Notas de apoio às aulas teóricas

\section{Resolu\c{c}\~ao de Equa\c{c}\~oes Diferenciais Lineares do Segundo Grau} Este tipo de equa\c{c}\~oes aparece frequentemente em sistemas oscilat\'orios, como o oscilador harm\'onico (livre ou com atrito). Na aus\^encia de atrito e de outras for\c{c}as n\~ao conservativas, a equa\c{c}\~ao envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo

\begin{equation}

   a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0

\end{equation}

em que $f \equiv f(t)$ \'e uma fun\c{c}\~ao que s\'o depende de uma vari\'avel $t$ (por exemplo, o tempo) e $a$ e $b$ s\~ao constantes positivas. Reescrevendo:

\begin{equation}

   \frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f

\end{equation}

Podemos perguntar: qual \'e a fun\c{c}\~ao cuja segunda derivada \'e proporcional \`a pr\'opria fun\c{c}\~ao, multiplicada por uma constante negativa? As solu\c{c}\~oes s\~ao combina\c{c}\~oes lineares de seno e cosseno:

\begin{equation}

   f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right)

\end{equation}

onde $A$ e $B$ s\~ao constantes determinadas pelas condi\c{c}\~oes iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos $\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}$ e reescrevemos:

\begin{equation}

   f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t)

\end{equation}

A solu\c{c}\~ao geral pode tamb\'em ser escrita como:

\begin{equation}

   f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0)

\end{equation}

\noindent onde $A_0$ \'e a amplitude, $\phi_0$ \'e a fase inicial e $\omega_0$ \'e a frequ\^encia angular, com per\'iodo $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$.

\subsection*{Exemplos} Para o p\^endulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes par\^ametros:

\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Sistema & Equa\c{c}\~ao diferencial & Frequ\^encia angular \\ \hline P\^endulo & $\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\theta$ & $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$ \\ \hline Massa-mola & $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$ & $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}

---

\section{Resolu\c{c}\~ao de Equa\c{c}\~oes Diferenciais Lineares do Primeiro Grau} Este tipo de equa\c{c}\~oes aparece em sistemas com for\c{c}as proporcionais \`a velocidade, como o atrito. A forma geral \'e:

\begin{equation}

   a \frac{df}{dt} = b - cf

\end{equation}

Substituindo $g(t) = f(t) - \frac{b}{c}$, temos:

\begin{equation}

   \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a}g

\end{equation}

A solu\c{c}\~ao \'e:

\begin{equation}

   g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t}

\end{equation}

Substituindo de volta em $f(t)$:

\begin{equation}

   f(t) = \frac{b}{c} + A e^{-\frac{c}{a}t}

\end{equation}

---

\section{Derivadas Parciais} Se uma fun\c{c}\~ao depende de mais de uma vari\'avel, podemos calcular derivadas parciais. Por exemplo, se $f \equiv f(x, y)$:

\begin{equation}

   \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}

\end{equation}

Exemplo: \begin{itemize}

   \item $f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y$
   \item $f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)$

\end{itemize}