Notas de apoio às aulas teóricas

Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau

Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo

[math] a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0 [/math]

em que \(f \equiv f(t)\) é uma função que só depende de uma variável \(t\) (por exemplo, o tempo) e \(a\) e \(b\) são constantes positivas. Reescrevendo:

[math] \frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f [/math]

Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:

[math] f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) [/math]

onde \(A\) e \(B\) são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos \(\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}\) e reescrevemos:

[math] f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t) [/math]

A solução geral pode também ser escrita como:

[math] f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0) [/math]

\noindent onde \(A_0\) é a amplitude, \(\phi_0\) é a fase inicial e \(\omega_0\) é a frequ\^encia angular, com per\'iodo \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\).

Exemplos

Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:

	Pêndulo	Massa-mola
Equação diferencial	\(\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\theta\)	\(\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x\)
Função \(f(t)\)	Ângulo \(\theta(t)\)	Posição \(x(t)\)
\(\frac{d^2f}{dt^2}\)	Acel. angular \(\alpha(t) = \frac{d^2\theta}{dt^2}\)	Aceleração \(a(t) = \frac{d^2x}{dt^2}\)
\(a\)	\(\ell\)	\(m\)
\(b\)	\(g\)	\(k\)
\(A_0\)	Amplitude máxima \(\theta_0\)	Amplitude máxima \(A_0\)
\(\phi_0\)	(fase inicial)	(fase inicial)
\(\omega_0\)	\(\sqrt{\frac{g}{\ell}}\)	\(\sqrt{\frac{k}{m}}\)

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=

Este tipo de equações aparece em sistemas com forças proporcionais à velocidade, como o atrito. A forma geral é:

[math] a \frac{df}{dt} = b - cf [/math]

Substituindo \(g(t) = f(t) - \frac{b}{c}\), temos:

[math] \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a}g [/math]

A solução é:

[math] g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t} [/math]

Substituindo de volta em \(f(t)\):

[math] f(t) = \frac{b}{c} + A e^{-\frac{c}{a}t} [/math]

Derivadas parciais

Se uma função depende de mais de uma variável, podemos calcular derivadas parciais. Por exemplo, se \(f \equiv f(x, y)\):

[math] \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} [/math]

Exemplo: \begin{itemize}

   \item \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\)
   \item \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\)

\end{itemize}