Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função $f \equiv f(x, y)$ que depende das variáveis $x$ e $y$ tem duas derivadas parciais:

Derivada parcial segundo $x:\,\frac{\partial f}{\partial x}$
Derivada parcial segundo $y:\,\frac{\partial f}{\partial y}$

Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo $\partial$ em vez de $d$ .

Exemplos:

\begin{aligned} f (x, y) = x^{3} y^{2} & ⟹ \frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y^{2}, \frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} y \\ f (x, y) = e^{- y} \sin (x) & ⟹ \frac{\partial f}{\partial x} = e^{- y} \cos (x), \frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y} \sin (x) \end{aligned}

$\begin{array}{rl} f(x, y)=x^3y^2 &\implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\ f(x, y)=e^{-y}\sin(x) &\implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x) \end{array}$

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau

Este tipo de equações aparece, por exemplo, em situações em que uma força (tipicamente o atrito) é proporcional à velocidade, tais como a queda de uma gotícula de óleo na Experiência de Millikan. A equação envolve a primeira derivada, um termo linear e um termo constante, e podemos escrever a seguinte expressão genérica:

a \frac{d f}{d t} = b - c f

$a \frac{df}{dt} = b - cf$

em que $f \equiv f(t)$ é uma função que só depende de uma variável $t$ (por exemplo, o tempo) e $a, b$ e $c$ são constantes. Para resolver esta equação, vamos recorrer a uma função auxiliar $g(t)$ definida como:

g (t) = f (t) - \frac{b}{c}

$g(t) = f(t) - \frac{b}{c}$

Se derivarmos esta igualdade verificamos que as derivadas de ambas as funções são iguais:

\frac{d g}{d t} = \frac{d f}{d t}

$\frac{dg}{dt} = \frac{df}{dt}$

Inserindo estas duas igualdades na primeira equação, podemos escrevê-la na forma

a \frac{d g}{d t} = c (\frac{b}{c} - f (t)) = - c g (t) ⟹ \frac{d g}{d t} = - \frac{c}{a} g (t)

$a \frac{dg}{dt} = c \left( \frac{b}{c} - f(t) \right) = -cg(t) \implies \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a} g(t)$

A última igualdade apresenta-nos então a questão: qual a função cuja derivada é igual à própria função, multiplicada por uma constante? Não é difícil concluir que é a função exponencial, mais concretamente:

g (t) = A e^{- \frac{c}{a} t}

$g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t}$

é a solução daquela equação, em que $A$ é uma constante que é necessário introduzir, e que depende das condições iniciais do sistema. Agora que determinámos a solução para $g(t)$ , podemos calcular a função $f(t)$ original:

f (t) = g (t) + \frac{b}{c} = A e^{- \frac{c}{a} t} + \frac{b}{c}

$f(t) = g(t) + \frac{b}{c} = A e^{-\frac{c}{a}t} + \frac{b}{c}$

Para determinar o valor de $A$ , temos que ter alguma informação sobre o sistema. Por exemplo, sabendo que o valor inicial da função $f(t)$ é $f(0) = f_0$ , podemos escrever:

f (0) \equiv f_{0} = A + \frac{b}{c} ⟹ A = f_{0} - \frac{b}{c}

$f(0) \equiv f_0 = A + \frac{b}{c} \implies A = f_0 - \frac{b}{c}$

Inserindo esta expressão no valor de $A$ e simplificando, temos finalmente a solução geral da equação original:

f (t) = f_{0} e^{- \frac{c}{a} t} + \frac{b}{c} (1 - e^{- \frac{c}{a} t})

$f(t)=f_0e^{-\frac{c}{a}t}+\frac{b}{c}\left(1-e^{-\frac{c}{a}t}\right)$

Quando $t\rightarrow\infty$ a função atinge um valor limite $f_{lim}=b/c$ , independentemente do valor da velocidade inicial. Podemos ainda definir um “tempo médio” $\tau=a/c$ para a função exponencial.

A tabela em baixo mostra a aplicação da resolução acima à Experiência de Millikan. A figura mostra a evolução de uma função $v(t)$ , solução de uma equação deste tipo, e resume a interligação entre todos os parâmetros apresentados. Note que os eixos são normalizados, isto é, os seus valores são divididos por constantes características do problema (neste caso, o tempo médio $\tau$ e a velocidade limite $v_{lim}$ .

Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.

	Exp. Millikan
Eq. diferencial	$m \frac{dv}{dt} = mg - knv$
Função $f(t)$	Velocidade $v(t)$
$df/dt$	Aceleração $a(t) = dv/dt$
$a$	$m$
$b$	$mg$
$c$	$kn$
$A$	$f_0 = \text{Vel. inicial} = 0 \, \text{m/s}$
Expressão	$\frac{mg}{kn} \left[ 1 - \exp\left(-\frac{kn}{m}t\right) \right]$
$f_{\text{lim}}$	$v_{\text{lim}} = \frac{mg}{kn}$
$\tau$	$\frac{m}{kn}$

Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau

Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito), que descreve o comportamento de sistemas físicos como o pêndulo (no limite de pequenas oscilações) ou o sistema massa-mola. Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo

a \frac{d^{2} f}{d t^{2}} + b f = 0

$a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0$

em que $f \equiv f(t)$ é uma função que só depende de uma variável $t$ (por exemplo, o tempo) e $a$ e $b$ são constantes positivas. Reescrevendo:

\frac{d^{2} f}{d t^{2}} = - \frac{b}{a} f

$\frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f$

Podemos exprimir a questão desta forma: qual a função (ou funções) cuja segunda derivada é igual à primeira, multiplicada por uma constante negativa? É fácil verificar que há duas soluções possíveis: as funções seno e cosseno, ou seja, genericamente $f(t)$ pode ter a forma geral

f (t) = A \sin (\sqrt{\frac{b}{a}} t) + B \cos (\sqrt{\frac{b}{a}} t)

$f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right)$

onde $A$ e $B$ são duas constantes que é necessário introduzir; por enquanto são desconhecidas, mas podemos determiná-las se soubermos as condições iniciais do sistema – a posição inicial, a velocidade inicial, etc.

Vamos verificar que esta expressão é, de facto, a solução da equação diferencial acima. Para simplificar a escrita, definimos $\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}$ . Temos assim:

f (t) = A \sin (ω_{0} t) + B \cos (ω_{0} t)

$f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t)$

\frac{d f}{d t} = A ω_{0} \cos (ω_{0} t) - B ω_{0} \sin (ω_{0} t)

$\frac{df}{dt} = A \omega_0 \cos(\omega_0 t) - B \omega_0 \sin(\omega_0 t)$

\frac{d^{2} f}{d t^{2}} = - A ω_{0}^{2} \sin (ω_{0} t) - B ω_{0}^{2} \cos (ω_{0} t) = - ω_{0}^{2} f (t) = - \frac{b}{a} f

$\frac{d^2f}{dt^2} = -A \omega_0^2 \sin(\omega_0 t) - B \omega_0^2 \cos(\omega_0 t) = -\omega_0^2 f(t) = -\frac{b}{a}f$

Vemos assim que a expressão encontrada é a solução da equação diferencial. É no entanto possível escrever esta expressão numa forma mais prática usando a seguinte igualdade trigonométrica

\sin (u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v

$\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$

Fazendo isto, a solução geral da equação pode ser escrita numa forma muito simples, e em vez de 𝐴 e 𝐵 ficamos com outras duas constantes mais intuitivas^[1]:

f (t) = A_{0} \sin (ω_{0} t + ϕ_{0})

$f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0)$

Esta expressão permite verificar que a solução geral do oscilador harmónico livre tem as seguintes características:

Varia no tempo de forma sinusoidal
Tem uma frequência angular $\omega$ e consequentemente um período $T=2\pi/\omega$
A constante $A_0$ é a amplitude máxima do movimento
A constante $\phi_0$ é a fase inicial do movimento

A tabela seguinte lista o valor de alguns dos principais parâmetros para o caso do pêndulo e do sistema massa-mola.

	Pêndulo	Massa-mola
Equação diferencial	$\ddot{\theta} = -\frac{g}{\ell}\theta$	$\ddot{x} = -\frac{k}{m}x$
Função $f(t)$	Ângulo $\theta(t)$	Posição $x(t)$
$\ddot{f}$	Acel. angular $\alpha(t) = \ddot{\theta}$	Aceleração $a(t) = \ddot{x}$
$a$	$\ell$	$m$
$b$	$g$	$k$
$A_0$	Amplitude máxima $\theta_0$	Amplitude máxima $A_0$
$\phi_0$	(fase inicial)	(fase inicial)
$\omega_0$	$\sqrt{g/\ell}$	$\sqrt{k/m}$

Notas

↑ Pode verificar que é possível escrever a expressão deste modo, por exemplo calculando os valores de $A_0$ e $\phi_0$ a partir dos valores de $A$ e $B$ . Sugestão: considere as expressões para $f(0)$ e $f'(0)$ num caso e noutro, e iguale-as respectivamente.

[1] Pode verificar que é possível escrever a expressão deste modo, por exemplo calculando os valores de $A_0$ e $\phi_0$ a partir dos valores de $A$ e $B$ . Sugestão: considere as expressões para $f(0)$ e $f'(0)$ num caso e noutro, e iguale-as respectivamente.

[1]

Notas de apoio às aulas teóricas

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Derivadas parciais

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau

Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau

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