. Por exemplo, para \(N\) medidas \(x_1,x_2,...\) da grandeza \(x\) temos<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N}=\frac{\sum_i x_i}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Valor médio)<br />
|}<br />
<br />
Num grande número de situações, esta repetição realizada \(N\) vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro” valor da grandeza à medida que \(N\) aumenta. Para o cálculo da incerteza associada a esse valor médio devemos distinguir se se trata de uma grandeza directa ou indirecta.<br />
<br />
==Grandezas directas: determinação da incerteza==<br />
Devemos distinguir duas situações, dependendo do valor de \(N\):<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
| '''\(N\) pequeno'''<br/>\((1<N<10)\) || <br />
Para um número reduzido de medições, a incerteza deve ser estimada usando um majorante \(\Delta x\), que será o ''maior desvio em relação ao valor médio''. Define-se o desvio de cada medida individual \(x_i\) como a diferença absoluta \(\Delta x_i=|\bar{x}-x_i|\), pelo que a incerteza da medição é<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta x=\max|\bar{x}-x_i|</math>|| Majorante dos desvios<br />
|}<br />
<br />
O resultado final neste caso pode apresentar-se numa das seguintes formas:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm\Delta x</math>|| Resultado final, incerteza absoluta<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm\Delta x/\bar{x}</math>|| Resultado final, incerteza relativa<br />
|}<br />
<br />
No caso da incerteza relativa, o resultado é expresso em percentagem. <br />
'''Importante''': se a incerteza calculada por este método for menor do que a incerteza intrínseca do instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br />
<br />
|-<br />
| '''\(N\) grande''' <br/>\((N\gg 10)\) || <br />
No caso de se dispôr de um número elevado de medidas é mais adequado empregar métodos estatísticos. Pode calcular-se o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o desvio padrão] \(s\), que exprime a dispersão dos resultados:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>s=\sqrt{\frac{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N-1}}</math>|| \(\quad\quad\) (Desvio padrão)<br />
|}<br />
<br />
O melhor valor para a '''incerteza do valor médio''' \(u\), é dado pelo '''desvio padrão da média''', \(u=s/\sqrt{N}\), também chamado '''erro padrão''' ou '''erro padrão da média''':<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>u=\sqrt{\frac{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N(N-1)}}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm u</math>|| \(\quad\quad\) (Apresentação de resultado final)<br />
|}<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
| <br />
''Exemplo.'' Nos trabalhos experimentais de LIFE tipicamente lida-se com um número pequeno de medições \((1<N<10)\), efectuadas manualmente. Considere-se o seguinte conjunto de cinco medidas de uma dada grandeza:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center;"<br />
! # !! \(t\,[\mathrm{s}]\,(±0,1\,\mathrm{s})\) !! \(\bar{t}\,[\mathrm{s}]\) !! \(\Delta t_i\,[\mathrm{s}]\)<br />
|-<br />
| 1 || \(31,0\) || rowspan="5" | \(31,4\) || |\(|31,4-31,0|=0,4\)<br />
|-<br />
| 2 || \(31,8\) || |\(|31,4-31,8|=0,4\)<br />
|-<br />
| 3 || \(30,6\) || |\(|31,4-30,6|=0,8\)<br />
|-<br />
| 4 || \(32,2\) || |\(|31,4-32,2|=0,8\)<br />
|-<br />
| 5 || \(31,4\) || |\(|31,4-31,4|=0,0\)<br />
|}<br />
<br />
O maior dos desvios é 0,8 s, pelo que o resultado deve ser apresentado na forma<br />
<br />
*<math> t=31,4\pm 0,8\,\mathrm{s}</math> (incerteza absoluta)<br />
*<math> t=31,4\,\mathrm{s}\pm 2,6\%</math> (incerteza relativa)|}<br />
|}<br />
<br />
==Grandezas indirectas: determinação da incerteza==<br />
Para uma grandeza indirecta \(F(X,Y,Z,…)\) sendo \(X,Y,Z,…\) grandezas medidas directas, com incertezas que foram estimadas pelas equações acima como sendo \(u_X , u_Y, u_Z\) pode estimar-se a incerteza \(u_F\) da grandeza \(F\) a partir das respectivas ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial derivadas parciais]'':<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>u_F=\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial X} u_X\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial Y} u_Y\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial Z} u_Z\right)^2 \cdots}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando não é possível fazer uma análise estatística \((1<N<4)\), um majorante do erro da grandeza indirecta \(\Delta F\) é calculável a partir de<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta F=\left|\frac{\partial F}{\partial X}\right| \Delta X+\left|\frac{\partial F}{\partial Y}\right| \Delta Y+\left|\frac{\partial F}{\partial Z}\right| \Delta Z</math><br />
|}<br />
<br />
onde \(\Delta X,\Delta Y,\Delta Z\), são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. Caso estas incertezas sejam relevantes, as derivadas deverão ser calculadas ''por majoração''.<br />
<br />
''Caso particular:'' para uma função racional (por ex. \(F(X,Y,Z)=cte∙X^a Y^b Z^c\), com \(a,b,c\) inteiros) o majorante do erro relativo pode ser dado simplesmente pela soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta F/F=|a|\cdot\frac{\Delta X}{X}+|b|\cdot\frac{\Delta Y}{Y}+|c|\cdot\frac{\Delta Z}{Z}</math><br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
| <br />
''Exemplo.'' Consideremos a velocidade escalar \(v=x/t\). É uma grandeza indirecta cujo medição envolve a medição das grandezas directas ''comprimento'' \(\bar{x}\pm\Delta x\) e ''tempo'' \(\bar{t}\pm\Delta t\). Para calcular a incerteza associada à velocidade, calculamos as respectivas derivadas parciais:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\left|\frac{\partial v}{\partial x}\right|=\frac{1}{t}\quad\quad\left|\frac{\partial v}{\partial t}\right|=\frac{x}{t^2}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
A majoração das derivadas faz-se calculando os seus valores na "pior" (maior valor numérico) situação, ou seja, maximizando os numeradores e minimizando os denominadores: <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\left|\frac{\partial v}{\partial x}\right|_\mathrm{maj}=\frac{1}{t-\Delta t}\quad\quad\left|\frac{\partial v}{\partial t}\right|_\mathrm{maj}=\frac{x+\Delta x}{(t-\Delta t)^2}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
Para um número pequeno de medições obtemos a expressão para a incerteza do valor médio,<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta v=\frac{1}{t-\Delta t} \Delta x+\frac{x+\Delta x}{(t-\Delta t)^2} \Delta t</math><br />
|}<br />
<br />
Usando o "método expresso" do caso particular, uma vez que \(v=x^1t^{-1}\) podemos escrever<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta t}{t}\rightarrow\Delta v=\frac{\Delta x}{t}+\frac{x\Delta t}{t^2}<br />
</math><br />
|}<br />
Majorando os quocientes, voltamos a obter a expressão calculada explicitamente pelas derivadas parciais. Assim, este método é muito mais prático e rápido.<br />
<br />
Aplicando a valores concretos, suponhamos que a tabela usada no exemplo anterior lista os tempos medidos para a duração de um percurso \(\bar{x}=10,0±0,1\,\mathrm{mm}\), com duração média \(\bar{t}=31,4±0,8\,\mathrm{s}\). A tabela abaixo indica as velocidades e respectivas incertezas, calculadas usando o método de propagação de incertezas.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center;margin: auto;"<br />
! # !! \(t/\mathrm{s}\,(±0,1\,\mathrm{s})\) !! \(v/(\mathrm{mm/s})\) !! \(\bar{v}/(\mathrm{mm/s})\) !! \(\Delta\bar{v}/(\mathrm{mm/s})\)<br />
|-<br />
| 1 || \(31,0\) || \(0,318\) || rowspan="5"| \(0,318\) || rowspan="5"| <math>\frac{1}{31,4-0,8}\times 0,1+\frac{10+0,1}{(31,4-0,8)^2}\times 0,8=0,012</math><br />
<br />
|-<br />
| 2 || \(31,8\) || \(0,314\)<br />
|-<br />
| 3 || \(30,6\) || \(0,327\)<br />
|-<br />
| 4 || \(32,2\) || \(0,311\)<br />
|-<br />
| 5 || \(31,4\) || \(0,311\)<br />
|}<br />
Usando a regra (ver [[Erros_e_incertezas_experimentais#Representa.C3.A7.C3.A3o_de_resultados_da_medi.C3.A7.C3.A3o_de_grandezas|Representação de resultados]] mais abaixo) de apresentar o resultado final em unidades SI e com dois algarismos significativos na incerteza, temos<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>v=0,318±0,012\,\mathrm{mm}=(3,18±0,12)\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}</math><br />
|}<br />
<br />
|}<br />
<br />
==Combinação de resultados==<br />
As situações descritas acima aplicam-se no caso de medições repetidas ''usando os mesmos parâmetros''. No entanto, em muitas ocasiões pretende-se determinar o valor de uma dada grandeza física que é medida ''usando diferentes parâmetros'', como forma de aumentar a gama de observações e minimizar as incertezas. Por exemplo, constantes físicas (velocidade da luz no vácuo, carga do electrão, constante de Planck, etc) ou propriedades materiais (índice de refracção de um vidro, etc) ou de um sistema físico (período de oscilação de um pêndulo, etc) podem ser medidas usando diferentes parâmetros experimentais: diferentes valores de tensão, corrente, comprimento, ângulo, etc. <br />
<br />
Neste casos, o último passo consiste em combinar os resultados obtidos no conjunto de medições na forma de um "valor final" (e respectiva incerteza) para a experiência. Este processo pode ser feito através da [https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica média simples] ou da [https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica média ponderada].<br />
<br />
===Média simples===<br />
Tendo os resultados de \(N\) medições na forma \(x_1±\Delta x_1,x_2±\Delta x_2,…x_N±\Delta x_N\), no caso de as incertezas \(\Delta x_1, … \Delta x_N\) serem comparáveis podemos usar a média simples,<ref>Esta definição é idêntica à usada no cálculo do valor médio de uma grandeza directa.</ref><br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N}=\frac{\sum_i x_i}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Média simples)<br />
|}<br />
<br />
A incerteza do valor médio é dada pela regra de propagação de incertezas para medições independentes:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta\bar{x}=\frac{\sqrt{\Delta x_1^2+\Delta x_2^2+...+\Delta x_N^2}}{N}=\frac{\sqrt{\sum_i \Delta x_i^2}}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' Considere-se o seguinte conjunto de medições: <math>x_1=1,0±0,1; x_2=1,1±0,2; x_3=1,2±0,2</math>. Como as incertezas são comparáveis, podemos aplicar as expressões acima e obter o valor da média simples e a sua incerteza:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\bar{x}=\frac{1,0+1,1+1,2}{3}=1,1</math><br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta\bar{x}=\frac{\sqrt{0,1^2+0,2^2+0,2^2}}{3}=0,1</math><br />
|}<br />
O resultado final é apresentado na forma \(x=1,1±0,1\)<br />
|}<br />
<br />
===Média ponderada===<br />
No caso de as incertezas \(\Delta x_1, … \Delta x_N\) serem significativamente diferentes deverá ter-se esse facto em consideração no cálculo do valor final; isto é, uma medição com uma incerteza pequena deverá ter mais peso no resultado final do que uma medição com uma incerteza grande. Nestes casos usamos a média ponderada, em que o peso de cada contribuição é dado por \(w_i=1/\Delta x_i^2\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1 w_1+x_2 w_2+...+x_N w_N}{w_1+w_2+…+w_N}=\frac{\sum_i x_iw_i}{\sum_i w_i}</math>|| \(\quad\quad\) (Média ponderada)<br />
|}<br />
<br />
A incerteza do valor médio é dada pelo inverso da soma dos pesos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta\bar{x}=\sqrt{\frac{1}{w_1+w_2+…+w_N}}=\sqrt{\frac{1}{\sum_i w_i}}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' Considere-se o mesmo conjunto de medições do exemplo acima. Comecemos por calcular os pesos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>w_1=\frac{1}{0,1^2}=100\quad\quad w_2=\frac{1}{0,2^2}=25\quad\quad w_3=\frac{1}{0,3^2}=25</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, o resultado cujo incerteza é metade das outras tem um peso quatro vezes superior. Aplicando as expressões acima para a média ponderada obtemos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\bar{x}=\frac{1,0\times 100+1,1\times 25+1,2\times 25}{100+25+25}=1,05</math><br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta\bar{x}=\sqrt{\frac{1}{100+25+25}}≈0,08</math><br />
|}<br />
O resultado final é apresentado na forma \(x=1,05±0,08\)<br />
<br />
|}<br />
<br />
=Representação de resultados da medição de grandezas=<br />
Regras fundamentais: <br />
*O resultado de qualquer medição deve ser apresentado na seguinte forma:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<u>valor mais provável</u> <math>\pm</math> <u>incerteza</u> <u>unidades físicas</u><br />
|}<br />
*Como normalmente o valor da incerteza é determinado aproximadamente, em regra deverá ser indicado apenas com um ou dois [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algarismo_significativo algarismos significativos]. ''Exemplo:'' 0,2 ou 0,21 é correcto, mas 0,213 não é.<br />
*Por sua vez, o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita. ''Exemplo:'' \(x=2,25±0,15\, \mathrm{m}\) é uma representação correcta, mas \(x=2,255±0,15\, \mathrm{m}\) não é.<br />
*O uso de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3o_cient%C3%ADfica notação científica] facilita o seguimento das regras acima e evita ambiguidades. Exemplo: em vez de apresentar o resultado na forma \(x=2346±14\,\mathrm{m}\), deve-se apresentar na forma \(x=(2,35\pm0,01)\times 10^2\,\mathrm{m}\)<br />
*Para as unidades físicas deverá usar-se o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades Sistema Internacional de Unidades]. As unidades são apresentadas em tipo de letra romano (isto é, nem itálico, nem negrito) e separadas dos valores numéricos por um espaço. ''Exemplo:'' \(x=(2,35\pm0,01)\times 10^2m\) apresenta os dois tipos de erros a evitar.<br />
* Para o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Separador_decimal separador decimal], apesar de em Portugal vigorar o uso da vírgula (,) também é aceitável utilizar o ponto (.).<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
| Bons exemplos || \(R = 0.185\pm 0.030\, \mathrm{m}\)<br />
<br />
\(Temp = 297.0\pm 0.5\,\mathrm{K}\)<br />
<br />
\(v = 344.3\pm 0.4 \,\mathrm{m\cdot s}^{-1}\)<br />
<br />
\(B = (5.92\pm 0.08)\times10^{-4}\,\mathrm{ T}\)<br />
<br />
\(q/m = (1.77\pm 0.07)\times10^{11}\,\mathrm{ C\cdot kg}^{-1}\)<br />
<br />
\(e = 0.050\pm 0.001 \,\mathrm{mm}\) ou \(e=50\pm 1 \,\mathrm{m}\)<br />
|-<br />
| Maus exemplos || \(B = (5.9297887668888668898\pm 0.08) 10^{-4} \,\mathrm{ T}\)<br />
<br />
\(Temp = 297\pm 0.0005\)<br />
<br />
\(q/m = (1.8\pm 0.07789) 10^{11}\,\mathrm{ C\cdot kg}^{-1}\)<br />
|}<br />
<br />
<br />
=Algarismos significativos=<br />
Com excepção do caso em que todos os números envolvidos são inteiros, não é possível representar o valor de uma grandeza com exactidão ilimitada. Diz-se que uma representação de um número tem \(n\) algarismos significativos quando se admite um erro na casa decimal seguinte. Por exemplo:<br />
<br />
*1/7 = 0,<span style="color:#0000FF">14</span> tem dois algarismos significativos<br />
*1/30 = 0,0<span style="color:#0000FF">333</span> tem três algarismos significativos<br />
<br />
Note-se que a posição da vírgula não afecta o número de a.s.<br />
<br />
==Regras==<br />
*Algarismos zero à esquerda não contam para o total de a.s. – exemplo: 0,000<span style="color:#0000FF">44</span> ( 2 a.s.)<br />
*Algarismos zero à direita contam para o total de a.s. – exemplo: <span style="color:#0000FF">12,00</span> (4 a.s.)<br />
*Algarismos 1–9 e zeros entre eles são sempre a.s. – exemplo: <span style="color:#0000FF">1203,4</span> (5 a.s.)<br />
*Potências de dez são ambíguas, e devem ser representadas usando notação decimal – exemplo: 800 é ambíguo, <span style="color:#0000FF">8,00</span>\(\times\)10\(^2\) é correcto (3 a.s.)<br />
*As constantes têm um número arbitrário de a.s.<br />
<br />
==Soma e subtracção==<br />
O resultado deve manter o número de casas decimais do operando com o ''menor número de casas decimais''<br />
<br />
''Exemplo:'' <span style="color:#0000FF">105,4</span>+0,2869+34,27 = 139,9569 = <span style="color:#0000FF">140,0</span>=1,400\(\times\)10\(^2\)<br />
<br />
==Multiplicação e divisão==<br />
O resultado deve manter o mesmo número de algarismos significativos do operando com o ''menor número de algarismos significativos''.<br />
<br />
''Exemplo:'' 7,325\(\times\)<span style="color:#0000FF">8,14</span> = <span style="color:#0000FF">59,6</span>255 = <span style="color:#0000FF">59,6</span><br />
<br />
==Raízes quadradas==<br />
O número de a.s. é igual ao de partida.<br />
<br />
''Exemplo:'' √<span style="color:#0000FF">92</span> = 9,59166 = <span style="color:#0000FF">9,6</span><br />
<br />
=Incertezas nas representações gráficas: ajuste linear=<br />
Já vimos que no caso de medições obtidas com parâmetros diferentes se devem empregar as regras de combinação de resultados. Esse método é válido e suficiente no caso de apenas estarmos interessados em obter um valor final e a respectiva incerteza. No entanto, é possível obter muito mais informação se usarmos uma representação gráfica que mostre a evolução da grandeza ao longo do intervalo de parâmetros utilizados. Por exemplo, no cálculo de uma velocidade resultante da medição de diversos comprimentos \(x\) e os correspondentes tempos de percurso \(t\), a informação seria representada na forma de pontos num gráfico \((x,t)\). Esta abordagem tem várias vantagens:<br />
<br />
*A representação gráfica permite uma visualização clara da relação entre os parâmetros, facilitando a compreensão de como os dados se distribuem e comportam.<br />
*Ao utilizar todos os pares de medições, obtém-se uma análise mais robusta e representativa do comportamento global dos dados.<br />
*Através da [https://pt.wikipedia.org/wiki/Regress%C3%A3o_linear linha de regressão], pode-se identificar padrões ou tendências nos dados, confirmar modelos físicos, e atenuar o efeito de dados com ruído ou com erros.<br />
*Além disso, a regressão linear fornece automaticamente a incerteza associada ao cálculo da grandeza, permitindo uma avaliação mais completa da precisão do resultado.<br />
*O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br />
<br />
De uma forma mais sistemática deve usar-se o '''[https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados método dos mínimos quadrados]''', que consiste na determinação analítica de qual a recta \(y=a+b\cdot x_i\) que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples<ref>Se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais, ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos.</ref>, sendo \((x_i,y_i)\) as coordenadas dos \(N\) pontos pretende-se determinar \((a,b)\) tal que<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\chi^2=\sum_{i=0}^N\left(y_i-y\right)^2=\sum_{i=0}^N\left(y_i-a-b \cdot x_i\right)^2</math><br />
|}<br />
<br />
seja mínimo. As condições de estacionariedade desta função \(χ^2=F(a,b)\), dependente dos dois parâmetros \((a,b)\), podem ser descritas como \(\partial(χ^2)/\partial a=0,\partial(χ^2)/\partial b=0\) e \(\partial(χ^2)/\partial b^2=0\). As duas primeiras equações resultam em<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math><br />
\begin{aligned}<br />
& \sum_{i=0}^N\left(y_i-a-b x_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum y_i-N a-b \sum x_i=0 \\<br />
& \sum_{i=0}^N x_i\left(y_i-a-b x_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum x_i y_i-a \sum x_i-b \sum x_i^2=0<br />
\end{aligned}<br />
</math><br />
|}<br />
A resolução deste sistema de duas equações permite obter os valores de \(a\) e \(b\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>a=\frac{\left(\sum x_i\right)^2 \sum y_i-\sum x_i \sum x_i y_i}{N \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2} \quad b=\frac{N \sum x_i y_i-\sum x_i \sum y_i}{N \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2}</math><br />
|}<br />
<br />
A grande maioria dos programas de cálculo e as calculadoras científicas incorporam estas expressões para calcular os parâmetros de ajuste \(a\) e \(b\). Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g [https://www.originlab.com/ Origin] , [https://sites.google.com/tecnico.ulisboa.pt/fitteia Fitteia] ou [https://www.qtiplot.com/ Qtiplot] ) permitem também calcular as estimativas das incertezas \(u_a\) e \(u_b\).<br />
<br />
==Ajuste linear manual==<br />
É possível também obter um ajuste linear aproximado fazendo um traçado manual, com o rigor possível. Podemos usar como ponto de partida o ponto médio por onde passa a recta. Consideremos o sistema de duas equações acima; tomando a primeira e dividindo por \(N\),<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\frac{\sum y_i}{N}-a-b \frac{\sum x_i}{N}=0 \Leftrightarrow \bar{y}=a+b \bar{x}</math><br />
|}<br />
<br />
em que \(\bar{y}\) e \(\bar{x}\) são respectivamente as médias de cada um dos conjuntos de valores. Daqui conclui-se que a recta que corresponde ao melhor ajuste passa pelo ponto médio \((\bar{x},\bar{y})\). <br />
<br />
O passo seguinte consiste em traçar as rectas de maior \((y=a_1+b_1 x)\) e menor \((y=a_2+b_2 x)\) inclinação que, passando por este ponto, melhor se ajustam aos pontos medidos e suas incertezas. Por fim, a recta do melhor ajuste e o respectivo erro é obtida pela média desta duas rectas, de acordo com <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>a=\frac{a_1+a_2}{2} \quad \varepsilon_a=\frac{\left|a_1-a_2\right|}{2} \quad b=\frac{b_1+b_2}{2} \quad \varepsilon_b=\frac{\left|b_1-b_2\right|}{2}</math><br />
|}<br />
<br />
''Exemplo:'' Considere-se o conjunto de pontos da tabela abaixo e a sua representação no gráfico.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
| <br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
! \(x\) !! \(y\) !! \(\epsilon_y\)<br />
|-<br />
| 1 || 2,4 || 1,1<br />
|-<br />
| 2 || 5 || 0,5<br />
|-<br />
| 3 || 6 || 0,7<br />
|-<br />
| 4 || 7,7 || 0,8<br />
|-<br />
| 5 || 10,4 || 0,9<br />
|-<br />
| 6 || 10,5 || 1,5<br />
|-<br />
|colspan="3"|Ponto médio: \(\bar{x}=3,5; \bar{y}=7,0\)<br />
|} <br />
|| [[File:MM-Graph1.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Traçamos duas rectas que passem pelo ponto médio (3,5; 7,0) e que correspondam visualmente (e com bom senso) ao maior e menor declive que contenham os pontos da medição.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: left;"<br />
| <br />
<span style="color:#365B8C">Recta 1 (azul)</span>: <br/>\(y=1,4x+2,05\)<br/><br />
<span style="color:#EA4025">Recta 2 (verm.)</span>:<br/>\(y=2,0x-0,05\)<br />
|| [[File:MM-Graph2.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
Por fim, calculam-se os coeficientes da recta que bissecta estas duas, dados pelas expressões acima.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: left;"<br />
| <br />
Melhor ajuste:<br/><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
a &=\frac{2,05+(-0,05)}{2}=1,0\\<br />
ϵ_a &=\frac{|2,05-(-0,05)|}{2}=1,05\\<br />
b &=\frac{1,4+2}{2}=1,7\\<br />
ϵ_b &=\frac{|1,4-2}{2}=0,35<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br/><br />
<span style="color:#3E8D28">Recta final (verde):</span> <br/><br />
\(y=1,7x+1,0\)<br />
|| [[File:MM-Graph3.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
Como comparação, os valores calculados pelo método dos mínimos quadrados dão para a mesma recta o resultado \(y=1,67x+1,16\).<br />
<br />
==Qualidade do ajuste: desvio quadrático normalizado==<br />
Quando se realiza um ajuste linear do tipo <math>y = ax + b</math> aos dados experimentais \((x_i, y_i)\), é necessário avaliar se a recta obtida é compatível com as incertezas experimentais atribuídas aos pontos. Para esse efeito utiliza-se o desvio quadrático normalizado, também designado por estatística \(\chi^2\).<br />
Sendo \(y_i\) os valores medidos, \(Y_i\) os valores previstos pelo modelo ajustado e \(\sigma_i\) as incertezas associadas a cada medição, definem-se o desvio quadrático normalizado \(\chi^2\) e o desvio quadrático normalizado reduzido \(\chi^2_\nu\) por:<ref>Note-se que este conceito é diferente do método dos mínimos quadrados descrito mais acima: o desvio quadrático normalizado é a soma dos desvios quadráticos onde cada um é ponderado pela incerteza respectiva.</ref><br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\chi^2 = \sum_{i=1}^{N}\frac{\left(y_i - Y_i\right)^2}{\sigma_i^2} \quad\quad\quad\quad \chi_\nu^2=\frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<br />
onde \(N\) é o número total de pontos experimentais. O valor de \(\chi_\nu^2\) permite interpretar a qualidade do ajuste:<br />
<br />
* <math>\chi_\nu^2 \approx 1</math> → o modelo é compatível com os dados dentro das incertezas atribuídas;<br />
* <math>\chi_\nu^2 \gg 1</math> → as discrepâncias são maiores do que o esperado (modelo inadequado ou incertezas subestimadas);<br />
* <math>\chi_\nu^2 \ll 1</math> → as incertezas podem estar sobrestimadas.<br />
<br />
Assim, o desvio quadrático normalizado constitui um critério quantitativo para avaliar a consistência entre os dados experimentais, as incertezas estimadas e o modelo linear adoptado.<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' A tabela abaixo mostra o resultado da medição do período \(T\) de um pêndulo em função do seu comprimento \(L\), que foi variado entre 0,20 m e 1,10 m. Para pequenas amplitudes, o modelo teórico prevê que o quadrado do período do pêndulo é proporcional ao seu comprimento, <math> T^2 = aL </math> com <math> a = 4\pi^2/g. </math><br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
| <br />
{| class="wikitable"<br />
! style="text-align:right;" | L (m)<br />
! style="text-align:right;" | T (s)<br />
! style="text-align:right;" | σ<sub>T</sub> (s)<br />
! style="text-align:right;" | T<sup>2</sup> (s<sup>2</sup>)<br />
! style="text-align:right;" | σ<sub>T²</sub> (s<sup>2</sup>)<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,20<br />
| style="text-align:right;" | 0,9011<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 0,8121<br />
| style="text-align:right;" | 0,0144<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,30<br />
| style="text-align:right;" | 1,0928<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 1,1941<br />
| style="text-align:right;" | 0,0175<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,40<br />
| style="text-align:right;" | 1,2777<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 1,6326<br />
| style="text-align:right;" | 0,0204<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,50<br />
| style="text-align:right;" | 1,4155<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,0036<br />
| style="text-align:right;" | 0,0226<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,60<br />
| style="text-align:right;" | 1,5659<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,4520<br />
| style="text-align:right;" | 0,0251<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,70<br />
| style="text-align:right;" | 1,6704<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,7902<br />
| style="text-align:right;" | 0,0267<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,80<br />
| style="text-align:right;" | 1,7993<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 3,2374<br />
| style="text-align:right;" | 0,0288<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,90<br />
| style="text-align:right;" | 1,8921<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 3,5801<br />
| style="text-align:right;" | 0,0303<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 1,00<br />
| style="text-align:right;" | 2,0131<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 4,0524<br />
| style="text-align:right;" | 0,0322<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 1,10<br />
| style="text-align:right;" | 2,1000<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 4,4099<br />
| style="text-align:right;" | 0,0336<br />
|}<br />
|| [[File:Mill-graph1.png|thumb|center|upright=1]] Gráfico de \(T^2\) vs. \(L\)<br />
|| [[File:Mill-graph2.png|thumb|center|upright=1]] Gráfico da diferença residual \(T^2-aL_i^2\) vs. \(L\)<br />
|}<br />
<br />
Vamos supôr que se conhece, por exemplo, <math> a = 4,025\ \mathrm{s^2/m}. </math> O desvio quadrático normalizado é dado por:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math> \chi^2 = \sum_{i=1}^{N} \frac{(T_i^2 - aL_i)^2}{\sigma_{T_i^2}^2} = 8,744. </math><br />
|}<br />
Para \(N=10\) o desvio quadrático reduzido é<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math> \chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{10}=0,8744. </math><br />
|}<br />
Como <math> \chi^2_\nu \approx 1, </math> conclui-se que o modelo é compatível com os dados dentro das incertezas experimentais atribuídas.<br />
|}<br />
<br />
=Bibliografia=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=p1pybe5wQQk Vídeos de apoio LIFE: Precisão e incerteza]<br />
*John R. Taylor, ''An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements'', University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br />
*V. Thomsen, Precision and The Terminology of Measurement. ''The Physics Teacher'' Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.<br />
*Ifan Hughes and Thomas Hase, ''Measurements and their Uncertainties: A practical guide to modern error analysis'', Oxford University Press (July 1, 2010)<br />
<br />
=Notas=</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais&diff=6327Erros e incertezas experimentais2026-02-12T15:28:44Z<p>Ist23437: /* Qualidade do ajuste: desvio quadrático normalizado */</p>
<hr />
<div>{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Grandezas físicas=<br />
Um dos principais objectivos da Física Experimental consiste na medição quantitativa de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Grandeza_f%C3%ADsica grandezas físicas]. A palavra ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Medi%C3%A7%C3%A3o medição]'' designa o acto de medir, do qual resulta uma ''medida'' (ou mais do que uma, no caso de se repetir o processo). É fundamental classificar os principais tipos de grandezas encontradas:<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
|+ Tipos de grandezas físicas<br />
| style="width: 15%"| '''Directas''' || São aquelas cujo valor se obtém com uma medição, não sendo necessário envolver os valores de outras grandezas físicas. Exemplos:<br />
*comprimento \(L\)<br />
*tempo \(t\)<br />
*temperatura \(T\)<br />
*massa \(m\)<br />
|-<br />
| '''Indirectas''' || São aquelas que envolvem a medição de duas ou mais grandezas, que por sua vez podem ser directas (D) ou indirectas (I). Exemplos:<br />
*velocidade (escalar) \(v\) - envolve comprimento (D) e tempo (D)<br />
*área \(A\) - envolve comprimento (D) e largura (D)<br />
*densidade \(\rho\) - envolve massa (D) e volume (I)<br />
<br />
|-<br />
| '''Escalares''' || São caracterizadas por um número e pela unidade de medida que a define. Exemplos:<br />
*temperatura \(T\) (K)<br />
*tempo \(t\) (s)<br />
*massa \(m\) (kg)<br />
|-<br />
| '''Vectoriais''' || Além de um número e uma unidade de medida, é necessário também saber a direção e o sentido destas grandezas. Exemplos:<br />
*posição espacial \(\vec{r}\) (m)<br />
*velocidade \(\vec{v}\) (m/s)<br />
*força \(\vec{F}\) (N)<br />
|}<br />
<br />
=Definições fundamentais=<br />
<br />
==Incerteza==<br />
Em física experimental, um dos conceitos mais importantes é a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Incerteza_de_medi%C3%A7%C3%A3o incerteza] de uma medição. A incerteza é uma expressão quantitativa da dúvida que existe na medição, reflectindo aspectos como os limites dos instrumentos e dos métodos experimentais. Em qualquer resultado experimental é indispensável indicar a incerteza associada, uma vez que esta mede a fiabilidade dos resultados e permite comparar medições. Assim, contabilizar correctamente as incertezas é essencial para garantir a validade das conclusões tiradas a partir dos dados experimentais.<br />
<br />
==Precisão e exactidão==<br />
Na linguagem coloquial os termos [https://pt.wikipedia.org/wiki/Precis%C3%A3o precisão] e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Exatid%C3%A3o exactidão] <ref>em inglês, ''precision'' e ''accuracy''.</ref> usam-se como sinónimos, mas no método científico experimental traduzem conceitos muito diferentes. Pode existir uma medida '''exacta e não precisa''', ou outra '''precisa mas não exacta''' (ver ilustração). O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor precisão e a melhor exactidão possíveis.<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
|<br />
*A '''precisão''' de uma medição é o grau da concordância entre determinações repetidas: está relacionado com a ''variação'' das sucessivas medidas <br />
<br />
*A '''exactidão''' é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média de determinações repetidas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “aceite”. <br />
<br />
*O '''erro experimental''' ou incerteza da medida é precisamente esse desvio, a distância, entre o valor aceite e o valor da medida.<br />
|-<br />
| <br />
[[File:Exactidao-precisao.png|thumb|center|upright=1.5]]<br />
|}<br />
<br />
Numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro das grandezas físicas não é conhecido ''a priori'', pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do [https://pt.wikipedia.org/wiki/Erro_observacional erro experimental]. Nas actividades laboratoriais de LIFE existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro/referência” é conhecido com grande precisão/exactidão (e.g Exp. Thomson, Exp. Millikan, Velocidade da Luz, etc). Outras há em que não se conhece o valor verdadeiro (e.g. carga de uma gota de óleo electrizada, temperatura da sala, índice de refração de um material transparente, etc).<br />
<br />
==Erros sistemáticos e aleatórios==<br />
As fontes para a incerteza experimental podem ser muito variadas, mas podem ser classificadas dois tipos principais: os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Erro_observacional erros] de natureza sistemática e os de natureza aleatória. Note-se que em física experimental um ''erro'' não significa um engano ou uma falsidade, mas sim a diferença entre um valor medido para uma grandeza e o seu valor "verdadeiro".<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
! Erros sistemáticos !! Erros aleatórios<br />
|-<br />
| style="width: 50%"|<br />
*Conduzem em geral a valores sistematicamente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma '''menor exactidão'''. <br />
*Podem ser originados por <br />
**más condições de calibração dos instrumentos de medida<br />
**o uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas<br />
**leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe)<br />
**utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. <br />
*Devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. <br />
*Só a comparação dos resultados obtidos com outros instrumentos de referência (calibração) pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos.<br />
|| <br />
*Resultam das flutuações aleatórias que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras, contribuindo para uma '''menor precisão'''. <br />
*Podem ser originados por<br />
**falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador<br />
**leituras incorrectas (mas não sistemáticas)<br />
**ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas)<br />
**processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo declínio radioactivo). <br />
*A análise estatística das flutuações está fora do âmbito da LIFE, mas importa referir que, habitualmente, considera-se o valor médio dos erros aleatórios como zero. Isto é importante pois, ao repetirem-se as medições e fazendo a média aos \(N\) resultados, os erros aleatórios compensam-se, reduzindo-se assim a contribuição aleatória.<br />
*Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados, mas dado o seu carácter estocástico, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma incerteza experimental.<br />
|}<br />
<br />
Em conclusão, podemos resumir todos estes conceitos nestes pontos:<br />
#Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br />
#Antes da experiência, devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o '''desvio à exactidão''' do valor obtido, que pode ser estimado em percentagem como<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathrm{desvio}(\%)=\left|\frac{\text { valor }_{\text {conhecido }}-\text { valor }_{\text {medido }}}{\text { valor }_{\text {conhecido }}}\right| \cdot 100</math><br />
|}<br />
#<li value="3">Porque existem sempre erros aleatórios, toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de se apresentar sempre o '''valor mais provável''' da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da incerteza. Exemplo: \(v_{\mathrm{som(ar)}} =\) 343.5 ± 0.6 m/s</li><br />
#Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas, utilizando as equações físicas, as incertezas '''propagam-se''', gerando uma incerteza do resultado final.<br />
Veremos nas próximas secções como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indirectas e as respectivas incertezas.<br />
<br />
==Resolução e sensibilidade==<br />
A '''resolução''' de um instrumento de medição é o menor intervalo mensurável com esse instrumento. É uma característica do seu desempenho em termos de qual o menor detalhe ou mudança que o instrumento consegue detectar. Por exemplo, na linguagem comum emprega-se o termo "resolução de um écran" para designar o nível de detalhe com que um aparelho reproduz imagens digitais. Em física experimental a resolução é estimada tendo em conta a menor escala ou algarismo exibido pelo instrumento e varia consoante este seja analógico ou digital:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
| '''Instrumentos analógicos''' || Considera-se que a resolução é '''metade da menor escala''' do instrumento. <br/><br />
''Exemplo:'' um voltímetro com uma escala graduada com divisões de 1 V tem uma resolução de 0,5 V, uma vez que a olho nu é possível perceber se uma dada medida está mais próxima de um traço (por exemplo, 10,0 V) ou do ponto médio entre dois traços (por exemplo 9,5 V).<br />
|[[File:MD-volt-analog.png|thumb|upright=0.5|A resolução desta escala analógica é 0,5 V.]]<br />
|-<br />
| '''Instrumentos digitais''' || Considera-se que a resolução corresponde '''à útima casa decimal''' exibida pelo instrumento, uma vez que essa é a incerteza sobre qual o arrendondamento que foi feito. <br/><br />
''Exemplo:'' Um voltímetro digital que mostre uma leitura de 12,6 V pode corresponder a um valor real contido entre 12,55 V e 12,65 V, pelo que a resolução é 0,1 V<br />
|[[File:MD-volt-digital.png|thumb|upright=0.5|A resolução desta escala digital é 0,1 V.]]<br />
|}<br />
<br />
Por regra, a '''incerteza de uma medida (única) realizada com um instrumento é igual à sua resolução'''. No entanto, se a leitura do instrumento não permanecer constante – por exemplo, se a agulha de um voltímetro digital oscilar ou se os dígitos de um voltímetro digital variarem – a regra já não é válida e a incerteza deve ser estimada, usando bom senso, a partir do intervalo de variação.<br />
<br />
A '''sensibilidade''', por outro lado, é uma indicação do mínimo sinal detectável pelo instrumento, isto é, qual o valor mínimo que é necessário atingir para que uma leitura seja registada. Por exemplo, qual a menor massa que é necessário colocar no prato de uma balança para que esta registe o seu peso? Esse valor é a sua ''sensibilidade''. Qual a menor divisão da escala da balança? Esse valor é a sua ''resolução''.<br />
<br />
=Valor médio e incerteza nas medições experimentais=<br />
Normalmente, numa medição não se adquire apenas uma única medida de uma dada grandeza, mas sim um dado número \(N\) que pode ser pequeno ou grande, consoante a importância de se conhecer o valor da grandeza com boa precisão e/ou exactidão. Tomando o valor médio de um conjunto de medidas, o efeito dos erros aleatórios pode ser atenuado, uma vez que os desvios de sinal oposto irão cancelar-se. No entanto, o efeito dos erros sistemáticos não é afectado pelo número de medições, permanencendo constantes. Para corrigir estes erros é preciso investigar as suas causas e corrigi-las.<br />
<br />
==Valor médio==<br />
A repetição de uma medição da variável \(x\) nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um '''valor médio''' \(\bar{x}\) ([https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia média aritmética]), que pode ser considerado como o '''melhor valor''' obtido nesta medida. Por exemplo, para \(N\) medidas \(x_1,x_2,...\) da grandeza \(x\) temos<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N}=\frac{\sum_i x_i}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Valor médio)<br />
|}<br />
<br />
Num grande número de situações, esta repetição realizada \(N\) vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro” valor da grandeza à medida que \(N\) aumenta. Para o cálculo da incerteza associada a esse valor médio devemos distinguir se se trata de uma grandeza directa ou indirecta.<br />
<br />
==Grandezas directas: determinação da incerteza==<br />
Devemos distinguir duas situações, dependendo do valor de \(N\):<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
| '''\(N\) pequeno'''<br/>\((1<N<10)\) || <br />
Para um número reduzido de medições, a incerteza deve ser estimada usando um majorante \(\Delta x\), que será o ''maior desvio em relação ao valor médio''. Define-se o desvio de cada medida individual \(x_i\) como a diferença absoluta \(\Delta x_i=|\bar{x}-x_i|\), pelo que a incerteza da medição é<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta x=\max|\bar{x}-x_i|</math>|| Majorante dos desvios<br />
|}<br />
<br />
O resultado final neste caso pode apresentar-se numa das seguintes formas:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm\Delta x</math>|| Resultado final, incerteza absoluta<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm\Delta x/\bar{x}</math>|| Resultado final, incerteza relativa<br />
|}<br />
<br />
No caso da incerteza relativa, o resultado é expresso em percentagem. <br />
'''Importante''': se a incerteza calculada por este método for menor do que a incerteza intrínseca do instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br />
<br />
|-<br />
| '''\(N\) grande''' <br/>\((N\gg 10)\) || <br />
No caso de se dispôr de um número elevado de medidas é mais adequado empregar métodos estatísticos. Pode calcular-se o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o desvio padrão] \(s\), que exprime a dispersão dos resultados:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>s=\sqrt{\frac{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N-1}}</math>|| \(\quad\quad\) (Desvio padrão)<br />
|}<br />
<br />
O melhor valor para a '''incerteza do valor médio''' \(u\), é dado pelo '''desvio padrão da média''', \(u=s/\sqrt{N}\), também chamado '''erro padrão''' ou '''erro padrão da média''':<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>u=\sqrt{\frac{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N(N-1)}}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm u</math>|| \(\quad\quad\) (Apresentação de resultado final)<br />
|}<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
| <br />
''Exemplo.'' Nos trabalhos experimentais de LIFE tipicamente lida-se com um número pequeno de medições \((1<N<10)\), efectuadas manualmente. Considere-se o seguinte conjunto de cinco medidas de uma dada grandeza:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center;"<br />
! # !! \(t\,[\mathrm{s}]\,(±0,1\,\mathrm{s})\) !! \(\bar{t}\,[\mathrm{s}]\) !! \(\Delta t_i\,[\mathrm{s}]\)<br />
|-<br />
| 1 || \(31,0\) || rowspan="5" | \(31,4\) || |\(|31,4-31,0|=0,4\)<br />
|-<br />
| 2 || \(31,8\) || |\(|31,4-31,8|=0,4\)<br />
|-<br />
| 3 || \(30,6\) || |\(|31,4-30,6|=0,8\)<br />
|-<br />
| 4 || \(32,2\) || |\(|31,4-32,2|=0,8\)<br />
|-<br />
| 5 || \(31,4\) || |\(|31,4-31,4|=0,0\)<br />
|}<br />
<br />
O maior dos desvios é 0,8 s, pelo que o resultado deve ser apresentado na forma<br />
<br />
*<math> t=31,4\pm 0,8\,\mathrm{s}</math> (incerteza absoluta)<br />
*<math> t=31,4\,\mathrm{s}\pm 2,6\%</math> (incerteza relativa)|}<br />
|}<br />
<br />
==Grandezas indirectas: determinação da incerteza==<br />
Para uma grandeza indirecta \(F(X,Y,Z,…)\) sendo \(X,Y,Z,…\) grandezas medidas directas, com incertezas que foram estimadas pelas equações acima como sendo \(u_X , u_Y, u_Z\) pode estimar-se a incerteza \(u_F\) da grandeza \(F\) a partir das respectivas ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial derivadas parciais]'':<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>u_F=\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial X} u_X\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial Y} u_Y\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial Z} u_Z\right)^2 \cdots}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando não é possível fazer uma análise estatística \((1<N<4)\), um majorante do erro da grandeza indirecta \(\Delta F\) é calculável a partir de<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta F=\left|\frac{\partial F}{\partial X}\right| \Delta X+\left|\frac{\partial F}{\partial Y}\right| \Delta Y+\left|\frac{\partial F}{\partial Z}\right| \Delta Z</math><br />
|}<br />
<br />
onde \(\Delta X,\Delta Y,\Delta Z\), são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. Caso estas incertezas sejam relevantes, as derivadas deverão ser calculadas ''por majoração''.<br />
<br />
''Caso particular:'' para uma função racional (por ex. \(F(X,Y,Z)=cte∙X^a Y^b Z^c\), com \(a,b,c\) inteiros) o majorante do erro relativo pode ser dado simplesmente pela soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta F/F=|a|\cdot\frac{\Delta X}{X}+|b|\cdot\frac{\Delta Y}{Y}+|c|\cdot\frac{\Delta Z}{Z}</math><br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
| <br />
''Exemplo.'' Consideremos a velocidade escalar \(v=x/t\). É uma grandeza indirecta cujo medição envolve a medição das grandezas directas ''comprimento'' \(\bar{x}\pm\Delta x\) e ''tempo'' \(\bar{t}\pm\Delta t\). Para calcular a incerteza associada à velocidade, calculamos as respectivas derivadas parciais:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\left|\frac{\partial v}{\partial x}\right|=\frac{1}{t}\quad\quad\left|\frac{\partial v}{\partial t}\right|=\frac{x}{t^2}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
A majoração das derivadas faz-se calculando os seus valores na "pior" (maior valor numérico) situação, ou seja, maximizando os numeradores e minimizando os denominadores: <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\left|\frac{\partial v}{\partial x}\right|_\mathrm{maj}=\frac{1}{t-\Delta t}\quad\quad\left|\frac{\partial v}{\partial t}\right|_\mathrm{maj}=\frac{x+\Delta x}{(t-\Delta t)^2}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
Para um número pequeno de medições obtemos a expressão para a incerteza do valor médio,<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta v=\frac{1}{t-\Delta t} \Delta x+\frac{x+\Delta x}{(t-\Delta t)^2} \Delta t</math><br />
|}<br />
<br />
Usando o "método expresso" do caso particular, uma vez que \(v=x^1t^{-1}\) podemos escrever<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta t}{t}\rightarrow\Delta v=\frac{\Delta x}{t}+\frac{x\Delta t}{t^2}<br />
</math><br />
|}<br />
Majorando os quocientes, voltamos a obter a expressão calculada explicitamente pelas derivadas parciais. Assim, este método é muito mais prático e rápido.<br />
<br />
Aplicando a valores concretos, suponhamos que a tabela usada no exemplo anterior lista os tempos medidos para a duração de um percurso \(\bar{x}=10,0±0,1\,\mathrm{mm}\), com duração média \(\bar{t}=31,4±0,8\,\mathrm{s}\). A tabela abaixo indica as velocidades e respectivas incertezas, calculadas usando o método de propagação de incertezas.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center;margin: auto;"<br />
! # !! \(t/\mathrm{s}\,(±0,1\,\mathrm{s})\) !! \(v/(\mathrm{mm/s})\) !! \(\bar{v}/(\mathrm{mm/s})\) !! \(\Delta\bar{v}/(\mathrm{mm/s})\)<br />
|-<br />
| 1 || \(31,0\) || \(0,318\) || rowspan="5"| \(0,318\) || rowspan="5"| <math>\frac{1}{31,4-0,8}\times 0,1+\frac{10+0,1}{(31,4-0,8)^2}\times 0,8=0,012</math><br />
<br />
|-<br />
| 2 || \(31,8\) || \(0,314\)<br />
|-<br />
| 3 || \(30,6\) || \(0,327\)<br />
|-<br />
| 4 || \(32,2\) || \(0,311\)<br />
|-<br />
| 5 || \(31,4\) || \(0,311\)<br />
|}<br />
Usando a regra (ver [[Erros_e_incertezas_experimentais#Representa.C3.A7.C3.A3o_de_resultados_da_medi.C3.A7.C3.A3o_de_grandezas|Representação de resultados]] mais abaixo) de apresentar o resultado final em unidades SI e com dois algarismos significativos na incerteza, temos<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>v=0,318±0,012\,\mathrm{mm}=(3,18±0,12)\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}</math><br />
|}<br />
<br />
|}<br />
<br />
==Combinação de resultados==<br />
As situações descritas acima aplicam-se no caso de medições repetidas ''usando os mesmos parâmetros''. No entanto, em muitas ocasiões pretende-se determinar o valor de uma dada grandeza física que é medida ''usando diferentes parâmetros'', como forma de aumentar a gama de observações e minimizar as incertezas. Por exemplo, constantes físicas (velocidade da luz no vácuo, carga do electrão, constante de Planck, etc) ou propriedades materiais (índice de refracção de um vidro, etc) ou de um sistema físico (período de oscilação de um pêndulo, etc) podem ser medidas usando diferentes parâmetros experimentais: diferentes valores de tensão, corrente, comprimento, ângulo, etc. <br />
<br />
Neste casos, o último passo consiste em combinar os resultados obtidos no conjunto de medições na forma de um "valor final" (e respectiva incerteza) para a experiência. Este processo pode ser feito através da [https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica média simples] ou da [https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica média ponderada].<br />
<br />
===Média simples===<br />
Tendo os resultados de \(N\) medições na forma \(x_1±\Delta x_1,x_2±\Delta x_2,…x_N±\Delta x_N\), no caso de as incertezas \(\Delta x_1, … \Delta x_N\) serem comparáveis podemos usar a média simples,<ref>Esta definição é idêntica à usada no cálculo do valor médio de uma grandeza directa.</ref><br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N}=\frac{\sum_i x_i}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Média simples)<br />
|}<br />
<br />
A incerteza do valor médio é dada pela regra de propagação de incertezas para medições independentes:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta\bar{x}=\frac{\sqrt{\Delta x_1^2+\Delta x_2^2+...+\Delta x_N^2}}{N}=\frac{\sqrt{\sum_i \Delta x_i^2}}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' Considere-se o seguinte conjunto de medições: <math>x_1=1,0±0,1; x_2=1,1±0,2; x_3=1,2±0,2</math>. Como as incertezas são comparáveis, podemos aplicar as expressões acima e obter o valor da média simples e a sua incerteza:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\bar{x}=\frac{1,0+1,1+1,2}{3}=1,1</math><br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta\bar{x}=\frac{\sqrt{0,1^2+0,2^2+0,2^2}}{3}=0,1</math><br />
|}<br />
O resultado final é apresentado na forma \(x=1,1±0,1\)<br />
|}<br />
<br />
===Média ponderada===<br />
No caso de as incertezas \(\Delta x_1, … \Delta x_N\) serem significativamente diferentes deverá ter-se esse facto em consideração no cálculo do valor final; isto é, uma medição com uma incerteza pequena deverá ter mais peso no resultado final do que uma medição com uma incerteza grande. Nestes casos usamos a média ponderada, em que o peso de cada contribuição é dado por \(w_i=1/\Delta x_i^2\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1 w_1+x_2 w_2+...+x_N w_N}{w_1+w_2+…+w_N}=\frac{\sum_i x_iw_i}{\sum_i w_i}</math>|| \(\quad\quad\) (Média ponderada)<br />
|}<br />
<br />
A incerteza do valor médio é dada pelo inverso da soma dos pesos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta\bar{x}=\sqrt{\frac{1}{w_1+w_2+…+w_N}}=\sqrt{\frac{1}{\sum_i w_i}}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' Considere-se o mesmo conjunto de medições do exemplo acima. Comecemos por calcular os pesos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>w_1=\frac{1}{0,1^2}=100\quad\quad w_2=\frac{1}{0,2^2}=25\quad\quad w_3=\frac{1}{0,3^2}=25</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, o resultado cujo incerteza é metade das outras tem um peso quatro vezes superior. Aplicando as expressões acima para a média ponderada obtemos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\bar{x}=\frac{1,0\times 100+1,1\times 25+1,2\times 25}{100+25+25}=1,05</math><br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta\bar{x}=\sqrt{\frac{1}{100+25+25}}≈0,08</math><br />
|}<br />
O resultado final é apresentado na forma \(x=1,05±0,08\)<br />
<br />
|}<br />
<br />
=Representação de resultados da medição de grandezas=<br />
Regras fundamentais: <br />
*O resultado de qualquer medição deve ser apresentado na seguinte forma:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<u>valor mais provável</u> <math>\pm</math> <u>incerteza</u> <u>unidades físicas</u><br />
|}<br />
*Como normalmente o valor da incerteza é determinado aproximadamente, em regra deverá ser indicado apenas com um ou dois [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algarismo_significativo algarismos significativos]. ''Exemplo:'' 0,2 ou 0,21 é correcto, mas 0,213 não é.<br />
*Por sua vez, o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita. ''Exemplo:'' \(x=2,25±0,15\, \mathrm{m}\) é uma representação correcta, mas \(x=2,255±0,15\, \mathrm{m}\) não é.<br />
*O uso de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3o_cient%C3%ADfica notação científica] facilita o seguimento das regras acima e evita ambiguidades. Exemplo: em vez de apresentar o resultado na forma \(x=2346±14\,\mathrm{m}\), deve-se apresentar na forma \(x=(2,35\pm0,01)\times 10^2\,\mathrm{m}\)<br />
*Para as unidades físicas deverá usar-se o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades Sistema Internacional de Unidades]. As unidades são apresentadas em tipo de letra romano (isto é, nem itálico, nem negrito) e separadas dos valores numéricos por um espaço. ''Exemplo:'' \(x=(2,35\pm0,01)\times 10^2m\) apresenta os dois tipos de erros a evitar.<br />
* Para o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Separador_decimal separador decimal], apesar de em Portugal vigorar o uso da vírgula (,) também é aceitável utilizar o ponto (.).<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
| Bons exemplos || \(R = 0.185\pm 0.030\, \mathrm{m}\)<br />
<br />
\(Temp = 297.0\pm 0.5\,\mathrm{K}\)<br />
<br />
\(v = 344.3\pm 0.4 \,\mathrm{m\cdot s}^{-1}\)<br />
<br />
\(B = (5.92\pm 0.08)\times10^{-4}\,\mathrm{ T}\)<br />
<br />
\(q/m = (1.77\pm 0.07)\times10^{11}\,\mathrm{ C\cdot kg}^{-1}\)<br />
<br />
\(e = 0.050\pm 0.001 \,\mathrm{mm}\) ou \(e=50\pm 1 \,\mathrm{m}\)<br />
|-<br />
| Maus exemplos || \(B = (5.9297887668888668898\pm 0.08) 10^{-4} \,\mathrm{ T}\)<br />
<br />
\(Temp = 297\pm 0.0005\)<br />
<br />
\(q/m = (1.8\pm 0.07789) 10^{11}\,\mathrm{ C\cdot kg}^{-1}\)<br />
|}<br />
<br />
<br />
=Algarismos significativos=<br />
Com excepção do caso em que todos os números envolvidos são inteiros, não é possível representar o valor de uma grandeza com exactidão ilimitada. Diz-se que uma representação de um número tem \(n\) algarismos significativos quando se admite um erro na casa decimal seguinte. Por exemplo:<br />
<br />
*1/7 = 0,<span style="color:#0000FF">14</span> tem dois algarismos significativos<br />
*1/30 = 0,0<span style="color:#0000FF">333</span> tem três algarismos significativos<br />
<br />
Note-se que a posição da vírgula não afecta o número de a.s.<br />
<br />
==Regras==<br />
*Algarismos zero à esquerda não contam para o total de a.s. – exemplo: 0,000<span style="color:#0000FF">44</span> ( 2 a.s.)<br />
*Algarismos zero à direita contam para o total de a.s. – exemplo: <span style="color:#0000FF">12,00</span> (4 a.s.)<br />
*Algarismos 1–9 e zeros entre eles são sempre a.s. – exemplo: <span style="color:#0000FF">1203,4</span> (5 a.s.)<br />
*Potências de dez são ambíguas, e devem ser representadas usando notação decimal – exemplo: 800 é ambíguo, <span style="color:#0000FF">8,00</span>\(\times\)10\(^2\) é correcto (3 a.s.)<br />
*As constantes têm um número arbitrário de a.s.<br />
<br />
==Soma e subtracção==<br />
O resultado deve manter o número de casas decimais do operando com o ''menor número de casas decimais''<br />
<br />
''Exemplo:'' <span style="color:#0000FF">105,4</span>+0,2869+34,27 = 139,9569 = <span style="color:#0000FF">140,0</span>=1,400\(\times\)10\(^2\)<br />
<br />
==Multiplicação e divisão==<br />
O resultado deve manter o mesmo número de algarismos significativos do operando com o ''menor número de algarismos significativos''.<br />
<br />
''Exemplo:'' 7,325\(\times\)<span style="color:#0000FF">8,14</span> = <span style="color:#0000FF">59,6</span>255 = <span style="color:#0000FF">59,6</span><br />
<br />
==Raízes quadradas==<br />
O número de a.s. é igual ao de partida.<br />
<br />
''Exemplo:'' √<span style="color:#0000FF">92</span> = 9,59166 = <span style="color:#0000FF">9,6</span><br />
<br />
=Incertezas nas representações gráficas: ajuste linear=<br />
Já vimos que no caso de medições obtidas com parâmetros diferentes se devem empregar as regras de combinação de resultados. Esse método é válido e suficiente no caso de apenas estarmos interessados em obter um valor final e a respectiva incerteza. No entanto, é possível obter muito mais informação se usarmos uma representação gráfica que mostre a evolução da grandeza ao longo do intervalo de parâmetros utilizados. Por exemplo, no cálculo de uma velocidade resultante da medição de diversos comprimentos \(x\) e os correspondentes tempos de percurso \(t\), a informação seria representada na forma de pontos num gráfico \((x,t)\). Esta abordagem tem várias vantagens:<br />
<br />
*A representação gráfica permite uma visualização clara da relação entre os parâmetros, facilitando a compreensão de como os dados se distribuem e comportam.<br />
*Ao utilizar todos os pares de medições, obtém-se uma análise mais robusta e representativa do comportamento global dos dados.<br />
*Através da [https://pt.wikipedia.org/wiki/Regress%C3%A3o_linear linha de regressão], pode-se identificar padrões ou tendências nos dados, confirmar modelos físicos, e atenuar o efeito de dados com ruído ou com erros.<br />
*Além disso, a regressão linear fornece automaticamente a incerteza associada ao cálculo da grandeza, permitindo uma avaliação mais completa da precisão do resultado.<br />
*O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br />
<br />
De uma forma mais sistemática deve usar-se o '''[https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados método dos mínimos quadrados]''', que consiste na determinação analítica de qual a recta \(y=a+b\cdot x_i\) que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples<ref>Se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais, ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos.</ref>, sendo \((x_i,y_i)\) as coordenadas dos \(N\) pontos pretende-se determinar \((a,b)\) tal que<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\chi^2=\sum_{i=0}^N\left(y_i-y\right)^2=\sum_{i=0}^N\left(y_i-a-b \cdot x_i\right)^2</math><br />
|}<br />
<br />
seja mínimo. As condições de estacionariedade desta função \(χ^2=F(a,b)\), dependente dos dois parâmetros \((a,b)\), podem ser descritas como \(\partial(χ^2)/\partial a=0,\partial(χ^2)/\partial b=0\) e \(\partial(χ^2)/\partial b^2=0\). As duas primeiras equações resultam em<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math><br />
\begin{aligned}<br />
& \sum_{i=0}^N\left(y_i-a-b x_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum y_i-N a-b \sum x_i=0 \\<br />
& \sum_{i=0}^N x_i\left(y_i-a-b x_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum x_i y_i-a \sum x_i-b \sum x_i^2=0<br />
\end{aligned}<br />
</math><br />
|}<br />
A resolução deste sistema de duas equações permite obter os valores de \(a\) e \(b\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>a=\frac{\left(\sum x_i\right)^2 \sum y_i-\sum x_i \sum x_i y_i}{N \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2} \quad b=\frac{N \sum x_i y_i-\sum x_i \sum y_i}{N \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2}</math><br />
|}<br />
<br />
A grande maioria dos programas de cálculo e as calculadoras científicas incorporam estas expressões para calcular os parâmetros de ajuste \(a\) e \(b\). Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g [https://www.originlab.com/ Origin] , [https://sites.google.com/tecnico.ulisboa.pt/fitteia Fitteia] ou [https://www.qtiplot.com/ Qtiplot] ) permitem também calcular as estimativas das incertezas \(u_a\) e \(u_b\).<br />
<br />
==Ajuste linear manual==<br />
É possível também obter um ajuste linear aproximado fazendo um traçado manual, com o rigor possível. Podemos usar como ponto de partida o ponto médio por onde passa a recta. Consideremos o sistema de duas equações acima; tomando a primeira e dividindo por \(N\),<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\frac{\sum y_i}{N}-a-b \frac{\sum x_i}{N}=0 \Leftrightarrow \bar{y}=a+b \bar{x}</math><br />
|}<br />
<br />
em que \(\bar{y}\) e \(\bar{x}\) são respectivamente as médias de cada um dos conjuntos de valores. Daqui conclui-se que a recta que corresponde ao melhor ajuste passa pelo ponto médio \((\bar{x},\bar{y})\). <br />
<br />
O passo seguinte consiste em traçar as rectas de maior \((y=a_1+b_1 x)\) e menor \((y=a_2+b_2 x)\) inclinação que, passando por este ponto, melhor se ajustam aos pontos medidos e suas incertezas. Por fim, a recta do melhor ajuste e o respectivo erro é obtida pela média desta duas rectas, de acordo com <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>a=\frac{a_1+a_2}{2} \quad \varepsilon_a=\frac{\left|a_1-a_2\right|}{2} \quad b=\frac{b_1+b_2}{2} \quad \varepsilon_b=\frac{\left|b_1-b_2\right|}{2}</math><br />
|}<br />
<br />
''Exemplo:'' Considere-se o conjunto de pontos da tabela abaixo e a sua representação no gráfico.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
| <br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
! \(x\) !! \(y\) !! \(\epsilon_y\)<br />
|-<br />
| 1 || 2,4 || 1,1<br />
|-<br />
| 2 || 5 || 0,5<br />
|-<br />
| 3 || 6 || 0,7<br />
|-<br />
| 4 || 7,7 || 0,8<br />
|-<br />
| 5 || 10,4 || 0,9<br />
|-<br />
| 6 || 10,5 || 1,5<br />
|-<br />
|colspan="3"|Ponto médio: \(\bar{x}=3,5; \bar{y}=7,0\)<br />
|} <br />
|| [[File:MM-Graph1.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Traçamos duas rectas que passem pelo ponto médio (3,5; 7,0) e que correspondam visualmente (e com bom senso) ao maior e menor declive que contenham os pontos da medição.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: left;"<br />
| <br />
<span style="color:#365B8C">Recta 1 (azul)</span>: <br/>\(y=1,4x+2,05\)<br/><br />
<span style="color:#EA4025">Recta 2 (verm.)</span>:<br/>\(y=2,0x-0,05\)<br />
|| [[File:MM-Graph2.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
Por fim, calculam-se os coeficientes da recta que bissecta estas duas, dados pelas expressões acima.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: left;"<br />
| <br />
Melhor ajuste:<br/><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
a &=\frac{2,05+(-0,05)}{2}=1,0\\<br />
ϵ_a &=\frac{|2,05-(-0,05)|}{2}=1,05\\<br />
b &=\frac{1,4+2}{2}=1,7\\<br />
ϵ_b &=\frac{|1,4-2}{2}=0,35<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br/><br />
<span style="color:#3E8D28">Recta final (verde):</span> <br/><br />
\(y=1,7x+1,0\)<br />
|| [[File:MM-Graph3.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
Como comparação, os valores calculados pelo método dos mínimos quadrados dão para a mesma recta o resultado \(y=1,67x+1,16\).<br />
<br />
==Qualidade do ajuste: desvio quadrático normalizado==<br />
Quando se realiza um ajuste linear do tipo <math>y = ax + b</math> aos dados experimentais \((x_i, y_i)\), é necessário avaliar se a recta obtida é compatível com as incertezas experimentais atribuídas aos pontos. Para esse efeito utiliza-se o desvio quadrático normalizado, também designado por estatística \(\chi^2\).<br />
Sendo \(y_i\) os valores medidos, \(Y_i\) os valores previstos pelo modelo ajustado e \(\sigma_i\) as incertezas associadas a cada medição, definem-se o desvio quadrático normalizado \(\chi^2\) e o desvio quadrático normalizado reduzido \(\chi^2_\nu\) por:<ref>Note-se que este conceito é diferente do método dos mínimos quadrados descrito mais acima: o desvio quadrático normalizado é a soma dos desvios quadráticos onde cada um é ponderado pela incerteza respectiva.</ref><br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\chi^2 = \sum_{i=1}^{N}\frac{\left(y_i - Y_i\right)^2}{\sigma_i^2} \quad\quad\quad\quad \chi_\nu^2=\frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<br />
onde \(N\) é o número total de pontos experimentais. O valor de \(\chi_\nu^2\) permite interpretar a qualidade do ajuste:<br />
<br />
* <math>\chi_\nu^2 \approx 1</math> → o modelo é compatível com os dados dentro das incertezas atribuídas;<br />
* <math>\chi_\nu^2 \gg 1</math> → as discrepâncias são maiores do que o esperado (modelo inadequado ou incertezas subestimadas);<br />
* <math>\chi_\nu^2 \ll 1</math> → as incertezas podem estar sobrestimadas.<br />
<br />
Assim, o desvio quadrático normalizado constitui um critério quantitativo para avaliar a consistência entre os dados experimentais, as incertezas estimadas e o modelo linear adoptado.<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' A tabela abaixo mostra o resultado da medição do período \(T\) de um pêndulo em função do seu comprimento \(L\), que foi variado entre 0,20 m e 1,10 m. Para pequenas amplitudes, o modelo teórico prevê que o quadrado do período do pêndulo é proporcional ao seu comprimento, <math> T^2 = aL </math> com <math> a = 4\pi^2/g. </math><br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
| <br />
{| class="wikitable"<br />
! style="text-align:right;" | L (m)<br />
! style="text-align:right;" | T (s)<br />
! style="text-align:right;" | σ<sub>T</sub> (s)<br />
! style="text-align:right;" | T<sup>2</sup> (s<sup>2</sup>)<br />
! style="text-align:right;" | σ<sub>T²</sub> (s<sup>2</sup>)<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,20<br />
| style="text-align:right;" | 0,9011<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 0,8121<br />
| style="text-align:right;" | 0,0144<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,30<br />
| style="text-align:right;" | 1,0928<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 1,1941<br />
| style="text-align:right;" | 0,0175<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,40<br />
| style="text-align:right;" | 1,2777<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 1,6326<br />
| style="text-align:right;" | 0,0204<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,50<br />
| style="text-align:right;" | 1,4155<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,0036<br />
| style="text-align:right;" | 0,0226<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,60<br />
| style="text-align:right;" | 1,5659<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,4520<br />
| style="text-align:right;" | 0,0251<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,70<br />
| style="text-align:right;" | 1,6704<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,7902<br />
| style="text-align:right;" | 0,0267<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,80<br />
| style="text-align:right;" | 1,7993<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 3,2374<br />
| style="text-align:right;" | 0,0288<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,90<br />
| style="text-align:right;" | 1,8921<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 3,5801<br />
| style="text-align:right;" | 0,0303<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 1,00<br />
| style="text-align:right;" | 2,0131<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 4,0524<br />
| style="text-align:right;" | 0,0322<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 1,10<br />
| style="text-align:right;" | 2,1000<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 4,4099<br />
| style="text-align:right;" | 0,0336<br />
|}<br />
|| [[File:Mill-graph1.png|thumb|center|upright=1]] Legenda 1<br />
|| [[File:Mill-graph2.png|thumb|center|upright=1]] Legenda 2<br />
|}<br />
<br />
Vamos supôr que se conhece, por exemplo, <math> a = 4,025\ \mathrm{s^2/m}. </math> O desvio quadrático normalizado é dado por:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math> \chi^2 = \sum_{i=1}^{N} \frac{(T_i^2 - aL_i)^2}{\sigma_{T_i^2}^2} = 8,744. </math><br />
|}<br />
Para \(N=10\) o desvio quadrático reduzido é<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math> \chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{10}=0,8744. </math><br />
|}<br />
Como <math> \chi^2_\nu \approx 1, </math> conclui-se que o modelo é compatível com os dados dentro das incertezas experimentais atribuídas.<br />
|}<br />
<br />
=Bibliografia=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=p1pybe5wQQk Vídeos de apoio LIFE: Precisão e incerteza]<br />
*John R. Taylor, ''An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements'', University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br />
*V. Thomsen, Precision and The Terminology of Measurement. ''The Physics Teacher'' Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.<br />
*Ifan Hughes and Thomas Hase, ''Measurements and their Uncertainties: A practical guide to modern error analysis'', Oxford University Press (July 1, 2010)<br />
<br />
=Notas=</div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Ficheiro:Mill-graph2.png&diff=6326Ficheiro:Mill-graph2.png2026-02-12T15:27:27Z<p>Ist23437: </p>
<hr />
<div></div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Ficheiro:Mill-graph1.png&diff=6325Ficheiro:Mill-graph1.png2026-02-12T15:04:27Z<p>Ist23437: </p>
<hr />
<div></div>Ist23437http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Erros_e_incertezas_experimentais&diff=6324Erros e incertezas experimentais2026-02-12T15:04:05Z<p>Ist23437: /* Qualidade do ajuste: desvio quadrático normalizado */</p>
<hr />
<div>{|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"<br />
| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.<br />
|}<br />
<br />
=Grandezas físicas=<br />
Um dos principais objectivos da Física Experimental consiste na medição quantitativa de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Grandeza_f%C3%ADsica grandezas físicas]. A palavra ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Medi%C3%A7%C3%A3o medição]'' designa o acto de medir, do qual resulta uma ''medida'' (ou mais do que uma, no caso de se repetir o processo). É fundamental classificar os principais tipos de grandezas encontradas:<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
|+ Tipos de grandezas físicas<br />
| style="width: 15%"| '''Directas''' || São aquelas cujo valor se obtém com uma medição, não sendo necessário envolver os valores de outras grandezas físicas. Exemplos:<br />
*comprimento \(L\)<br />
*tempo \(t\)<br />
*temperatura \(T\)<br />
*massa \(m\)<br />
|-<br />
| '''Indirectas''' || São aquelas que envolvem a medição de duas ou mais grandezas, que por sua vez podem ser directas (D) ou indirectas (I). Exemplos:<br />
*velocidade (escalar) \(v\) - envolve comprimento (D) e tempo (D)<br />
*área \(A\) - envolve comprimento (D) e largura (D)<br />
*densidade \(\rho\) - envolve massa (D) e volume (I)<br />
<br />
|-<br />
| '''Escalares''' || São caracterizadas por um número e pela unidade de medida que a define. Exemplos:<br />
*temperatura \(T\) (K)<br />
*tempo \(t\) (s)<br />
*massa \(m\) (kg)<br />
|-<br />
| '''Vectoriais''' || Além de um número e uma unidade de medida, é necessário também saber a direção e o sentido destas grandezas. Exemplos:<br />
*posição espacial \(\vec{r}\) (m)<br />
*velocidade \(\vec{v}\) (m/s)<br />
*força \(\vec{F}\) (N)<br />
|}<br />
<br />
=Definições fundamentais=<br />
<br />
==Incerteza==<br />
Em física experimental, um dos conceitos mais importantes é a [https://pt.wikipedia.org/wiki/Incerteza_de_medi%C3%A7%C3%A3o incerteza] de uma medição. A incerteza é uma expressão quantitativa da dúvida que existe na medição, reflectindo aspectos como os limites dos instrumentos e dos métodos experimentais. Em qualquer resultado experimental é indispensável indicar a incerteza associada, uma vez que esta mede a fiabilidade dos resultados e permite comparar medições. Assim, contabilizar correctamente as incertezas é essencial para garantir a validade das conclusões tiradas a partir dos dados experimentais.<br />
<br />
==Precisão e exactidão==<br />
Na linguagem coloquial os termos [https://pt.wikipedia.org/wiki/Precis%C3%A3o precisão] e [https://pt.wikipedia.org/wiki/Exatid%C3%A3o exactidão] <ref>em inglês, ''precision'' e ''accuracy''.</ref> usam-se como sinónimos, mas no método científico experimental traduzem conceitos muito diferentes. Pode existir uma medida '''exacta e não precisa''', ou outra '''precisa mas não exacta''' (ver ilustração). O grande mérito de um experimentalista será obter simultaneamente a melhor precisão e a melhor exactidão possíveis.<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
|<br />
*A '''precisão''' de uma medição é o grau da concordância entre determinações repetidas: está relacionado com a ''variação'' das sucessivas medidas <br />
<br />
*A '''exactidão''' é tanto maior quanto menor for a distância entre a medida (ou a média de determinações repetidas) e um valor “verdadeiro”, “nominal”, “tomado como referência” ou “aceite”. <br />
<br />
*O '''erro experimental''' ou incerteza da medida é precisamente esse desvio, a distância, entre o valor aceite e o valor da medida.<br />
|-<br />
| <br />
[[File:Exactidao-precisao.png|thumb|center|upright=1.5]]<br />
|}<br />
<br />
Numa actividade experimental, em regra geral, o valor verdadeiro das grandezas físicas não é conhecido ''a priori'', pelo que naturalmente também não é possível calcular o valor do [https://pt.wikipedia.org/wiki/Erro_observacional erro experimental]. Nas actividades laboratoriais de LIFE existem algumas excepções em que este valor “verdadeiro/referência” é conhecido com grande precisão/exactidão (e.g Exp. Thomson, Exp. Millikan, Velocidade da Luz, etc). Outras há em que não se conhece o valor verdadeiro (e.g. carga de uma gota de óleo electrizada, temperatura da sala, índice de refração de um material transparente, etc).<br />
<br />
==Erros sistemáticos e aleatórios==<br />
As fontes para a incerteza experimental podem ser muito variadas, mas podem ser classificadas dois tipos principais: os [https://pt.wikipedia.org/wiki/Erro_observacional erros] de natureza sistemática e os de natureza aleatória. Note-se que em física experimental um ''erro'' não significa um engano ou uma falsidade, mas sim a diferença entre um valor medido para uma grandeza e o seu valor "verdadeiro".<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
! Erros sistemáticos !! Erros aleatórios<br />
|-<br />
| style="width: 50%"|<br />
*Conduzem em geral a valores sistematicamente desviados (para valores superiores ou inferiores) do valor da grandeza a medir, contribuindo para uma '''menor exactidão'''. <br />
*Podem ser originados por <br />
**más condições de calibração dos instrumentos de medida<br />
**o uso destes instrumentos em condições diferentes das que são recomendadas<br />
**leituras sistematicamente incorrectas do observador (e.g. paralaxe)<br />
**utilização de um método físico que não é adequado à descrição da experiência. <br />
*Devem ser corrigidos e minimizados sempre que possível. <br />
*Só a comparação dos resultados obtidos com outros instrumentos de referência (calibração) pode elucidar se esses erros foram suficientemente reduzidos.<br />
|| <br />
*Resultam das flutuações aleatórias que se observam nos resultados obtidos para diferentes leituras, contribuindo para uma '''menor precisão'''. <br />
*Podem ser originados por<br />
**falta de sensibilidade dos instrumentos e do observador<br />
**leituras incorrectas (mas não sistemáticas)<br />
**ruído (vibrações mecânicas ou eléctricas)<br />
**processos estatísticos intrínsecos ao fenómeno observado (por exemplo declínio radioactivo). <br />
*A análise estatística das flutuações está fora do âmbito da LIFE, mas importa referir que, habitualmente, considera-se o valor médio dos erros aleatórios como zero. Isto é importante pois, ao repetirem-se as medições e fazendo a média aos \(N\) resultados, os erros aleatórios compensam-se, reduzindo-se assim a contribuição aleatória.<br />
*Os erros aleatórios podem e devem ser sempre caracterizados, mas dado o seu carácter estocástico, não podem ser eliminados totalmente, pelo que qualquer medição tem associada uma incerteza experimental.<br />
|}<br />
<br />
Em conclusão, podemos resumir todos estes conceitos nestes pontos:<br />
#Toda a medição experimental é sujeita a um erro experimental. Só por grande coincidência o valor numérico obtido pela medição é igual ao valor verdadeiro da grandeza.<br />
#Antes da experiência, devemos identificar e corrigir os erros sistemáticos de todas as grandezas directas e das constantes utilizadas, de modo a minimizar os erros sistemáticos e aumentar a exactidão. No final, a comparação do valor médio obtido com o valor da mesma grandeza tabelado, nas mesmas condições físicas (ou proveniente de outras experiências), permite estimar o '''desvio à exactidão''' do valor obtido, que pode ser estimado em percentagem como<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\mathrm{desvio}(\%)=\left|\frac{\text { valor }_{\text {conhecido }}-\text { valor }_{\text {medido }}}{\text { valor }_{\text {conhecido }}}\right| \cdot 100</math><br />
|}<br />
#<li value="3">Porque existem sempre erros aleatórios, toda a medição é afectada de uma incerteza, que indica o grau de precisão. Obrigatoriamente em todos os resultados tem de se apresentar sempre o '''valor mais provável''' da grandeza, mais a respectiva estimativa numérica da incerteza. Exemplo: \(v_{\mathrm{som(ar)}} =\) 343.5 ± 0.6 m/s</li><br />
#Quando se calculam grandezas indirectas a partir das medições directas, utilizando as equações físicas, as incertezas '''propagam-se''', gerando uma incerteza do resultado final.<br />
Veremos nas próximas secções como se pode, de uma forma simplificada, calcular e representar os valores mais prováveis para as grandezas directas e indirectas e as respectivas incertezas.<br />
<br />
==Resolução e sensibilidade==<br />
A '''resolução''' de um instrumento de medição é o menor intervalo mensurável com esse instrumento. É uma característica do seu desempenho em termos de qual o menor detalhe ou mudança que o instrumento consegue detectar. Por exemplo, na linguagem comum emprega-se o termo "resolução de um écran" para designar o nível de detalhe com que um aparelho reproduz imagens digitais. Em física experimental a resolução é estimada tendo em conta a menor escala ou algarismo exibido pelo instrumento e varia consoante este seja analógico ou digital:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="background-color:#ffddbb;"<br />
| '''Instrumentos analógicos''' || Considera-se que a resolução é '''metade da menor escala''' do instrumento. <br/><br />
''Exemplo:'' um voltímetro com uma escala graduada com divisões de 1 V tem uma resolução de 0,5 V, uma vez que a olho nu é possível perceber se uma dada medida está mais próxima de um traço (por exemplo, 10,0 V) ou do ponto médio entre dois traços (por exemplo 9,5 V).<br />
|[[File:MD-volt-analog.png|thumb|upright=0.5|A resolução desta escala analógica é 0,5 V.]]<br />
|-<br />
| '''Instrumentos digitais''' || Considera-se que a resolução corresponde '''à útima casa decimal''' exibida pelo instrumento, uma vez que essa é a incerteza sobre qual o arrendondamento que foi feito. <br/><br />
''Exemplo:'' Um voltímetro digital que mostre uma leitura de 12,6 V pode corresponder a um valor real contido entre 12,55 V e 12,65 V, pelo que a resolução é 0,1 V<br />
|[[File:MD-volt-digital.png|thumb|upright=0.5|A resolução desta escala digital é 0,1 V.]]<br />
|}<br />
<br />
Por regra, a '''incerteza de uma medida (única) realizada com um instrumento é igual à sua resolução'''. No entanto, se a leitura do instrumento não permanecer constante – por exemplo, se a agulha de um voltímetro digital oscilar ou se os dígitos de um voltímetro digital variarem – a regra já não é válida e a incerteza deve ser estimada, usando bom senso, a partir do intervalo de variação.<br />
<br />
A '''sensibilidade''', por outro lado, é uma indicação do mínimo sinal detectável pelo instrumento, isto é, qual o valor mínimo que é necessário atingir para que uma leitura seja registada. Por exemplo, qual a menor massa que é necessário colocar no prato de uma balança para que esta registe o seu peso? Esse valor é a sua ''sensibilidade''. Qual a menor divisão da escala da balança? Esse valor é a sua ''resolução''.<br />
<br />
=Valor médio e incerteza nas medições experimentais=<br />
Normalmente, numa medição não se adquire apenas uma única medida de uma dada grandeza, mas sim um dado número \(N\) que pode ser pequeno ou grande, consoante a importância de se conhecer o valor da grandeza com boa precisão e/ou exactidão. Tomando o valor médio de um conjunto de medidas, o efeito dos erros aleatórios pode ser atenuado, uma vez que os desvios de sinal oposto irão cancelar-se. No entanto, o efeito dos erros sistemáticos não é afectado pelo número de medições, permanencendo constantes. Para corrigir estes erros é preciso investigar as suas causas e corrigi-las.<br />
<br />
==Valor médio==<br />
A repetição de uma medição da variável \(x\) nas mesmas condições experimentais conduz a uma distribuição aleatória de resultados em torno de um '''valor médio''' \(\bar{x}\) ([https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia média aritmética]), que pode ser considerado como o '''melhor valor''' obtido nesta medida. Por exemplo, para \(N\) medidas \(x_1,x_2,...\) da grandeza \(x\) temos<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N}=\frac{\sum_i x_i}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Valor médio)<br />
|}<br />
<br />
Num grande número de situações, esta repetição realizada \(N\) vezes nas mesmas condições experimentais conduz a um valor médio que se aproxima do “verdadeiro” valor da grandeza à medida que \(N\) aumenta. Para o cálculo da incerteza associada a esse valor médio devemos distinguir se se trata de uma grandeza directa ou indirecta.<br />
<br />
==Grandezas directas: determinação da incerteza==<br />
Devemos distinguir duas situações, dependendo do valor de \(N\):<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
| '''\(N\) pequeno'''<br/>\((1<N<10)\) || <br />
Para um número reduzido de medições, a incerteza deve ser estimada usando um majorante \(\Delta x\), que será o ''maior desvio em relação ao valor médio''. Define-se o desvio de cada medida individual \(x_i\) como a diferença absoluta \(\Delta x_i=|\bar{x}-x_i|\), pelo que a incerteza da medição é<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta x=\max|\bar{x}-x_i|</math>|| Majorante dos desvios<br />
|}<br />
<br />
O resultado final neste caso pode apresentar-se numa das seguintes formas:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm\Delta x</math>|| Resultado final, incerteza absoluta<br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm\Delta x/\bar{x}</math>|| Resultado final, incerteza relativa<br />
|}<br />
<br />
No caso da incerteza relativa, o resultado é expresso em percentagem. <br />
'''Importante''': se a incerteza calculada por este método for menor do que a incerteza intrínseca do instrumento (e.g. resolução da escala), a estimativa deve ser substituída por esta última.<br />
<br />
|-<br />
| '''\(N\) grande''' <br/>\((N\gg 10)\) || <br />
No caso de se dispôr de um número elevado de medidas é mais adequado empregar métodos estatísticos. Pode calcular-se o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o desvio padrão] \(s\), que exprime a dispersão dos resultados:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>s=\sqrt{\frac{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N-1}}</math>|| \(\quad\quad\) (Desvio padrão)<br />
|}<br />
<br />
O melhor valor para a '''incerteza do valor médio''' \(u\), é dado pelo '''desvio padrão da média''', \(u=s/\sqrt{N}\), também chamado '''erro padrão''' ou '''erro padrão da média''':<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>u=\sqrt{\frac{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{N(N-1)}}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
O resultado final neste caso (para um número elevado de determinações nas mesmas condições experimentais) deve apresentar-se como: <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#ccffcc;" |<math>\bar{x}\pm u</math>|| \(\quad\quad\) (Apresentação de resultado final)<br />
|}<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
| <br />
''Exemplo.'' Nos trabalhos experimentais de LIFE tipicamente lida-se com um número pequeno de medições \((1<N<10)\), efectuadas manualmente. Considere-se o seguinte conjunto de cinco medidas de uma dada grandeza:<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center;"<br />
! # !! \(t\,[\mathrm{s}]\,(±0,1\,\mathrm{s})\) !! \(\bar{t}\,[\mathrm{s}]\) !! \(\Delta t_i\,[\mathrm{s}]\)<br />
|-<br />
| 1 || \(31,0\) || rowspan="5" | \(31,4\) || |\(|31,4-31,0|=0,4\)<br />
|-<br />
| 2 || \(31,8\) || |\(|31,4-31,8|=0,4\)<br />
|-<br />
| 3 || \(30,6\) || |\(|31,4-30,6|=0,8\)<br />
|-<br />
| 4 || \(32,2\) || |\(|31,4-32,2|=0,8\)<br />
|-<br />
| 5 || \(31,4\) || |\(|31,4-31,4|=0,0\)<br />
|}<br />
<br />
O maior dos desvios é 0,8 s, pelo que o resultado deve ser apresentado na forma<br />
<br />
*<math> t=31,4\pm 0,8\,\mathrm{s}</math> (incerteza absoluta)<br />
*<math> t=31,4\,\mathrm{s}\pm 2,6\%</math> (incerteza relativa)|}<br />
|}<br />
<br />
==Grandezas indirectas: determinação da incerteza==<br />
Para uma grandeza indirecta \(F(X,Y,Z,…)\) sendo \(X,Y,Z,…\) grandezas medidas directas, com incertezas que foram estimadas pelas equações acima como sendo \(u_X , u_Y, u_Z\) pode estimar-se a incerteza \(u_F\) da grandeza \(F\) a partir das respectivas ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial derivadas parciais]'':<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>u_F=\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial X} u_X\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial Y} u_Y\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial Z} u_Z\right)^2 \cdots}</math><br />
|}<br />
<br />
Quando não é possível fazer uma análise estatística \((1<N<4)\), um majorante do erro da grandeza indirecta \(\Delta F\) é calculável a partir de<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta F=\left|\frac{\partial F}{\partial X}\right| \Delta X+\left|\frac{\partial F}{\partial Y}\right| \Delta Y+\left|\frac{\partial F}{\partial Z}\right| \Delta Z</math><br />
|}<br />
<br />
onde \(\Delta X,\Delta Y,\Delta Z\), são as incertezas estimadas através dos majorantes dos erros das variáveis correspondentes. Caso estas incertezas sejam relevantes, as derivadas deverão ser calculadas ''por majoração''.<br />
<br />
''Caso particular:'' para uma função racional (por ex. \(F(X,Y,Z)=cte∙X^a Y^b Z^c\), com \(a,b,c\) inteiros) o majorante do erro relativo pode ser dado simplesmente pela soma dos majorantes dos erros relativos das variáveis multiplicados pelos expoentes em valor absoluto:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta F/F=|a|\cdot\frac{\Delta X}{X}+|b|\cdot\frac{\Delta Y}{Y}+|c|\cdot\frac{\Delta Z}{Z}</math><br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
| <br />
''Exemplo.'' Consideremos a velocidade escalar \(v=x/t\). É uma grandeza indirecta cujo medição envolve a medição das grandezas directas ''comprimento'' \(\bar{x}\pm\Delta x\) e ''tempo'' \(\bar{t}\pm\Delta t\). Para calcular a incerteza associada à velocidade, calculamos as respectivas derivadas parciais:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\left|\frac{\partial v}{\partial x}\right|=\frac{1}{t}\quad\quad\left|\frac{\partial v}{\partial t}\right|=\frac{x}{t^2}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
A majoração das derivadas faz-se calculando os seus valores na "pior" (maior valor numérico) situação, ou seja, maximizando os numeradores e minimizando os denominadores: <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\left|\frac{\partial v}{\partial x}\right|_\mathrm{maj}=\frac{1}{t-\Delta t}\quad\quad\left|\frac{\partial v}{\partial t}\right|_\mathrm{maj}=\frac{x+\Delta x}{(t-\Delta t)^2}<br />
</math><br />
|}<br />
<br />
Para um número pequeno de medições obtemos a expressão para a incerteza do valor médio,<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta v=\frac{1}{t-\Delta t} \Delta x+\frac{x+\Delta x}{(t-\Delta t)^2} \Delta t</math><br />
|}<br />
<br />
Usando o "método expresso" do caso particular, uma vez que \(v=x^1t^{-1}\) podemos escrever<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta t}{t}\rightarrow\Delta v=\frac{\Delta x}{t}+\frac{x\Delta t}{t^2}<br />
</math><br />
|}<br />
Majorando os quocientes, voltamos a obter a expressão calculada explicitamente pelas derivadas parciais. Assim, este método é muito mais prático e rápido.<br />
<br />
Aplicando a valores concretos, suponhamos que a tabela usada no exemplo anterior lista os tempos medidos para a duração de um percurso \(\bar{x}=10,0±0,1\,\mathrm{mm}\), com duração média \(\bar{t}=31,4±0,8\,\mathrm{s}\). A tabela abaixo indica as velocidades e respectivas incertezas, calculadas usando o método de propagação de incertezas.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center;margin: auto;"<br />
! # !! \(t/\mathrm{s}\,(±0,1\,\mathrm{s})\) !! \(v/(\mathrm{mm/s})\) !! \(\bar{v}/(\mathrm{mm/s})\) !! \(\Delta\bar{v}/(\mathrm{mm/s})\)<br />
|-<br />
| 1 || \(31,0\) || \(0,318\) || rowspan="5"| \(0,318\) || rowspan="5"| <math>\frac{1}{31,4-0,8}\times 0,1+\frac{10+0,1}{(31,4-0,8)^2}\times 0,8=0,012</math><br />
<br />
|-<br />
| 2 || \(31,8\) || \(0,314\)<br />
|-<br />
| 3 || \(30,6\) || \(0,327\)<br />
|-<br />
| 4 || \(32,2\) || \(0,311\)<br />
|-<br />
| 5 || \(31,4\) || \(0,311\)<br />
|}<br />
Usando a regra (ver [[Erros_e_incertezas_experimentais#Representa.C3.A7.C3.A3o_de_resultados_da_medi.C3.A7.C3.A3o_de_grandezas|Representação de resultados]] mais abaixo) de apresentar o resultado final em unidades SI e com dois algarismos significativos na incerteza, temos<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>v=0,318±0,012\,\mathrm{mm}=(3,18±0,12)\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m}</math><br />
|}<br />
<br />
|}<br />
<br />
==Combinação de resultados==<br />
As situações descritas acima aplicam-se no caso de medições repetidas ''usando os mesmos parâmetros''. No entanto, em muitas ocasiões pretende-se determinar o valor de uma dada grandeza física que é medida ''usando diferentes parâmetros'', como forma de aumentar a gama de observações e minimizar as incertezas. Por exemplo, constantes físicas (velocidade da luz no vácuo, carga do electrão, constante de Planck, etc) ou propriedades materiais (índice de refracção de um vidro, etc) ou de um sistema físico (período de oscilação de um pêndulo, etc) podem ser medidas usando diferentes parâmetros experimentais: diferentes valores de tensão, corrente, comprimento, ângulo, etc. <br />
<br />
Neste casos, o último passo consiste em combinar os resultados obtidos no conjunto de medições na forma de um "valor final" (e respectiva incerteza) para a experiência. Este processo pode ser feito através da [https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica média simples] ou da [https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica média ponderada].<br />
<br />
===Média simples===<br />
Tendo os resultados de \(N\) medições na forma \(x_1±\Delta x_1,x_2±\Delta x_2,…x_N±\Delta x_N\), no caso de as incertezas \(\Delta x_1, … \Delta x_N\) serem comparáveis podemos usar a média simples,<ref>Esta definição é idêntica à usada no cálculo do valor médio de uma grandeza directa.</ref><br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N}=\frac{\sum_i x_i}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Média simples)<br />
|}<br />
<br />
A incerteza do valor médio é dada pela regra de propagação de incertezas para medições independentes:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta\bar{x}=\frac{\sqrt{\Delta x_1^2+\Delta x_2^2+...+\Delta x_N^2}}{N}=\frac{\sqrt{\sum_i \Delta x_i^2}}{N}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' Considere-se o seguinte conjunto de medições: <math>x_1=1,0±0,1; x_2=1,1±0,2; x_3=1,2±0,2</math>. Como as incertezas são comparáveis, podemos aplicar as expressões acima e obter o valor da média simples e a sua incerteza:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\bar{x}=\frac{1,0+1,1+1,2}{3}=1,1</math><br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta\bar{x}=\frac{\sqrt{0,1^2+0,2^2+0,2^2}}{3}=0,1</math><br />
|}<br />
O resultado final é apresentado na forma \(x=1,1±0,1\)<br />
|}<br />
<br />
===Média ponderada===<br />
No caso de as incertezas \(\Delta x_1, … \Delta x_N\) serem significativamente diferentes deverá ter-se esse facto em consideração no cálculo do valor final; isto é, uma medição com uma incerteza pequena deverá ter mais peso no resultado final do que uma medição com uma incerteza grande. Nestes casos usamos a média ponderada, em que o peso de cada contribuição é dado por \(w_i=1/\Delta x_i^2\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\bar{x}=\frac{x_1 w_1+x_2 w_2+...+x_N w_N}{w_1+w_2+…+w_N}=\frac{\sum_i x_iw_i}{\sum_i w_i}</math>|| \(\quad\quad\) (Média ponderada)<br />
|}<br />
<br />
A incerteza do valor médio é dada pelo inverso da soma dos pesos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\Delta\bar{x}=\sqrt{\frac{1}{w_1+w_2+…+w_N}}=\sqrt{\frac{1}{\sum_i w_i}}</math>|| \(\quad\quad\) (Incerteza do valor médio)<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' Considere-se o mesmo conjunto de medições do exemplo acima. Comecemos por calcular os pesos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>w_1=\frac{1}{0,1^2}=100\quad\quad w_2=\frac{1}{0,2^2}=25\quad\quad w_3=\frac{1}{0,3^2}=25</math><br />
|}<br />
<br />
Assim, o resultado cujo incerteza é metade das outras tem um peso quatro vezes superior. Aplicando as expressões acima para a média ponderada obtemos:<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\bar{x}=\frac{1,0\times 100+1,1\times 25+1,2\times 25}{100+25+25}=1,05</math><br />
|}<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math>\Delta\bar{x}=\sqrt{\frac{1}{100+25+25}}≈0,08</math><br />
|}<br />
O resultado final é apresentado na forma \(x=1,05±0,08\)<br />
<br />
|}<br />
<br />
=Representação de resultados da medição de grandezas=<br />
Regras fundamentais: <br />
*O resultado de qualquer medição deve ser apresentado na seguinte forma:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<u>valor mais provável</u> <math>\pm</math> <u>incerteza</u> <u>unidades físicas</u><br />
|}<br />
*Como normalmente o valor da incerteza é determinado aproximadamente, em regra deverá ser indicado apenas com um ou dois [https://pt.wikipedia.org/wiki/Algarismo_significativo algarismos significativos]. ''Exemplo:'' 0,2 ou 0,21 é correcto, mas 0,213 não é.<br />
*Por sua vez, o valor mais provável deve usar as mesmas casas decimais, arredondando-se o algarismo mais à direita. ''Exemplo:'' \(x=2,25±0,15\, \mathrm{m}\) é uma representação correcta, mas \(x=2,255±0,15\, \mathrm{m}\) não é.<br />
*O uso de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3o_cient%C3%ADfica notação científica] facilita o seguimento das regras acima e evita ambiguidades. Exemplo: em vez de apresentar o resultado na forma \(x=2346±14\,\mathrm{m}\), deve-se apresentar na forma \(x=(2,35\pm0,01)\times 10^2\,\mathrm{m}\)<br />
*Para as unidades físicas deverá usar-se o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades Sistema Internacional de Unidades]. As unidades são apresentadas em tipo de letra romano (isto é, nem itálico, nem negrito) e separadas dos valores numéricos por um espaço. ''Exemplo:'' \(x=(2,35\pm0,01)\times 10^2m\) apresenta os dois tipos de erros a evitar.<br />
* Para o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Separador_decimal separador decimal], apesar de em Portugal vigorar o uso da vírgula (,) também é aceitável utilizar o ponto (.).<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
| Bons exemplos || \(R = 0.185\pm 0.030\, \mathrm{m}\)<br />
<br />
\(Temp = 297.0\pm 0.5\,\mathrm{K}\)<br />
<br />
\(v = 344.3\pm 0.4 \,\mathrm{m\cdot s}^{-1}\)<br />
<br />
\(B = (5.92\pm 0.08)\times10^{-4}\,\mathrm{ T}\)<br />
<br />
\(q/m = (1.77\pm 0.07)\times10^{11}\,\mathrm{ C\cdot kg}^{-1}\)<br />
<br />
\(e = 0.050\pm 0.001 \,\mathrm{mm}\) ou \(e=50\pm 1 \,\mathrm{m}\)<br />
|-<br />
| Maus exemplos || \(B = (5.9297887668888668898\pm 0.08) 10^{-4} \,\mathrm{ T}\)<br />
<br />
\(Temp = 297\pm 0.0005\)<br />
<br />
\(q/m = (1.8\pm 0.07789) 10^{11}\,\mathrm{ C\cdot kg}^{-1}\)<br />
|}<br />
<br />
<br />
=Algarismos significativos=<br />
Com excepção do caso em que todos os números envolvidos são inteiros, não é possível representar o valor de uma grandeza com exactidão ilimitada. Diz-se que uma representação de um número tem \(n\) algarismos significativos quando se admite um erro na casa decimal seguinte. Por exemplo:<br />
<br />
*1/7 = 0,<span style="color:#0000FF">14</span> tem dois algarismos significativos<br />
*1/30 = 0,0<span style="color:#0000FF">333</span> tem três algarismos significativos<br />
<br />
Note-se que a posição da vírgula não afecta o número de a.s.<br />
<br />
==Regras==<br />
*Algarismos zero à esquerda não contam para o total de a.s. – exemplo: 0,000<span style="color:#0000FF">44</span> ( 2 a.s.)<br />
*Algarismos zero à direita contam para o total de a.s. – exemplo: <span style="color:#0000FF">12,00</span> (4 a.s.)<br />
*Algarismos 1–9 e zeros entre eles são sempre a.s. – exemplo: <span style="color:#0000FF">1203,4</span> (5 a.s.)<br />
*Potências de dez são ambíguas, e devem ser representadas usando notação decimal – exemplo: 800 é ambíguo, <span style="color:#0000FF">8,00</span>\(\times\)10\(^2\) é correcto (3 a.s.)<br />
*As constantes têm um número arbitrário de a.s.<br />
<br />
==Soma e subtracção==<br />
O resultado deve manter o número de casas decimais do operando com o ''menor número de casas decimais''<br />
<br />
''Exemplo:'' <span style="color:#0000FF">105,4</span>+0,2869+34,27 = 139,9569 = <span style="color:#0000FF">140,0</span>=1,400\(\times\)10\(^2\)<br />
<br />
==Multiplicação e divisão==<br />
O resultado deve manter o mesmo número de algarismos significativos do operando com o ''menor número de algarismos significativos''.<br />
<br />
''Exemplo:'' 7,325\(\times\)<span style="color:#0000FF">8,14</span> = <span style="color:#0000FF">59,6</span>255 = <span style="color:#0000FF">59,6</span><br />
<br />
==Raízes quadradas==<br />
O número de a.s. é igual ao de partida.<br />
<br />
''Exemplo:'' √<span style="color:#0000FF">92</span> = 9,59166 = <span style="color:#0000FF">9,6</span><br />
<br />
=Incertezas nas representações gráficas: ajuste linear=<br />
Já vimos que no caso de medições obtidas com parâmetros diferentes se devem empregar as regras de combinação de resultados. Esse método é válido e suficiente no caso de apenas estarmos interessados em obter um valor final e a respectiva incerteza. No entanto, é possível obter muito mais informação se usarmos uma representação gráfica que mostre a evolução da grandeza ao longo do intervalo de parâmetros utilizados. Por exemplo, no cálculo de uma velocidade resultante da medição de diversos comprimentos \(x\) e os correspondentes tempos de percurso \(t\), a informação seria representada na forma de pontos num gráfico \((x,t)\). Esta abordagem tem várias vantagens:<br />
<br />
*A representação gráfica permite uma visualização clara da relação entre os parâmetros, facilitando a compreensão de como os dados se distribuem e comportam.<br />
*Ao utilizar todos os pares de medições, obtém-se uma análise mais robusta e representativa do comportamento global dos dados.<br />
*Através da [https://pt.wikipedia.org/wiki/Regress%C3%A3o_linear linha de regressão], pode-se identificar padrões ou tendências nos dados, confirmar modelos físicos, e atenuar o efeito de dados com ruído ou com erros.<br />
*Além disso, a regressão linear fornece automaticamente a incerteza associada ao cálculo da grandeza, permitindo uma avaliação mais completa da precisão do resultado.<br />
*O ajuste é particularmente simples se se tratar de uma lei linear, onde se pode fazer um ajuste visual. <br />
<br />
De uma forma mais sistemática deve usar-se o '''[https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados método dos mínimos quadrados]''', que consiste na determinação analítica de qual a recta \(y=a+b\cdot x_i\) que se desvia o menos possível do conjunto de pontos experimentais. Na sua forma mais simples<ref>Se não se considerarem as incertezas nos pontos experimentais, ou se estas forem da mesma ordem de grandeza para todos os pontos.</ref>, sendo \((x_i,y_i)\) as coordenadas dos \(N\) pontos pretende-se determinar \((a,b)\) tal que<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\chi^2=\sum_{i=0}^N\left(y_i-y\right)^2=\sum_{i=0}^N\left(y_i-a-b \cdot x_i\right)^2</math><br />
|}<br />
<br />
seja mínimo. As condições de estacionariedade desta função \(χ^2=F(a,b)\), dependente dos dois parâmetros \((a,b)\), podem ser descritas como \(\partial(χ^2)/\partial a=0,\partial(χ^2)/\partial b=0\) e \(\partial(χ^2)/\partial b^2=0\). As duas primeiras equações resultam em<br />
<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math><br />
\begin{aligned}<br />
& \sum_{i=0}^N\left(y_i-a-b x_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum y_i-N a-b \sum x_i=0 \\<br />
& \sum_{i=0}^N x_i\left(y_i-a-b x_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum x_i y_i-a \sum x_i-b \sum x_i^2=0<br />
\end{aligned}<br />
</math><br />
|}<br />
A resolução deste sistema de duas equações permite obter os valores de \(a\) e \(b\):<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>a=\frac{\left(\sum x_i\right)^2 \sum y_i-\sum x_i \sum x_i y_i}{N \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2} \quad b=\frac{N \sum x_i y_i-\sum x_i \sum y_i}{N \sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2}</math><br />
|}<br />
<br />
A grande maioria dos programas de cálculo e as calculadoras científicas incorporam estas expressões para calcular os parâmetros de ajuste \(a\) e \(b\). Apenas os programas mais avançados para gráficos e análise de dados científicos (e.g [https://www.originlab.com/ Origin] , [https://sites.google.com/tecnico.ulisboa.pt/fitteia Fitteia] ou [https://www.qtiplot.com/ Qtiplot] ) permitem também calcular as estimativas das incertezas \(u_a\) e \(u_b\).<br />
<br />
==Ajuste linear manual==<br />
É possível também obter um ajuste linear aproximado fazendo um traçado manual, com o rigor possível. Podemos usar como ponto de partida o ponto médio por onde passa a recta. Consideremos o sistema de duas equações acima; tomando a primeira e dividindo por \(N\),<br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\frac{\sum y_i}{N}-a-b \frac{\sum x_i}{N}=0 \Leftrightarrow \bar{y}=a+b \bar{x}</math><br />
|}<br />
<br />
em que \(\bar{y}\) e \(\bar{x}\) são respectivamente as médias de cada um dos conjuntos de valores. Daqui conclui-se que a recta que corresponde ao melhor ajuste passa pelo ponto médio \((\bar{x},\bar{y})\). <br />
<br />
O passo seguinte consiste em traçar as rectas de maior \((y=a_1+b_1 x)\) e menor \((y=a_2+b_2 x)\) inclinação que, passando por este ponto, melhor se ajustam aos pontos medidos e suas incertezas. Por fim, a recta do melhor ajuste e o respectivo erro é obtida pela média desta duas rectas, de acordo com <br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>a=\frac{a_1+a_2}{2} \quad \varepsilon_a=\frac{\left|a_1-a_2\right|}{2} \quad b=\frac{b_1+b_2}{2} \quad \varepsilon_b=\frac{\left|b_1-b_2\right|}{2}</math><br />
|}<br />
<br />
''Exemplo:'' Considere-se o conjunto de pontos da tabela abaixo e a sua representação no gráfico.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
| <br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
! \(x\) !! \(y\) !! \(\epsilon_y\)<br />
|-<br />
| 1 || 2,4 || 1,1<br />
|-<br />
| 2 || 5 || 0,5<br />
|-<br />
| 3 || 6 || 0,7<br />
|-<br />
| 4 || 7,7 || 0,8<br />
|-<br />
| 5 || 10,4 || 0,9<br />
|-<br />
| 6 || 10,5 || 1,5<br />
|-<br />
|colspan="3"|Ponto médio: \(\bar{x}=3,5; \bar{y}=7,0\)<br />
|} <br />
|| [[File:MM-Graph1.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
<br />
Traçamos duas rectas que passem pelo ponto médio (3,5; 7,0) e que correspondam visualmente (e com bom senso) ao maior e menor declive que contenham os pontos da medição.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: left;"<br />
| <br />
<span style="color:#365B8C">Recta 1 (azul)</span>: <br/>\(y=1,4x+2,05\)<br/><br />
<span style="color:#EA4025">Recta 2 (verm.)</span>:<br/>\(y=2,0x-0,05\)<br />
|| [[File:MM-Graph2.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
Por fim, calculam-se os coeficientes da recta que bissecta estas duas, dados pelas expressões acima.<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: left;"<br />
| <br />
Melhor ajuste:<br/><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
a &=\frac{2,05+(-0,05)}{2}=1,0\\<br />
ϵ_a &=\frac{|2,05-(-0,05)|}{2}=1,05\\<br />
b &=\frac{1,4+2}{2}=1,7\\<br />
ϵ_b &=\frac{|1,4-2}{2}=0,35<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br/><br />
<span style="color:#3E8D28">Recta final (verde):</span> <br/><br />
\(y=1,7x+1,0\)<br />
|| [[File:MM-Graph3.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
Como comparação, os valores calculados pelo método dos mínimos quadrados dão para a mesma recta o resultado \(y=1,67x+1,16\).<br />
<br />
==Qualidade do ajuste: desvio quadrático normalizado==<br />
Quando se realiza um ajuste linear do tipo <math>y = ax + b</math> aos dados experimentais \((x_i, y_i)\), é necessário avaliar se a recta obtida é compatível com as incertezas experimentais atribuídas aos pontos. Para esse efeito utiliza-se o desvio quadrático normalizado, também designado por estatística \(\chi^2\).<br />
Sendo \(y_i\) os valores medidos, \(Y_i\) os valores previstos pelo modelo ajustado e \(\sigma_i\) as incertezas associadas a cada medição, definem-se o desvio quadrático normalizado \(\chi^2\) e o desvio quadrático normalizado reduzido \(\chi^2_\nu\) por:<ref>Note-se que este conceito é diferente do método dos mínimos quadrados descrito mais acima: o desvio quadrático normalizado é a soma dos desvios quadráticos onde cada um é ponderado pela incerteza respectiva.</ref><br />
<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
! style="background:#efefef;" |<math>\chi^2 = \sum_{i=1}^{N}\frac{\left(y_i - Y_i\right)^2}{\sigma_i^2} \quad\quad\quad\quad \chi_\nu^2=\frac{\chi^2}{N}</math><br />
|}<br />
<br />
onde \(N\) é o número total de pontos experimentais. O valor de \(\chi_\nu^2\) permite interpretar a qualidade do ajuste:<br />
<br />
* <math>\chi_\nu^2 \approx 1</math> → o modelo é compatível com os dados dentro das incertezas atribuídas;<br />
* <math>\chi_\nu^2 \gg 1</math> → as discrepâncias são maiores do que o esperado (modelo inadequado ou incertezas subestimadas);<br />
* <math>\chi_\nu^2 \ll 1</math> → as incertezas podem estar sobrestimadas.<br />
<br />
Assim, o desvio quadrático normalizado constitui um critério quantitativo para avaliar a consistência entre os dados experimentais, as incertezas estimadas e o modelo linear adoptado.<br />
<br />
{|class="wikitable" style="background-color:#ddeeff;"<br />
|''Exemplo.'' A tabela abaixo mostra o resultado da medição do período \(T\) de um pêndulo em função do seu comprimento \(L\), que foi variado entre 0,20 m e 1,10 m. Para pequenas amplitudes, o modelo teórico prevê que o quadrado do período do pêndulo é proporcional ao seu comprimento, <math> T^2 = aL </math> com <math> a = 4\pi^2/g. </math><br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
| <br />
{| class="wikitable"<br />
! style="text-align:right;" | L (m)<br />
! style="text-align:right;" | T (s)<br />
! style="text-align:right;" | σ<sub>T</sub> (s)<br />
! style="text-align:right;" | T<sup>2</sup> (s<sup>2</sup>)<br />
! style="text-align:right;" | σ<sub>T²</sub> (s<sup>2</sup>)<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,20<br />
| style="text-align:right;" | 0,9011<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 0,8121<br />
| style="text-align:right;" | 0,0144<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,30<br />
| style="text-align:right;" | 1,0928<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 1,1941<br />
| style="text-align:right;" | 0,0175<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,40<br />
| style="text-align:right;" | 1,2777<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 1,6326<br />
| style="text-align:right;" | 0,0204<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,50<br />
| style="text-align:right;" | 1,4155<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,0036<br />
| style="text-align:right;" | 0,0226<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,60<br />
| style="text-align:right;" | 1,5659<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,4520<br />
| style="text-align:right;" | 0,0251<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,70<br />
| style="text-align:right;" | 1,6704<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 2,7902<br />
| style="text-align:right;" | 0,0267<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,80<br />
| style="text-align:right;" | 1,7993<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 3,2374<br />
| style="text-align:right;" | 0,0288<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 0,90<br />
| style="text-align:right;" | 1,8921<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 3,5801<br />
| style="text-align:right;" | 0,0303<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 1,00<br />
| style="text-align:right;" | 2,0131<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 4,0524<br />
| style="text-align:right;" | 0,0322<br />
|-<br />
| style="text-align:right;" | 1,10<br />
| style="text-align:right;" | 2,1000<br />
| style="text-align:right;" | 0,008<br />
| style="text-align:right;" | 4,4099<br />
| style="text-align:right;" | 0,0336<br />
|}<br />
|| [[File:Mill-graph1.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|| [[File:Mill-graph2.png|thumb|center|upright=1]]<br />
|}<br />
<br />
Vamos supôr que se conhece, por exemplo, <math> a = 4,025\ \mathrm{s^2/m}. </math> O desvio quadrático normalizado é dado por:<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math> \chi^2 = \sum_{i=1}^{N} \frac{(T_i^2 - aL_i)^2}{\sigma_{T_i^2}^2} = 8,744. </math><br />
|}<br />
Para \(N=10\) o desvio quadrático reduzido é<br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"<br />
|<math> \chi^2_\nu = \frac{\chi^2}{10}=0,8744. </math><br />
|}<br />
Como <math> \chi^2_\nu \approx 1, </math> conclui-se que o modelo é compatível com os dados dentro das incertezas experimentais atribuídas.<br />
|}<br />
<br />
=Bibliografia=<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=p1pybe5wQQk Vídeos de apoio LIFE: Precisão e incerteza]<br />
*John R. Taylor, ''An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements'', University Science Books; 2nd edition (August 1, 1996)<br />
*V. Thomsen, Precision and The Terminology of Measurement. ''The Physics Teacher'' Vol. 35, pp.15-17, Jan. 1997.<br />
*Ifan Hughes and Thomas Hase, ''Measurements and their Uncertainties: A practical guide to modern error analysis'', Oxford University Press (July 1, 2010)<br />
<br />
=Notas=</div>Ist23437 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /afs/ist.utl.pt/groups/mysolutions/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php:35) in /afs/ist.utl.pt/groups/mysolutions/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 74
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