Relação entre integrais e somas superiores e inferiores

Metadata

• CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
• AREA: Matemática
• DISCIPLINA: Calculo diferencial e integral 1
• ANO: 1
• LINGUA: pt
• AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
• MATERIA PRINCIPAL:
• DESCRICAO:
• DIFICULDADE: *
• TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
• TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
• PALAVRAS CHAVE:

Seja \(f\) uma função decrescente em sentido lato no intervalo \( [-1,1] \). Sejam ainda \(\mathit{d}\) uma dada decomposição deste intervalo,\(\mathcal{S}_{\mathit{d}}\text{($\mathit{f}$)}\) a correspondente soma superior de Darboux, \(\mathit{s}_{\mathit{d}}\text{($\mathit{f}$)}\) a correspondente soma inferior de Darboux e \(\int_{-1}^1f(x)\,dx=\mathcal{J}\) o integral de \(f\) no intervalo. Selecione todas as afirmações corretas.

A) \(\mathcal{J}-\mathit{s}_{\mathit{d}}\text{($\mathit{f}$)}>\text{2$|$f(1)-f(-1)$|$}\),

B) Se para todo \(\text{n$\in$$\mathbb{N}$}\), se verifica \(\int_{-1}^1f(x)\chi_{[\text{-a},1]}\,dx>0\) (onde \(\text{a=}\frac{\text{n}}{\text{n+1}}\)), então \(\mathcal{J}\) é negativo,

C) Existe sempre uma decomposição \(\text{$\mathit{d}$'}\supseteq\mathit{d}\) tal que \(\mathit{s}_{\text{$\mathit{d}$'}}\text{($\mathit{f}$)}=\mathcal{S}_{\text{$\mathit{d}$'}}\text{($\mathit{f}$)}\),

D) \(\mathcal{S}_{\mathit{d}}\text{($\mathit{f}$)}-\mathcal{J}>\text{2$|$f(1)-f(-1)$|$}\)

E)Nenhuma das anteriores

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