Notas de apoio às aulas teóricas

Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função \(f \equiv f(x, y)\) que depende das variáveis \(x\) e \(y\) tem duas derivadas parciais:

• Derivada parcial segundo \(x:\,\frac{\partial f}{\partial x}\)
• Derivada parcial segundo \(y:\,\frac{\partial f}{\partial y}\)

Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo \(\partial\) em vez de \(d\).

Exemplos:

\begin{array}{rl} f(x, y)=x^3y^2 &\implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\ f(x, y)=e^{-y}\sin(x) &\implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x) \end{array}

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau

Este tipo de equações aparece, por exemplo, em situações em que uma força (tipicamente o atrito) é proporcional à velocidade, tais como a queda de uma gotícula de óleo na Experiência de Millikan. A equação envolve a primeira derivada, um termo linear e um termo constante, e podemos escrever a seguinte expressão genérica:

[math] a \frac{df}{dt} = b - cf [/math]

em que \(f \equiv f(t)\) é uma função que só depende de uma variável \(t\) (por exemplo, o tempo) e \(a, b\) e \(c\) são constantes. Para resolver esta equação, vamos recorrer a uma função auxiliar \(g(t)\) definida como:

[math] g(t) = f(t) - \frac{b}{c} [/math]

Se derivarmos esta igualdade verificamos que as derivadas de ambas as funções são iguais:

[math] \frac{dg}{dt} = \frac{df}{dt} [/math]

Inserindo estas duas igualdades na primeira equação, podemos escrevê-la na forma

[math] a \frac{dg}{dt} = c \left( \frac{b}{c} - f(t) \right) = -cg(t) \implies \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a} g(t) [/math]

A última igualdade apresenta-nos então a questão: qual a função cuja derivada é igual à própria função, multiplicada por uma constante? Não é difícil concluir que é a função exponencial, mais concretamente:

[math] g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t} [/math]

é a solução daquela equação, em que \(A\) é uma constante que é necessário introduzir, e que depende das condições iniciais do sistema. Agora que determinámos a solução para \(g(t)\), podemos calcular a função \(f(t)\) original:

[math] f(t) = g(t) + \frac{b}{c} = A e^{-\frac{c}{a}t} + \frac{b}{c} [/math]

Para determinar o valor de \(A\), temos que ter alguma informação sobre o sistema. Por exemplo, sabendo que o valor inicial da função \(f(t)\) é \(f(0) = f_0\), podemos escrever:

[math] f(0) \equiv f_0 = A + \frac{b}{c} \implies A = f_0 - \frac{b}{c} [/math]

Inserindo esta expressão no valor de \(A\) e simplificando, temos finalmente a solução geral da equação original:

[math] f(t)=f_0e^{-\frac{c}{a}t}+\frac{b}{c}\left(1-e^{-\frac{c}{a}t}\right) [/math]

Quando \(t\rightarrow\infty\) a função atinge um valor limite \(f_{lim}=b/c\), independentemente do valor da velocidade inicial. Podemos ainda definir um “tempo médio” \(\tau=a/c\) para a função exponencial.

A tabela em baixo mostra a aplicação da resolução acima à Experiência de Millikan. A figura mostra a evolução de uma função \(v(t)\), solução de uma equação deste tipo, e resume a interligação entre todos os parâmetros apresentados. Note que os eixos são normalizados, isto é, os seus valores são divididos por constantes características do problema (neste caso, o tempo médio \(\tau\) e a velocidade limite \(v_{lim}\).

Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.

	Exp. Millikan
Eq. diferencial	\(m \frac{dv}{dt} = mg - knv\)
Função \(f(t)\)	Velocidade \(v(t)\)
\(df/dt\)	Aceleração \(a(t) = dv/dt\)
\(a\)	\(m\)
\(b\)	\(mg\)
\(c\)	\(kn\)
\(A\)	\(f_0 = \text{Vel. inicial} = 0 \, \text{m/s}\)
Expressão	\(\frac{mg}{kn} \left[ 1 - \exp\left(-\frac{kn}{m}t\right) \right]\)
\(f_{\text{lim}}\)	\(v_{\text{lim}} = \frac{mg}{kn}\)
\(\tau\)	\(\frac{m}{kn}\)

Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau

Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito), que descreve o comportamento de sistemas físicos como o pêndulo (no limite de pequenas oscilações) ou o sistema massa-mola. Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo

[math] a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0 [/math]

em que \(f \equiv f(t)\) é uma função que só depende de uma variável \(t\) (por exemplo, o tempo) e \(a\) e \(b\) são constantes positivas. Reescrevendo:

[math] \frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f [/math]

Podemos exprimir a questão desta forma: qual a função (ou funções) cuja segunda derivada é igual à primeira, multiplicada por uma constante negativa? É fácil verificar que há duas soluções possíveis: as funções seno e cosseno, ou seja, genericamente \(f(t)\) pode ter a forma geral

[math] f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) [/math]

onde \(A\) e \(B\) são duas constantes que é necessário introduzir; por enquanto são desconhecidas, mas podemos determiná-las se soubermos as condições iniciais do sistema – a posição inicial, a velocidade inicial, etc.

Vamos verificar que esta expressão é, de facto, a solução da equação diferencial acima. Para simplificar a escrita, definimos \(\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}\). Temos assim:

[math] f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t) [/math] [math] \frac{df}{dt} = A \omega_0 \cos(\omega_0 t) - B \omega_0 \sin(\omega_0 t) [/math] [math] \frac{d^2f}{dt^2} = -A \omega_0^2 \sin(\omega_0 t) - B \omega_0^2 \cos(\omega_0 t) = -\omega_0^2 f(t) = -\frac{b}{a}f [/math]

Vemos assim que a expressão encontrada é a solução da equação diferencial. É no entanto possível escrever esta expressão numa forma mais prática usando a seguinte igualdade trigonométrica

[math] \sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v [/math]

Fazendo isto, a solução geral da equação pode ser escrita numa forma muito simples, e em vez de 𝐴 e 𝐵 ficamos com outras duas constantes mais intuitivas:

[math] f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0) [/math]

Esta expressão permite verificar que a solução geral do oscilador harmónico livre tem as seguintes características:

• Varia no tempo de forma sinusoidal
• Tem uma frequência angular \(\omega\) e consequentemente um período \(T=2\pi/\omega\)
• A constante \(A_0\) é a amplitude máxima do movimento
• A constante \(\phi_0\) é a fase inicial do movimento

A tabela seguinte lista o valor de alguns dos principais parâmetros para o caso do pêndulo e do sistema massa-mola.

	Pêndulo	Massa-mola
Equação diferencial	\(\ddot{\theta} = -\frac{g}{\ell}\theta\)	\(\ddot{x} = -\frac{k}{m}x\)
Função \(f(t)\)	Ângulo \(\theta(t)\)	Posição \(x(t)\)
\(\ddot{f}\)	Acel. angular \(\alpha(t) = \ddot{\theta}\)	Aceleração \(a(t) = \ddot{x}\)
\(a\)	\(\ell\)	\(m\)
\(b\)	\(g\)	\(k\)
\(A_0\)	Amplitude máxima \(\theta_0\)	Amplitude máxima \(A_0\)
\(\phi_0\)	(fase inicial)	(fase inicial)
\(\omega_0\)	\(\sqrt{g/\ell}\)	\(\sqrt{k/m}\)