Diferenças entre edições de "Notas de apoio às aulas teóricas"
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| + | * \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\) | ||
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=Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau= | =Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau= | ||
Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo | Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo | ||
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Revisão das 18h01min de 23 de janeiro de 2025
Derivadas parciais
Se uma função depende de mais de uma variável, podemos calcular derivadas parciais. Por exemplo, se \(f \equiv f(x, y)\):
[math] \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} [/math]
Exemplo:
- \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\)
- \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\)
Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau
Este tipo de equações aparece em sistemas com forças proporcionais à velocidade, como o atrito. A forma geral é:
[math] a \frac{df}{dt} = b - cf [/math]
Substituindo \(g(t) = f(t) - \frac{b}{c}\), temos:
[math] \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a}g [/math]
A solução é:
[math] g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t} [/math]
Substituindo de volta em \(f(t)\):
[math] f(t) = \frac{b}{c} + A e^{-\frac{c}{a}t} [/math]
Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau
Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo
[math] a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0 [/math]
em que \(f \equiv f(t)\) é uma função que só depende de uma variável \(t\) (por exemplo, o tempo) e \(a\) e \(b\) são constantes positivas. Reescrevendo:
[math] \frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f [/math]
Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:
[math] f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) [/math]
onde \(A\) e \(B\) são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos \(\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}\) e reescrevemos:
[math] f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t) [/math]
A solução geral pode também ser escrita como:
[math] f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0) [/math]
\noindent onde \(A_0\) é a amplitude, \(\phi_0\) é a fase inicial e \(\omega_0\) é a frequ\^encia angular, com per\'iodo \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\).
Exemplos
Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:
| Pêndulo | Massa-mola | |
|---|---|---|
| Equação diferencial | \(\ddot{\theta} = -\frac{g}{\ell}\theta\) | \(\ddot{x} = -\frac{k}{m}x\) |
| Função \(f(t)\) | Ângulo \(\theta(t)\) | Posição \(x(t)\) |
| \(\ddot{f}\) | Acel. angular \(\alpha(t) = \ddot{\theta}\) | Aceleração \(a(t) = \ddot{x}\) |
| \(a\) | \(\ell\) | \(m\) |
| \(b\) | \(g\) | \(k\) |
| \(A_0\) | Amplitude máxima \(\theta_0\) | Amplitude máxima \(A_0\) |
| \(\phi_0\) | (fase inicial) | (fase inicial) |
| \(\omega_0\) | \(\sqrt{g/\ell}\) | \(\sqrt{k/m}\) |