Notas de apoio às aulas teóricas

Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau

Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo

$$a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0$$

em que $f \equiv f(t)$ é uma função que só depende de uma variável $t$ (por exemplo, o tempo) e $a$ e $b$ são constantes positivas. Reescrevendo:

$$\frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f$$

Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:

$$f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right)$$

onde $A$ e $B$ são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos $\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}$ e reescrevemos:

$$f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t)$$

A solução geral pode também ser escrita como:

$$f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0)$$

\noindent onde $A_0$ é a amplitude, $\phi_0$ é a fase inicial e $\omega_0$ é a frequ\^encia angular, com per\'iodo $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$.

Exemplos

Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:

	Pêndulo	Massa-mola
Equação diferencial	$d^2\theta/dt^2 = -\frac{g}{\ell}\theta$	$d^2x/dt^2 = -\frac{k}{m}x$
Função $f(t)$	Ângulo $\theta(t)$	Posição $x(t)$
$d^2f/dt^2$	Acel. angular $\alpha(t) = d^2\theta/dt^2$	Aceleração $a(t) = d^2x/dt^2$
$a$	$\ell$	$m$
$b$	$g$	$k$
$A_0$	Amplitude máxima $\theta_0$	Amplitude máxima $A_0$
$\phi_0$	(fase inicial)	(fase inicial)
$\omega_0$	$\sqrt{\frac{g}{\ell}}$	$\sqrt{\frac{k}{m}}$

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=

Este tipo de equações aparece em sistemas com forças proporcionais à velocidade, como o atrito. A forma geral é:

$$a \frac{df}{dt} = b - cf$$

Substituindo $g(t) = f(t) - \frac{b}{c}$, temos:

$$\frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a}g$$

A solução é:

$$g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t}$$

Substituindo de volta em $f(t)$:

$$f(t) = \frac{b}{c} + A e^{-\frac{c}{a}t}$$

Derivadas parciais

Se uma função depende de mais de uma variável, podemos calcular derivadas parciais. Por exemplo, se $f \equiv f(x, y)$:

$$\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}$$

Exemplo: \begin{itemize}

   \item \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\)
   \item \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\)

\end{itemize}