Notas de apoio às aulas teóricas

Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função \(f \equiv f(x, y)\) que depende das variáveis \(x\) e \(y\) tem duas derivadas parciais:

• Derivada parcial segundo \(x:\,\frac{\partial f}{\partial x}\)
• Derivada parcial segundo \(y:\,\frac{\partial f}{\partial y}\)

Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo \(\partial\) em vez de \(d\).

Exemplos:

• \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\)
• \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\)

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau

Este tipo de equações aparece, por exemplo, em situações em que uma força (tipicamente o atrito) é proporcional à velocidade, tais como a queda de uma gotícula de óleo na ((Experiência de Millikan)). A equação envolve a primeira derivada, um termo linear e um termo constante, e podemos escrever a seguinte expressão genérica:

[math] a \frac{df}{dt} = b - cf [/math]

em que \(f \equiv f(t)\) é uma função que só depende de uma variável \(t\) (por exemplo, o tempo) e \(a, b\) e \(c\) são constantes.

Para resolver esta equação, vamos recorrer a uma função auxiliar \(g(t)\) definida como:

[math] g(t) = f(t) - \frac{b}{c} [/math]

Se derivarmos esta igualdade verificamos que as derivadas de ambas as funções são iguais:

[math] \frac{dg}{dt} = \frac{df}{dt} [/math]

Inserindo estas duas igualdades na primeira equação, podemos escrevê-la na forma:

[math] a \frac{dg}{dt} = c \left( \frac{b}{c} - f(t) \right) = -cg(t) [/math]

[math] \implies \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a} g(t) [/math]

A última igualdade apresenta-nos então a questão: qual a função cuja derivada é igual à própria função, multiplicada por uma constante? Não é difícil concluir que é a função exponencial, mais concretamente:

[math] g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t} [/math]

é a solução daquela equação, em que \(A\) é uma constante que é necessário introduzir, e que depende das condições iniciais do sistema. Agora que determinámos a solução para \(g(t)\), podemos calcular a função \(f(t)\) original:

[math] f(t) = g(t) + \frac{b}{c} = A e^{-\frac{c}{a}t} + \frac{b}{c} [/math]

Para determinar o valor de \(A\), temos que ter alguma informação sobre o sistema. Por exemplo, sabendo que o valor inicial da função \(f(t)\) é \(f(0) = f_0\), podemos escrever:

[math] f(0) \equiv f_0 = A + \frac{b}{c} \implies A = f_0 - \frac{b}{c} [/math]

Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau

Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo

[math] a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0 [/math]

em que \(f \equiv f(t)\) é uma função que só depende de uma variável \(t\) (por exemplo, o tempo) e \(a\) e \(b\) são constantes positivas. Reescrevendo:

[math] \frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f [/math]

Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:

[math] f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) [/math]

onde \(A\) e \(B\) são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos \(\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}\) e reescrevemos:

[math] f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t) [/math]

A solução geral pode também ser escrita como:

[math] f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0) [/math]

\noindent onde \(A_0\) é a amplitude, \(\phi_0\) é a fase inicial e \(\omega_0\) é a frequ\^encia angular, com per\'iodo \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\).

Exemplos

Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:

	Pêndulo	Massa-mola
Equação diferencial	\(\ddot{\theta} = -\frac{g}{\ell}\theta\)	\(\ddot{x} = -\frac{k}{m}x\)
Função \(f(t)\)	Ângulo \(\theta(t)\)	Posição \(x(t)\)
\(\ddot{f}\)	Acel. angular \(\alpha(t) = \ddot{\theta}\)	Aceleração \(a(t) = \ddot{x}\)
\(a\)	\(\ell\)	\(m\)
\(b\)	\(g\)	\(k\)
\(A_0\)	Amplitude máxima \(\theta_0\)	Amplitude máxima \(A_0\)
\(\phi_0\)	(fase inicial)	(fase inicial)
\(\omega_0\)	\(\sqrt{g/\ell}\)	\(\sqrt{k/m}\)