Diferenças entre edições de "Notas de apoio às aulas teóricas"
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| − | + | =Resolução de equações diferenciais lineares do segundo g rau= | |
| − | Este tipo de | + | Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo |
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a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0 | a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0 | ||
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| − | em que | + | em que \(f \equiv f(t)\) é uma função que só depende de uma variável \(t\) (por exemplo, o tempo) e \(a\) e \(b\) são constantes positivas. Reescrevendo: |
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\frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f | \frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f | ||
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| − | Podemos perguntar: qual | + | Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno: |
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f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) | f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) | ||
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| − | onde | + | onde \(A\) e \(B\) são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos \(\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}\) e reescrevemos: |
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f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t) | f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t) | ||
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| − | A | + | A solução geral pode também ser escrita como: |
| − | + | <math> | |
f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0) | f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0) | ||
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| − | \noindent onde | + | \noindent onde \(A_0\) é a amplitude, \(\phi_0\) é a fase inicial e \(\omega_0\) é a frequ\^encia angular, com per\'iodo \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\). |
| − | + | ==Exemplos== | |
| − | Para o | + | Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros: |
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\begin{tabular}{|c|c|c|} | \begin{tabular}{|c|c|c|} | ||
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| − | Sistema & | + | Sistema & Equação diferencial & Frequência angular \\ |
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| − | + | Pêndulo & \(\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\theta\) & \)\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\) \\ | |
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| − | Massa-mola & | + | Massa-mola & \(\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x\) & \)\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) \\ |
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| − | + | =Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau== | |
| + | Este tipo de equações aparece em sistemas com forças proporcionais à velocidade, como o atrito. A forma geral é: | ||
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a \frac{df}{dt} = b - cf | a \frac{df}{dt} = b - cf | ||
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| − | Substituindo | + | Substituindo \(g(t) = f(t) - \frac{b}{c}\), temos: |
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\frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a}g | \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a}g | ||
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| − | A | + | A solução é: |
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g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t} | g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t} | ||
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| − | Substituindo de volta em | + | Substituindo de volta em \(f(t)\): |
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f(t) = \frac{b}{c} + A e^{-\frac{c}{a}t} | f(t) = \frac{b}{c} + A e^{-\frac{c}{a}t} | ||
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| − | + | =Derivadas parciais= | |
| − | Se uma | + | Se uma função depende de mais de uma variável, podemos calcular derivadas parciais. Por exemplo, se \(f \equiv f(x, y)\): |
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\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} | \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} | ||
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Exemplo: | Exemplo: | ||
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| − | \item | + | \item \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\) |
| − | \item | + | \item \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\) |
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Revisão das 17h50min de 23 de janeiro de 2025
Resolução de equações diferenciais lineares do segundo g rau
Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo
[math] a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0 [/math]
em que \(f \equiv f(t)\) é uma função que só depende de uma variável \(t\) (por exemplo, o tempo) e \(a\) e \(b\) são constantes positivas. Reescrevendo:
[math] \frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f [/math]
Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:
[math] f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) [/math]
onde \(A\) e \(B\) são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos \(\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}\) e reescrevemos:
[math] f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t) [/math]
A solução geral pode também ser escrita como:
[math] f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0) [/math]
\noindent onde \(A_0\) é a amplitude, \(\phi_0\) é a fase inicial e \(\omega_0\) é a frequ\^encia angular, com per\'iodo \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\).
Exemplos
Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:
\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Sistema & Equação diferencial & Frequência angular \\ \hline Pêndulo & \(\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\theta\) & \)\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\) \\ \hline Massa-mola & \(\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x\) & \)\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) \\ \hline \end{tabular} \end{center}
Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=
Este tipo de equações aparece em sistemas com forças proporcionais à velocidade, como o atrito. A forma geral é:
[math] a \frac{df}{dt} = b - cf [/math]
Substituindo \(g(t) = f(t) - \frac{b}{c}\), temos:
[math] \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a}g [/math]
A solução é:
[math] g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t} [/math]
Substituindo de volta em \(f(t)\):
[math] f(t) = \frac{b}{c} + A e^{-\frac{c}{a}t} [/math]
Derivadas parciais
Se uma função depende de mais de uma variável, podemos calcular derivadas parciais. Por exemplo, se \(f \equiv f(x, y)\):
[math] \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} [/math]
Exemplo: \begin{itemize}
\item \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\)
\item \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\)
\end{itemize}